Klub 44

Niech $M^{\ast }=\{n+1,n+2,\dots ,2n+1\}$ i niech $S$ będzie sumą elementów zbioru $M^{\ast }.$ Niech $M_k=M^{\ast }\setminus \{k\}$ (dla $k\in M^{\ast }$). Będziemy mówili, że liczba $k\in M^{\ast }$ jest ciekawa, gdy suma elementów zbioru $M_k$ (czyli liczba $S-k$) nie dzieli się przez żaden z nich.

(a) Należy wykazać, że co najmniej jedna liczba $k\in M^{\ast }$ jest ciekawa. Przyjmijmy dalsze oznaczenie: $$N_k=\{i\in M^{\ast }:i|S-k\}.$$ Odnotujmy proste własności:
$W1.$   Jeśli $N_k=\mathrm{\varnothing },$ to liczba $k$ jest ciekawa.
$W2.$   Jeśli $k|S,$ to $k\in N_k$ (więc $N_k\ne \mathrm{\varnothing }$).
$W3.$   Jeśli $k|S$ oraz $|N_k|=1,$ to liczba $k$ jest ciekawa.
$W4.$   Zbiory $N_k$ są parami rozłączne.
Własności $W1,$ $W2,$ $W3$ są oczywiste. Dowód $W4$: gdyby $i_0\in N_k\cap N_l$ ($k>l$), to $i_0|k-l$; a to niemożliwe, bo $i_0\ge n+1,$ zaś $k-l\le (2n+1)-(n+1)=n.$ Z własności $W4$ wynika, że $$\sum _{k\in M^{\ast }}|N_k|\le |M^{\ast }|=n+1.(\ast )$$ Suma $(\ast )$ ma $n+1$ składników. Jeżeli któryś z nich jest zerem, to jest to już teza (a) (własność $W1$). Jeżeli nie, to wszystkie są równe 1. Prosty rachunek pokazuje, że $S=cd,$ gdzie $c=n+1,$ $d=\frac{3}{2}n+1$ ($c,d\in M^{\ast }$); więc i teraz dostajemy tezę (a), bo (dzięki $W3$) liczba $c$ jest ciekawa ($d$ zresztą też).

(b) Tu też odpowiedź jest twierdząca: wykażemy, że w zbiorze $M^{\ast }$ są co najmniej dwie liczby ciekawe. Jeśli wśród składników sumy $(\ast )$ są co najmniej dwa zera, to gotowe ($W1$). Jeśli wszystkie są dodatnie, to są jedynkami i znów (wobec $W3$) liczby $c$ i $d$ są obie ciekawe.

Pozostaje przypadek, gdy wśród składników sumy $(\ast )$ jest dokładnie jedno zero; niech np. $|N_e|=0$: liczba $e$ jest więc ciekawa ($W1$); $e\ne c,d,$ bo $N_c,N_d\ne \mathrm{\varnothing }$ ($W2$). Pozostałe składniki sumy $(\ast )$ to albo same jedynki, albo dwójka i poza nią jedynki. Co najmniej jedna z liczb $c,d$ musi być wśród jedynek – jest więc ciekawa ($W3$); dowód zakończony.

Oznaczmy $W_j(1)=c_j.$ Weźmy dowolną liczbę $n$ postaci $n=k{c}_1\dots c_m+1$ ($k\in \mathbf{N}$). Ustalmy $j\in \{1,\dots ,m\}.$ Różnica $W_j(n)-W_j(1)$ dzieli się przez $n-1,$ więc i przez $c_j.$ Skoro $c_j=W_j(1),$ znaczy to, że $W_j(n)$ dzieli się przez $c_j.$ Przy tym dla dostatecznie dużych $n$ wartość $W_j(n)$ przekracza $c_j$; jest więc liczbą złożoną. Tak jest dla każdego numeru $j,$ skąd wniosek, że dla dostatecznie dużych $n$ (rozważanej postaci) wszystkie wartości $W_1(n),\dots ,W_m(n)$ są liczbami złożonymi.

W inercjalnym układzie odniesienia związanym z rurką, ciecz w dolnej części rurki porusza się z prędkością $v.$ W czasie $\mathrm{\Delta }t$ do rurki wpływa porcja cieczy o masie $m=\rho S_{1}v\mathrm{\Delta }t$ i pędzie $p_1=mv=\rho S_1{v}^2\mathrm{\Delta }t.$ W tym samym czasie porcja o takiej samej masie wycieka z górnej części rurki z prędkością $u=v{S}_1/S_2,$ a jej pęd $p_2=\rho S_2{u}^2\mathrm{\Delta }t=\rho v^2{S_1}^2\mathrm{\Delta }t/S_2.$ Wektor zmiany pędu cieczy w rurce w czasie $\mathrm{\Delta }t$ ma wartość $\mathrm{\Delta }p=mv-(-mu)=\rho S_1(1+S_1/S_2)v^2\mathrm{\Delta }t$ i skierowany jest w prawo. Ciecz działa na rurkę w lewo, a szukana siła zewnętrzna działająca na rurkę nie zależy od wyboru inercjalnego układu odniesienia, skierowana jest w prawo i ma wartość $$F=\mathrm{\Delta }p/\mathrm{\Delta }t=\rho S_1(1+S_1/S_2)v^2.$$

Po zamknięciu kluczy $K_1$ i $K_3$ kondensatory są połączone równolegle z baterią, a ładunki na nich to ${Q_1=C}_1\epsilon$ i $Q_2=C_2\epsilon .$ Sytuację przed zamknięciem klucza $K_2$ przedstawia rysunek 5.

Po zamknięciu klucza $K_2$ do prawej okładki kondensatora $C_2$ dopływa ładunek $q,$ z lewej okładki kondensatora $C_1$ odpływa taki sam ładunek. Całkowity ładunek na wewnętrznych okładkach pozostaje niezmieniony (rys. 6). Z drugiego prawa Kirchhoffa mamy: $\epsilon ={(Q_2-q)/C_2-(Q_1+q)/C}_1,$ stąd $q=C_1{C}_2\epsilon /(C_1+C_2).$ Napięcie końcowe na kondensatorze $C_1$ wynosi: $$U=(Q_1+q)/C_1=\epsilon (C_1+2C_2)/(C_1+C_2).$$