Mimo że matematyka i biologia są często „wrzucane do tego samego worka” jako nauki matematyczno-przyrodnicze, to nie zawsze jest nam łatwo znaleźć powiązania między nimi. Oczywiście można dojść do wniosku, że łączą się one pośrednio poprzez fizykę i chemię, ale czy są jakieś bardziej rzucające się w oczy związki?

Czy kiedykolwiek zastanawiałeś się, Czytelniku, jaka jest szansa, żeby w 100 rzutach monetą otrzymać serię 5 takich samych wyników pod rząd? Jestem przekonany, że większość z nas odpowiedziałaby, że niewielka. Również należałem do tych osób, jednak pewnego dnia przeczytałem bardzo interesujący artykuł, w którym autor opowiedział anegdotę o pewnym profesorze. Ów nauczyciel zadał swoim uczniom następującą pracę domową. Rzuć 100 razy monetą, a wyniki zapisz na kartce w postaci OROORR...

W niektórych kręgach popularny jest dowcip o nieskończonej pojemności tramwaju. Opiera się on na dwóch empirycznych przesłankach: (1) w tramwaju na pewno mieści się jedna osoba, (2) nieważne, ile osób już jest w tramwaju, zawsze zmieści się jeszcze jedna. To, że w tramwaju mieści się dowolnie dużo osób, gwarantuje wówczas zasada indukcji matematycznej. Dowcip ten może śmieszyć lub nie, ale dobrze oddaje ideę indukcji – w matematyce pozwala ona uściślić rozumowanie oparte na użyciu wielokropka czy też sformułowania i tak dalej.

Zwornikiem tego trzyczęściowego artykułu jest odkrycie Neptuna przez Urbaina Le Verriera. Pisząc o Neptunie, nie sposób jednak pominąć problemów z Uranem. Z kolei pisząc o Le Verrierze, nie można pominąć problemów z Merkurym oraz związanego z tym epizodu z Wulkanem. Cała historia jest nie tylko bardzo ciekawa, ale też niezwykle pouczająca. Zacznijmy więc od początku.

Liga zadaniowa Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego i Redakcji Delty

Wektory są obiektami z pogranicza dwóch światów – algebraicznego i geometrycznego. Całą filozofię stosowania rachunku wektorowego do rozwiązywania zadań z geometrii można streścić w jednym zdaniu: pozwalają one zamienić problem geometryczny na problem czysto algebraiczny. Tutaj wymienimy kilka podstawowych własności wektorów, pomijając uzasadnienia – Czytelnik może uzupełnić je samodzielnie lub znaleźć w dobrym podręczniku do geometrii analitycznej.

Paradoks Banacha-Tarskiego (1924 r.). Kulę można rozłożyć na skończenie wiele części, z których da się zbudować dwie takie same kule.

Gdy w połowie XIX wieku odkryto geometrie nieeuklidesowe, zainteresowanie matematyków zaczęło zwracać się w stronę podstaw matematyki. Na jakich podstawach można lub należy oprzeć matematykę? Na tym tle zrodził się w latach 20. XX wieku tzw. program Hilberta, postulujący zbudowanie sformalizowanej matematyki na fundamencie aksjomatycznym i wyprowadzanie z aksjomatów twierdzeń jedynie za pomocą ściśle określonych reguł. Tak zbudowana teoria powinna być zupełna i niesprzeczna i te jej własności powinny dać się udowodnić.

Numer Delty poświęcony paradoksom nie byłby kompletny, gdyby nie pojawiła się w nim paradoksalna gra. Przyjrzyjmy się zatem pewnej grze, inspirowanej paradoksami teoriomnogościowymi, które rozkwitły w początkach XX wieku.