Łatwo to wykazać. Rozważmy w tym celu konfigurację 7 punktów położonych tak, jak na rysunku, przy czym każdy z zaznaczonych odcinków ma długość 1. Łatwo stwierdzamy, że nie da się ich pokolorować trzema kolorami bez otrzymania monochromatycznej pary w odległości 1 (spróbujmy – malujemy ; wtedy i  muszą otrzymać pozostałe dwa kolory; musi więc mieć ten sam kolor co ; tak samo dla okazuje się więc, że i  mają ten sam kolor).

Z kolei można tak pokolorować płaszczyznę 7 kolorami, żeby monochromatycznej pary w odległości 1 nie było. Zaczynamy od wyparkietowania płaszczyzny siatką sześciokątów foremnych, jak na planszy do gry Hex. Czytelnik bez problemu odpowiednio je pokoloruje, unikając jednokolorowej pary punktów odległych o 1 (każdy sześciokąt i jego sześciu sąsiadów powinno mieć w sumie 7 różnych kolorów; ostrożnie na krawędziach; jaką wziąć średnicę sześciokątów?).

Liczba chromatyczna płaszczyzny to najmniejsza liczba kolorów, potrzebna do pokolorowania płaszczyzny w taki sposób, aby uniknąć dwóch punktów odległych o 1 w tym samym kolorze. Wiemy już zatem, że:

Co jeszcze wiadomo? W ogólnym przypadku – nic. Nie umiemy posunąć się ani o krok względem tych bardzo prostych oszacowań. Nierozwiązany dotąd problem znalezienia liczby chromatycznej płaszczyzny (albo chociaż zmniejszenia zakresu widełek ją ograniczających) nosi też nazwę problemu Hadwigera–Nelsona.

Liczba chromatyczna płaszczyzny jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia liczby chromatycznej grafu. Jest to najmniejsza liczba kolorów, potrzebna do pokolorowania wierzchołków danego grafu tak, aby żadna krawędź nie łączyła wierzchołków o tym samym kolorze. Dla płaszczyzny (i każdej innej przestrzeni, w której można mierzyć odległość) możemy skonstruować tzw. graf odległości jednostkowych, którego wierzchołkami są punkty płaszczyzny, a krawędzie łączą punkty odległe o 1. Powiedzielibyśmy więc, że ten graf jest 7-kolorowalny, nie jest 3-kolorowalny i nie wiemy, czy jest 4-, 5- lub 6-kolorowalny.

A zatem – kredki w dłonie i do pracy! Ale uwaga – znane są różne ograniczenia. Wiadomo na przykład, że jeśli chcielibyśmy użyć tylko 4 kolorów, to którymś z nich musielibyśmy namalować zbiór niemierzalny, czyli wyjątkowo paskudny (nie do namalowania kredką).