Weźmy pod uwagę równanie

(*)

Wygląda całkiem niewinnie. Szkolny sposób na takie równania podpowiada: sprawdź, czy któryś spośród dzielników wyrazu wolnego nie jest rozwiązaniem, bo tylko takie liczby mogą być rozwiązaniami wymiernymi równania. Tymi dzielnikami są liczby  Oznaczamy  i obliczamy

Możemy stwierdzić, że żadna liczba wymierna nie jest rozwiązaniem równania  Jednocześnie widzimy, że nasze równanie ma co najmniej trzy rozwiązania rzeczywiste leżące odpowiednio w przedziałach  i   gdyż funkcja  jest ciągła i na końcach każdego z przedziałów przyjmuje wartości przeciwnych znaków, więc wewnątrz przedziału ma miejsce zerowe. Badając przebieg zmienności funkcji  można stwierdzić, że nie ma ona więcej miejsc zerowych. Oznacza to, że równanie  ma trzy pierwiastki rzeczywiste i dwa zespolone. Te informacje pozwalają stwierdzić, że równania tego nie można rozwiązać „przez pierwiastniki”, tj. nie można wyrazić jego pierwiastków przez wzory, w których na liczbach wymiernych byłyby wykonywane operacje wyciągania pierwiastków dowolnych stopni oraz działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, wielokrotnie iterowane. Niestety, dowód tego faktu nie zmieściłby się na stronach tego numeru Delty; można go znaleźć w literaturze (np. Jerzy Browkin, Wybrane zagadnienia algebry, czy Maciej Bryński, Elementy teorii Galois). Wiemy z nauki szkolnej, że pierwiastki równania kwadratowego  wyrażają się przez pierwiastniki:

Istnieją też wzory pozwalające wyrazić przez pierwiastniki pierwiastki dowolnego równania stopnia trzeciego, a także czwartego. Wzory te są jednak na tyle skomplikowane, że niezbyt nadają się do praktycznego stosowania. Niestety, dla równań wyższych stopni wzory takie nie istnieją, co ilustruje przykład równania

Nie znaczy to jednak, że żadnego równania stopnia piątego lub wyższego nie potrafimy rozwiązać.

Do nierozwiązalności równań algebraicznych przez pierwiastniki podobna jest sytuacja z niewykonalnością pewnych konstrukcji geometrycznych. Klasyczna konstrukcja geometryczna na płaszczyźnie, gdy dany jest pewien zbiór punktów, polega na wielokrotnym iterowaniu następujących czynności:

• przez dwa punkty z tego zbioru możemy poprowadzić prostą,
• możemy wykreślić okrąg, którego środkiem jest punkt dany, a promień jest równy odległości dwóch danych punktów,
• punkty przecięcia takich prostych i okręgów dodajemy do zbioru danych.

Zauważmy, że punkt przecięcia dwóch prostych ma współrzędne będące rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych (mianowicie równań tych prostych). Wynika stąd, że współrzędne tego punktu należą do tego samego ciała liczbowego, z którego pochodzą współczynniki równań, a zatem do tego ciała liczbowego, do którego należą współrzędne punktów wyznaczających rozważane proste.

Inaczej jest w przypadku punktu przecięcia prostej i okręgu albo punktu przecięcia dwóch okręgów. Równanie prostej jest równaniem liniowym postaci  równanie okręgu – równaniem kwadratowym  Wyznaczając jedną z niewiadomych  lub  z pierwszego równania i podstawiając do drugiego, otrzymamy równanie kwadratowe, którego współczynniki należą do ciała liczbowego, z którego pochodzą współczynniki rozważanych równań prostej i okręgu. Pierwiastki równania kwadratowego mogą nie należeć do ciała liczbowego, z którego pochodzą współczynniki tego równania, gdyż do ich obliczenia trzeba wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z wyróżnika  Na przykład, równanie  ma współczynniki wymierne, ale  a więc pierwiastki należą do ciała liczbowego  zawierającego liczby postaci  gdzie  są liczbami wymiernymi.

Podobnie w przypadku punktów przecięcia dwóch okręgów. Układ równań dwóch okręgów  i   jest równoważny układowi powstałemu przez pozostawienie jednego z danych równań i zastąpienie drugiego przez ich różnicę. Różnica równań dwóch przecinających się okręgów jest równaniem prostej przechodzącej przez punkty przecięcia tych okręgów. Sprowadziliśmy w ten sposób wyznaczanie punktów przecięcia dwóch okręgów do przypadku wyznaczania punktów przecięcia okręgu i prostej. Tu więc również współrzędne tych punktów należą albo do ciała liczbowego zawierającego współczynniki równań, albo do rozszerzenia tego ciała o pierwiastek kwadratowy z pewnego elementu tego ciała.

Biorąc pod uwagę te obserwacje, możemy stwierdzić, że jeśli  jest ciałem liczbowym, do którego należą współrzędne wszystkich punktów danych do wykonania pewnej konstrukcji, i możemy skonstruować punkt  to liczby  należą do pewnego ciała, które powstaje przez rozszerzenie ciała  w wyniku skończonej liczby dołączania pierwiastków kwadratowych (mówimy, że liczby  wyrażają się przez pierwiastniki kwadratowe). Na tej podstawie możemy wywnioskować, że pewnych konstrukcji nie można wykonać cyrklem i linijką.

Należy tu wymienić trzy zadania wywodzące się ze starożytności: trysekcja kąta, podwojenie sześcianu, kwadratura koła. Zajmijmy się bliżej pierwszym z tych zadań.

Mając dany kąt, możemy skonstruować jego kosinus. Umieśćmy w tym celu dany kąt  w układzie współrzędnych w ten sposób, by jedno ramię pokrywało się z dodatnią półosią osi  i wykreślmy okrąg o środku w początku układu i promieniu 1, a następnie zrzutujmy punkt przecięcia drugiego ramienia kąta z okręgiem na oś

Współrzędna  tego rzutu jest kosinusem kąta  Podobnie mając daną liczbę  możemy skonstruować kąt, którego kosinus jest równy  Wystarczy z punktu  leżącego na osi  wystawić prostopadłą do tej osi i przez punkt przecięcia tej prostej z okręgiem jednostkowym poprowadzić półprostą o początku w punkcie  Ta półprosta wraz z dodatnią półosią osi  wyznacza kąt  Wobec tego pytanie o wykonalność trysekcji kąta  jest równoważne pytaniu o konstruowalność liczby  Ze znanych wzorów trygonometrycznych mamy

więc  spełnia zależność

jest więc pierwiastkiem wielomianu

którego współczynniki należą do ciała liczbowego zawierającego liczby wymierne i liczbę

Jeśli wielomian  jest nierozkładalny nad tym ciałem, to ponieważ jest stopnia trzeciego, więc jego pierwiastków nie można wyrazić przez pierwiastniki kwadratowe. To oznacza niewykonalność trysekcji.

Najprostszym przykładem kąta, którego trysekcja jest niewykonalna, jest kąt  Istotnie,  Wielomian  ma współczynniki z ciała liczb wymiernych i jest nierozkładalny nad tym ciałem. Gdyby bowiem był rozkładalny, to również wielomian  byłby rozkładalny, jeden z czynników tego rozkładu byłby stopnia pierwszego, skąd wynikałoby, że wielomian miałby pierwiastek wymierny. Pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu mogłyby być liczby  a jak można bezpośrednio sprawdzić, żadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Inaczej jest z kątem  Ponieważ  więc wielomian  jest rozkładalny. Zatem trysekcję kąta  można przeprowadzić, choć zamiast konstrukcji podziału tego kąta na trzy równe części możemy podać bezpośrednią konstrukcję kąta : konstruujemy trójkąt równoboczny i prowadzimy dwusieczną jego kąta wewnętrznego.

Niewykonalność trysekcji kąta oznacza tyle: nie można za pomocą cyrkla i linijki podzielić dowolnego kąta na trzy równe części. Powtórzmy: w konstrukcji klasycznej linijki wolno używać jedynie do kreślenia prostej przez dane dwa punkty, cyrkla – do kreślenia okręgu o środku w danym punkcie i promieniu równym odległości dwóch danych punktów.

Okazuje się, że nieznacznie wzbogacając możliwości wykorzystania cyrkla i linijki, można wykonać konstrukcje niewykonalne w sensie klasycznym. Archimedes zaproponował wykonanie trysekcji dowolnego kąta za pomocą cyrkla i linijki, na której zaznaczono dwa punkty. Robi się to tak. Mając dany dowolny kąt  o wierzchołku  przedłużmy jedno z jego ramion do prostej i wykreślmy okrąg o środku  i promieniu równym odległości  punktów zaznaczonych na linijce. Następnie przyłóżmy linijkę tak, by przeszła przez punkt  przecięcia okręgu z drugim ramieniem kąta, a z dwóch zaznaczonych na linijce punktów punkt  wypadł na przedłużeniu pierwszego ramienia, zaś punkt  był różnym od  punktem okręgu.

Prosta przechodząca przez punkty  tworzy z przedłużeniem pierwszego ramienia kąt  Wykażemy, że  Trójkąt  jest równoramienny, bo  skąd wynika, że  a więc  Trójkąt  również jest równoramienny, bo  stąd  Wobec tego  Trzy kąty o wierzchołku  dają w sumie kąt półpełny, a zatem

skąd wynika, że