Potocznie mówi się, że matematyka to badanie własności (różnych rodzajów) liczb, funkcji, figur geometrycznych, abstrakcyjnych przestrzeni itd. Czym jednak są te obiekty, jak i gdzie one istnieją, jaka jest ich natura, czy są tworzone (konstruowane) przez matematyków, czy też są im w jakiś sposób dane i matematycy odkrywają je i ich własności? Na tego typu pytania odpowiedzi szukać należy nie w samej matematyce, ale w filozofii matematyki.
Czym jest filozofia matematyki? Najprościej można powiedzieć, że jest to filozoficzna refleksja nad matematyką jako nauką. Szuka się więc w niej m.in. odpowiedzi na pytanie o naturę i sposób istnienia przedmiotów matematycznych i analizuje się metody poznawcze właściwe matematyce.
Pytanie o naturę i sposób istnienia obiektów matematyki związane jest z pewnym starym problemem filozoficznym zwanym sporem o powszechniki (uniwersalia), a sformułowanym już przez Platona (427–347 p.n.e.). Otóż Platon pytał o to, co odpowiada pojęciom ogólnym, takim jak człowiek, piękno, dobro, prosta, liczba, trójkąt itd. W historii pojawiły się cztery zasadnicze stanowiska będące odpowiedzią na to pytanie: skrajny realizm pojęciowy, umiarkowany realizm pojęciowy, konceptualizm oraz nominalizm.
Wedle realizmu skrajnego (reprezentował go m.in. Platon) uniwersalia istnieją obiektywnie jako odrębne, zmysłowo niedostępne przedmioty. Realizm umiarkowany, który reprezentował na przykład Arystoteles (384–322 p.n.e.), twierdzi, że uniwersalia istnieją obiektywnie, ale nie jako odrębne, różne od rzeczy przedmioty, lecz jako własności wspólne tym rzeczom. Konceptualizm, zapoczątkowany przez Johannesa Roscelina (ok. 1050 – ok. 1120), głosi, iż uniwersalia są (jedynie) pojęciami i istnieją tylko w umyśle ludzkim. Nominalizm wreszcie, zapoczątkowany przez Williama Ockhama (ur. przed 1300, zm. ok. 1350), powiada, że uniwersalia w ogóle nie istnieją, istnieją bowiem tylko przedmioty jednostkowe; złudzenie zaś, że istnieją uniwersalia, ma swe źródło w dezinterpretacji języka, w którym funkcjonują nazwy ogólne (pozwalające na skracanie wypowiedzi).
Wymienione tu koncepcje (z wyjątkiem drugiej) mają swoje odbicie w odpowiedzi na tytułowe pytanie dotyczące sposobu istnienia przedmiotów matematyki. Odpowiednie stanowiska nazywa się platonizmem, konceptualizmem i nominalizmem.
Przez platonizm rozumie się stanowisko głoszące, że przedmioty matematyki istnieją obiektywnie, samoistnie, niezależnie od czasu i przestrzeni oraz od poznającego umysłu. Są więc one dane matematykowi. Matematyk zatem odkrywa przedmioty matematyki i ich własności oraz je opisuje. Gdyby więc na świecie nie było żadnego matematyka, to i tak istniałyby wszystkie przedmioty matematyki mające swoje własności (te które znamy dziś, te które poznamy jutro, ale i te, których nigdy nie poznamy i o których matematycy nigdy mówić nie będą). Zgodnie z tym mówić należy, że matematyk odkrył daną teorię, a nie, że ją stworzył; w szczególności powinniśmy powiedzieć, że Leibniz i Newton odkryli rachunek różniczkowy i całkowy, a nie, że go stworzyli.
Platonizm głosiło wielu ważnych matematyków. Sam Platon twierdził, że podstawą poznania matematycznego jest rozum, a właściwą metodą matematyki metoda aksjomatyczna. Zdawał sobie oczywiście sprawę z tego, że matematyk posługuje się w swojej pracy obserwacją i rysunkiem, ale jest to wedle niego jedynie okazja do uświadomienia sobie pojęć, a nie materiał do ich wytworzenia.
Ku platonizmowi skłaniał się też Euklides (ok. 365 – ok. 300 p.n.e.), autor słynnych
Elementów. Głosili go również m.in. tacy matematycy współcześni, jak Georg Cantor
,,Chciałbym na zakończenie tych uwag nakreślić obraz związany z najgłębszymi intuicjami, jakie odczuwam zawsze wobec logistyki. Obraz ten rzuci może więcej światła na istotne podłoże, z jakiego przynajmniej u mnie wyrasta ta nauka, niż wszelkie wywody dyskursywne. Otóż ilekroć zajmuję się najdrobniejszym nawet zagadnieniem logistycznym, szukając na przykład najkrótszego aksjomatu rachunku implikacyjnego, tylekroć mam wrażenie, że znajduję się wobec jakiejś potężnej, niesłychanie zwartej i niezmiernie odpornej konstrukcji. Konstrukcja ta działa na mnie jak jakiś konkretny, dotykalny przedmiot, zrobiony z najtwardszego materiału, stokroć mocniejszego od betonu i stali. Nic w niej zmienić nie mogę, nic sam dowolnie nie tworzę, lecz w wytężonej pracy odkrywam w niej tylko coraz to nowe szczegóły, zdobywając prawdy niewzruszone i wieczne. Gdzie jest i czym jest ta idealna konstrukcja? Filozof wierzący powiedziałby, że jest w Bogu i jest myślą Jego”.
Przyjęcie platonizmu implikuje, że problem prawdy i prawdziwości w matematyce staje się prosty. ,,Prawdziwy” znaczy bowiem tyle, co ,,zgodny ze stanem rzeczy w rzeczywistości matematycznej”. Nie ma więc miejsca na problemy nierozstrzygalne w matematyce. Każdy problem typu pytania–rozstrzygnięcia, ,,tak–nie” (a więc np. hipoteza Riemanna czy hipoteza continuum) ma już istniejące jednoznaczne rozwiązanie i zadaniem matematyka jest znaleźć odpowiednie metody, by do tej odpowiedzi dotrzeć, by ją odkryć. Co więcej, platonizm implikuje, że uniwersum matematyczne staje się bardzo szerokie – jedynym bowiem kryterium istnienia jest tu niesprzeczność, tzn. istnieje każdy obiekt niesprzeczny.
Konceptualizm
głosi, że przedmioty matematyki są wytworem umysłu ludzkiego.
Istnieją zatem tylko obiekty matematyczne konstruowalne, czyli te, które można
skonstruować z obiektów, których istnienie jest intuicyjnie jasne. Konceptualistą był na
przykład matematyk, teolog i ostatni scholastyk kardynał Mikołaj z Kuzy (1401–1464).
Głosił on, że zarówno liczby, jak i obiekty geometrii są tworami ludzkiego umysłu. Są one
odbiciami, obrazami (ymago) liczb i obiektów geometrycznych istniejących w umyśle
Bożym. Konceptualizm głosili też Henri Poincaré (1854–1912) i Richard Dedekind
Trzecie wyróżnione przez nas stanowisko – nominalizm – głosi, że przedmioty
matematyki to jednostkowe obiekty (fizyczne), a więc napisy i nic więcej. Choć stanowisko to
wydawać się może dziwne, to miało ono wielu zwolenników – należeli do nich m.in. Bertrand
Russell (1872–1970) i Alfred North Whitehead (1861–1947), a także niektórzy wybitni logicy
polscy, w szczególności Alfred Tarski
Zadajmy teraz pytanie: Które z opisanych stanowisk jest słuszne i prawdziwe? Odpowiedź brzmi: Nie wiemy! Sama matematyka nie daje tu rozstrzygnięcia. Nie ma to jednak żadnego wpływu na uprawianie i rozwijanie matematyki. Podobnie jest zresztą i w innych naukach. Można, dla przykładu, prowadzić badania w biologii, nie rozstrzygając, czym jest życie, czy badania socjologiczne bez jasnej i precyzyjnej definicji społeczeństwa. Matematycy zresztą rzadko zastanawiają się nad kwestiami filozoficznymi związanymi z uprawianą dyscypliną. Jeśli zaś już się zastanawiają i głoszą jakieś poglądy, to niekoniecznie są im wierni w swojej praktyce badawczej. Przykładem może być Tarski. Otóż, będąc zwolennikiem nominalizmu, swobodnie stosował w swoich badaniach metamatematycznych środki nieskończonościowe (dopuszczalne jedynie przez platonizm) albo zajmował się badaniem logiki intuicjonistycznej, nie podzielając przekonań konceptualistycznych.
Obserwacja pokazuje, że w pracy badawczej matematycy zachowują się na ogół jak platonicy. Oznacza to, że nie są oni panami czy kreatorami rzeczywistości matematycznej – przeciwnie, stają wobec danej im ,,twardej” rzeczywistości, którą starają się opisać. Akceptując ,,na co dzień” platonizm, ,,od święta” jednak, tzn. kiedy zastanawiają się nad kwestiami filozoficznymi, deklarują się na ogół jako formaliści, twierdząc, że matematyka to zespół aksjomatyczno-dedukcyjnych systemów sformalizowanych i cała praca matematyka polega na dedukcji twierdzeń z przyjętych aksjomatów za pomocą dowolnych poprawnych metod.