Delta 12/2023

Klub 44

Marcin E. Kuczma i Elżbieta Zawistowska

Zadania z matematyki nr 871, 872

Redaguje Marcin E. KUCZMA, od 1980 roku

871. Dana jest liczba całkowita parzysta n>0. (a) Dowieść, że w przedziale [n+1,2n+1] zawiera się n-elementowy zbiór liczb całkowitych M taki, że żaden jego element nie jest dzielnikiem sumy wszystkich liczb zbioru M. (b) Wyjaśnić , czy zawsze istnieją (w tym przedziale) co najmniej dwa różne zbiory n-elementowe o powyższych własnościach.

872. Wielomiany W1,…,Wm (jednej zmiennej), stopni dodatnich, mają dodatnie współczynniki całkowite. Wykazać, że dla nieskończenie wielu liczb całkowitych n>0 wartości W1(n),…,Wm(n) są jednocześnie liczbami złożonymi.

Zadanie 872 zostało opracowane na podstawie propozycji, którą przysłał pan Witold Bednarek z Łodzi.


Zadania z fizyki nr 768, 769

Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA, od 2012 roku

768. Otwarta z dwóch stron rurka w kształcie litery U porusza się z prędkością v równolegle do powierzchni cieczy (rys. 1). Przekrój zanurzonej w cieczy dolnej części rurki wynosi S1, a górnej, znajdującej się nad cieczą, jest równy S2. Jaka siła zewnętrzna działa na rurkę w kierunku poziomym? Tarcie i powstawanie fal należy zaniedbać. Gęstość cieczy wynosi ρ.

769. W układzie przedstawionym na rysunku 2 na początku wszystkie klucze są otwarte, a kondensatory o pojemnościach C1 i C2 nienaładowane. Klucze K1 i K3 zostały zamknięte i po ustaleniu równowagi otwarte, po czym zamknięty został klucz K2. Znaleźć napięcie końcowe na kondensatorze C1. Siła elektromotoryczna baterii wynosi E.

image
Rys. 1
image
Rys. 2