Przeskocz do treści

Delta mi!

Kącik przestrzenny

Czworościany ortocentryczne

Michał Kieza

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: styczeń 2011
  • Publikacja elektroniczna: 20-12-2010
  • Wersja do druku [application/pdf]: (47 KB)

Tym razem, zgodnie z obietnicą, kącik poświęcimy czworościanom ortocentrycznym. Jak wiadomo, nie w każdym czworościanie istnieje punkt przecięcia wszystkich wysokości. Czworościany mające taki punkt nazywane są ortocentrycznymi. Spróbujmy opisać je dokładniej.

Twierdzenie. Dla każdego czworościanu następujące warunki są równoważne:

(a)
istnieje punkt przecięcia wszystkich wysokości,
(b)
przeciwległe krawędzie są prostopadłe,
(c)
sumy kwadratów długości przeciwległych krawędzi są równe,
(d)
równoległościan opisany na czworościanie jest rombościanem,
(e)
środki krawędzi leżą na jednej sferze,
(f)
biśrodkowe są równej długości,
(g)
kwadrat długości każdego odcinka łączącego środki przeciwległych krawędzi jest równy sumie kwadratów ich długości podzielonej przez 4,
(h)
iloczyny cosinusów przeciwległych kątów dwuściennych są równe.

Dowód równoważności tych własności warto potraktować jako zadanie; rozwiązanie można znaleźć na internetowej stronie Delty.

Udowodnimy teraz pewną własność czworościanów ortocentrycznych analogiczną do prostej Eulera na płaszczyźnie, czyli prostej przechodzącej przez środek okręgu opisanego, środek ciężkości i ortocentrum danego trójkąta.

Na koniec zadanie dla Czytelników.

Jest to sfera dwunastu punktów – przestrzenny odpowiednik okręgu dziewięciu punktów, czyli okręgu przechodzącego przez środki boków danego trójkąta, spodki jego wysokości i środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum.