Delta 3/2024

Klub 44

Marcin E. Kuczma i Elżbieta Zawistowska

Zadania z matematyki nr 877, 878

Redaguje Marcin E. KUCZMA

877. Wyjaśnić, czy istnieje na płaszczyźnie konfiguracja pięciu różnych punktów $A, B, C, P, Q,$ w której zachodzą równości $P A = A B = B Q, P B = B C = C Q, P C = C A = A Q,$ a punkty $A, B, C$ są wierzchołkami trójkąta (a) ostrokątnego, (b) rozwartokątnego.

878. Znaleźć liczbę naturalną $r > 2,$ dla której istnieje nieskończenie wiele $r$ -elementowych zbiorów różnych liczb pierwszych ${p_{1}, \dots, p_{r}}$ takich, że każda z liczb $2^{p_{i} - 1} - 1$ ( $i = 1, \dots, r$ ) jest podzielna przez iloczyn $p_{1} \dots p_{r} .$ Im większa liczba $r,$ tym cenniejsze rozwiązanie.

Zadanie 878 zaproponował pan Piotr Kumor z Olsztyna w nawiązaniu do zadania 678 (naszej ligi: $Δ_{14}^{7}$ ; omówienie: $Δ_{15}^{2}$ ), a także do zadania 8 z obozu OM (Zwardoń 2010) <om.sem.edu.pl>, zakładka Obóz naukowy.

Rozwiązania zadań z numeru 11/2023

Przypominamy treść zadań:

869. Funkcja $g$ przyporządkowuje każdej (uporządkowanej) parze $x, y$ liczb rzeczywistych dodatnich wartość $g (x, y),$ określoną jako najmniejsza liczba z trójki $x,$ $1 / y,$ $(x y + 1) / x .$ Wyznaczyć kres górny wartości $g (x, y),$ gdy $x$ oraz $y$ przebiegają zbiór wszystkich liczb dodatnich.

Rozwiązanie

Wartości funkcji $g$ są dodatnie. Niech $s$ będzie dowolną jej wartością. Istnieją więc liczby $x, y > 0,$ dla których $s = g (x, y) .$ Zgodnie z określeniem funkcji $g$ spełnione są jednocześnie nierówności $x \geq s, \frac{1}{y} \geq s, \frac{x y + 1}{x} \geq s$ (jedna z nich staje się równością). Wynika z nich, że $\frac{1}{x} \leq \frac{1}{s}, y \leq \frac{1}{s}, s \leq \frac{x y + 1}{x} = y + \frac{1}{x} \leq \frac{2}{s} .$ Ostatnia nierówność pokazuje, że $s^{2} \leq 2,$ czyli $s \leq \sqrt{2} .$ Tak więc wartości funkcji $g$ nie przekraczają $\sqrt{2} .$ Przy tym $g (\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = min {\sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{1 + 1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} .$ Zatem liczba $\sqrt{2}$ jest szukanym kresem górnym wartości funkcji $g .$

870. (a) Wykazać, że z odcinków łączących dowolny punkt płaszczyzny z wierzchołkami trójkąta równobocznego (leżącego w tej płaszczyźnie) można zbudować pewien trójkąt (być może zdegenerowany).
(b) Trójkąt równoboczny jest zanurzony w przestrzeni (trójwymiarowej). Wyjaśnić, czy – analogicznie – zawsze można z odcinków łączących dowolny punkt przestrzeni z wierzchołkami tego trójkąta zbudować pewien trójkąt (być może zdegenerowany).

Rozwiązanie

(a) Niech $P$ będzie dowolnym punktem w płaszczyźnie trójkąta równobocznego $A B C .$ Rozważmy obrót płaszczyzny wokół punktu $C$ o kąt $60^{\circ},$ przenoszący punkt $A$ do pozycji punktu $B .$

Obraz punktu $P$ nazwijmy $Q .$ Odcinki $C P$ i $C Q$ są równej długości i tworzą kąt $60^{\circ},$ więc trójkąt $C P Q$ jest równoboczny. Odcinek $A P$ przechodzi na odcinek $B Q .$ Trójkąt $B P Q$ (być może zdegenerowany do odcinka) ma boki długości $B Q = A P,$ $B P,$ $P Q = C P$ ; jest więc trójkątem, którego istnienie należało uzasadnić.

(b) Niech teraz $P$ będzie dowolnym punktem w przestrzeni, leżącym poza płaszczyzną trójkąta równobocznego $A B C .$ Wykażemy, że i teraz istnieje trójkąt o bokach długości $A P,$ $B P,$ $C P .$ Przyjmijmy (b.s.o.), że najdłuższy z tej trójki jest odcinek $C P .$ Wystarczy dowieść, że wówczas $C P \leq A P + B P .$

W płaszczyźnie $A B P$ budujemy trójkąty równoboczne $A B D$ i $A B E$ ; dobieramy oznaczenia tak, by $P D \leq P E .$ Wierzchołki $C, D, E$ trójkątów foremnych o wspólnym boku $A B$ leżą na płaszczyźnie symetralnej odcinka $A B,$ na okręgu o średnicy $D E$ ; trójkąt $C D E$ jest prostokątny. Niech $R$ będzie rzutem punktu $P$ na prostą $D E .$ Płaszczyzny $C D E$ i $P D E$ są prostopadłe, więc $C R ⊥ P R .$ Stąd $D R = \sqrt{P D^{2} - P R^{2}} \leq \sqrt{P E^{2} - P R^{2}} = E R .$ To znaczy, że (w płaszczyźnie $C D E$ ) punkty $C$ i $R$ leżą po jednej stronie prostej symetralnej odcinka $C E$ (która połowi przeciwprostokątną $D E$ ); czyli $C R \leq E R .$ Stąd $C P = \sqrt{C R^{2} + P R^{2}} \leq \sqrt{E R^{2} + P R^{2}} = E P .$

Z części (a), zastosowanej do trójkąta $A B E$ i punktu $P$ (leżącego w jego płaszczyźnie) wiadomo, że z odcinków $A P,$ $B P,$ $E P$ można zbudować trójkąt. Zatem $E P \leq A P + B P,$ więc tym bardziej $C P \leq A P + B P .$

[Istnieją różne rachunkowe metody rozwiązania zadania, tak w części (a), jak i (b).]

Zadania z fizyki nr 774, 775

Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA

774. Długi klocek o podstawie kwadratowej pływa w wodzie tak, że jedna z jego powierzchni bocznych znajduje się nad powierzchnią wody i jest do niej równoległa, a klocek znajduje się w stanie równowagi trwałej. Dla jakiej gęstości materiału, z którego wykonano klocek, jest to możliwe?

775. Cienki pierścień gumowy rozkręcono wokół osi symetrii prostopadłej do płaszczyzny pierścienia. Prędkość liniowa jego elementów wynosi $v .$ Z jaką prędkością będą rozprzestrzeniać się w tym pierścieniu monochromatyczne fale poprzeczne o małej amplitudzie?

Rozwiązania zadań z numeru 11/2023

Przypominamy treść zadań:

766. Znaleźć siłę oddziaływania dwóch połówek nieprzewodzącej kuli o promieniu $R,$ naładowanych ze stałą gęstością objętościową, odpowiednio, $ρ_{1}$ i $ρ_{2} .$ Przyjąć, że kula wykonana jest z materiału o stałej dielektrycznej równej jeden.

Rozwiązanie

W każdym punkcie półkuli o gęstości $ρ_{1}$ działa siła od drugiej półkuli $d \vec{f} = ρ_{1} \vec{E} d V,$ gdzie $\vec{E}$ jest natężeniem pola elektrycznego w danym punkcie od drugiej półkuli, a $ρ_{1} d V$ to ładunek elementarnej objętości wokół punktu. Zatem siła działająca na pierwszą półkulę jest proporcjonalna do $ρ_{1} .$ Analogicznie siła działająca na drugą półkulę ze strony pierwszej jest proporcjonalna do $ρ_{2} .$ Stąd wniosek, że siła oddziaływania między półkulami $F \sim ρ_{1} ρ_{2} = {ρ_{1}}^{2} ρ_{2} / ρ_{1} .$ Na pierwszą półkulę działa również jej własne pole, którego wypadkowe działanie wynosi zero. Obliczymy więc siłę oddziaływania $F_{1}$ z drugą półkulą o takiej samej gęstości, rozważając pole od całej kuli, a następnie wynik pomnożymy przez czynnik $ρ_{2} / ρ_{1} .$

Rys. 2

Zgodnie z prawem Gaussa natężenie pola wewnątrz kuli naładowanej ze stałą gęstością objętościową $ρ_{1} > 0$ w odległości $r$ od środka kuli ma wartość $E = ρ_{1} r / 3 ε_{0}$ i jest skierowane wzdłuż promienia. Podzielmy górną półkulę na rysunku 2 na półsferyczne warstwy. Prostopadła do powierzchni rozdziału półkul składowa siły działającej na mały element warstwy o promieniu $r$ i powierzchni $d S$ wynosi: $d f_{⊥} = E ρ_{1} d S d r \cos α = E ρ_{1} d S^{'} d r,$ gdzie $d r$ jest grubością warstwy, a $d S^{'} = d S \cos α$ rzutem powierzchni $d S$ na powierzchnię rozdziału. Wypadkowa siła działająca na półsferę o promieniu $r$ $d F_{1} = π r^{2} d f_{⊥} = π {ρ_{1}}^{2} r^{3} d r / 3 ε_{0} .$ Siła oddziaływania półkul o jednakowych gęstościach dana jest wzorem $F_{1} = \int_{0}^{R} d F_{1} = \frac{π {ρ_{1}}^{2} R^{4}}{12 ε_{0}},$ a szukana siła oddziaływania półkul o gęstościach $ρ_{1}$ i $ρ_{2}$ $F = π R^{4} ρ_{1} ρ_{2} / 12 ε_{0} .$

767. Pierścienie $O$ i $O^{'}$ nasunięte są na pionowe, nieruchome pręty $A B$ i $A^{'} B^{'} .$ Nierozciągliwa nić umocowana w punkcie $A^{'}$ przewleczona jest przez pierścień $O^{'}$ i przyczepiona do pierścienia $O$ (rys. 1). Pierścień $O^{'}$ porusza się w dół ze stałą prędkością $v .$ Jaka jest prędkość pierścienia $O$ w chwili, gdy kąt $A O O^{'}$ ma wartość $α .$

Rys. 1

Rozwiązanie

W układzie odniesienia związanym z pierścieniem

O^{'},

gdy

∡ A O O^{'} = α,

nić wyciągana jest w górę z prędkością

v

(rys. 3).

Rys. 3

Ponieważ nić jest nierozciągliwa, składowa prędkości pierścienia $O$ wzdłuż nici ma również prędkość $v,$ a wypadkowa prędkość pierścienia w badanej chwili i w wybranym układzie wynosi: $u = v / \cos α .$ W nieruchomym układzie odniesienia szukana prędkość pierścienia jest równa: $v_{O} = u - v = v (1 / \cos α - 1) .$