Klub 44

Zadania z matematyki nr 889, 890

Redaguje Marcin E. KUCZMA

889. Ciąg $(a_1,\dots ,a_N),$ długości $N,$ ma wyrazy $a_k\in \{2,3,5\},$ z sumą $a_1+\dots +a_N=A.$ Niech $b_k=a_k{a}_{k+1}{a}_{k+2}{a}_{k+3}$ (gdzie, cyklicznie, $a_{N+i}=a_i$). Zakładamy, że każda z liczb $b_1,\dots ,b_N$ dzieli się przez $30.$ Przyjmując jako znane wartości $N,$ $A$ (dla których istnieje co najmniej jeden ciąg $(a_k)$ o podanych własnościach) wyznaczyć wszystkie możliwe wartości sumy $B=b_1+\dots +b_N.$

890. W czworokącie wypukłym $ABCD$ przekątne przecinają się w punkcie $P$; boki $BC$ i $DA$ nie są równoległe, a ich symetralne przecinają się w punkcie $Q$ (różnym od $P$), leżącym wewnątrz czworokąta. Trójkąty $BQC$ i $DQA$ są podobne. Udowodnić, że prosta $PQ$ zawiera dwusieczne kątów $APB$ i $CPD.$

Zadanie 890 zaproponował pan Wojciech Maciak z Warszawy.

Zadania z fizyki nr 786, 787

Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA

Rys. 1

786. Koralik o masie $M$ może ślizgać się bez tarcia po prostym poziomym pręcie. Do koralika przywiązana jest lekka nierozciągliwa nitka o długości $l.$ Nitkę ciągniemy za swobodny koniec tak, że jego prędkość przez cały czas skierowana jest wzdłuż nitki i ma wartość $v_0$ (rys. 1). Jaką siłą ciągniemy w chwili, gdy nitka tworzy z prętem kąt $\alpha$? Podczas ruchu nitka znajduje się w płaszczyźnie poziomej.

Rys. 2

787. Nieprzewodzące ciepła naczynie połączone jest za pomocą dwóch małych jednakowych otworków z dwoma pojemnikami zawierającymi hel w stanie gazowym (rys. 2). W obu pojemnikach podtrzymywane jest jednakowe ciśnienie $p,$ w jednym z nich podtrzymywana jest temperatura $T,$ w drugim $2T.$ Znaleźć ciśnienie i temperaturę w środkowym naczyniu w stanie równowagi.