Zadania

Zauważmy, że każda wieża atakuje łącznie 15 pól: 7 pól w kolumnie i 7 pól w rzędzie, w którym stoi, plus pole, na którym stoi. Wybierzmy dowolnie wieżę $A$ stojącą na polu $a.$ Atakowane przez $A$ pola (poza $a$) połączymy w pary w następujący sposób: dla każdej wieży $B$ stojącej na polu $b\ne a$ parujemy pola $(c,d)$ atakowane jednocześnie przez $A$ i $B.$ Zauważmy, że w ramach każdej takiej pary: albo oba pola $c$ i $d$ należą połowicznie do $A$ (jeśli $a,$ $b,$ $c$ i $d$ tworzą kwadrat), albo dokładnie jedno z nich należy w całości do $A,$ a drugie do $B$ (w przeciwnym przypadku). W rezultacie każda wieża posiada w sumie 8 pól: pole, na którym stoi, i połowę z pozostałych 14 pól.

Niech $K$ i $L$ będą środkami, odpowiednio, przekątnych $AC$ i $BD.$ Wtedy $KN$ i $LM$ są odpowiednio liniami środkowymi trójkątów $ABC$ i $ABD.$ Zatem czworokąt $MKNL$ jest równoległobokiem.

Ponadto z równości $AB=CD$ wynika, że $NK=NL,$ czyli $MKNL$ jest rombem. W szczególności punkty $K$ i $L$ leżą na symetralnej odcinka $MN,$ czyli na prostej $PQ.$ Dodatkowo $\measuredangle APQ=\measuredangle NKL=\measuredangle NLK=\measuredangle DQP.$

Poprowadźmy prostą równoległą do $PQ$ przechodzącą przez punkt $D.$ Niech $T$ będzie punktem przecięcia tej prostej z prostą $AB.$ Z twierdzenia Talesa łatwo dostajemy, że $BP=PT.$ Ponadto $TPQD$ jest trapezem o równych kątach przy wierzchołkach $P$ i $Q,$ czyli jest trapezem równoramiennym. W szczególności $QD=PT=BP,$ skąd $AP=CQ.$

Odpowiedź: $f(x)\equiv 0,$ $f(x)=x.$

Kładąc $y=0,$ dostajemy, że $f(0)=0.$ Jeśli $f(x_0)=0$ dla pewnego $x_0\ne 0,$ to kładąc $x=x_0,$ dostaniemy, że $yf(x_0(y+1))=0$ dla dowolnego $x\in \mathbb{R},$ więc $f\equiv 0$ – i jest to pierwsze rozwiązanie równania.

Załóżmy teraz, że $f(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0.$ Przypuśćmy, że dla pewnej liczby rzeczywistej $a\ne 0$ mamy $f(a)\ne a.$ Połóżmy $x=a$ i $y=\frac{a}{f(a)-a},$ wtedy $$\frac{f(a)}{f(a)-a}\cdot f\left(\frac{af(a)}{f(a)-a}\right)=\frac{a}{f(a)-a}\cdot f\left(\frac{af(a)}{f(a)-a}\right).$$ Zauważmy jednak, że $f\left(\frac{af(a)}{f(a)-a}\right)\ne 0,$ gdyż $\frac{af(a)}{f(a)-a}\ne 0,$ zatem dzieląc obie strony powyższej równości przez $f\left(\frac{af(a)}{f(a)-a}\right),$ dostajemy równość $$\frac{f(a)}{f(a)-a}=\frac{a}{f(a)-a},$$ z której oczywiście wynika, że $f(a)=a$ – sprzeczność z założeniem. Wobec tego $f$ jest identycznością.

Pod wpływem pola elektrycznego $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{R})$ ładunku $q$ następuje polaryzacja ładunków kulki nienaładowanej i indukuje się w niej dipolowy moment elektryczny $\overrightarrow{d}$ (wektor $\overrightarrow{d}$ ma zwrot od ujemnego do dodatniego ładunku dipola) wartości proporcjonalnej do pola $\overrightarrow{d}\propto \overrightarrow{E}(\overrightarrow{R}).$ Energia potencjalna $U$ dipola umieszczonego w polu elektrycznym wynosi: $U=-\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{E},$ a siła $\overrightarrow{F}$ działająca na dipol równa jest minus gradient energii potencjalnej $U$: $\overrightarrow{F}=-\mathrm{\nabla }U.$ Wektor $\overrightarrow{R},$ pole $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{R})$ oraz wektor $\overrightarrow{d}$ są równoległe i zwrócone od dodatniego ładunku $q$ – w takim przypadku problem staje się jednowymiarowy i gradient można zastąpić zwykłym różniczkowaniem względem $R.$ Mamy więc: $$\overrightarrow{E}\propto \frac{q\overrightarrow{R}}{R^3};\overrightarrow{d}=\alpha \overrightarrow{E};U=-\alpha E^2\propto -\frac{q^2}{R^4},$$ a więc $$F\propto \frac{d}{dR}(\frac{q^2}{R^4})\propto -\frac{q^2}{R^5}.$$ Po $k$-krotnym zwiększeniu odległości między kulkami siła ich oddziaływania nie zmieni się, jeśli $Q^2=q{k}^5,$ czyli: $$Q=k^{5/2}=k^2\sqrt{k}.$$ Niezależnie od znaku ładunku $q$ ($Q$) kulki się przyciągają.

Rozchodzenie się dźwięku w gazie polega na propagacji zgęszczeń i rozrzedzeń gazu. Taka propagacja jest możliwa, gdy długość fali $\lambda$ jest większa od średniej odległości pokonywanej przez cząsteczki gazu między kolejnymi zderzeniami w ich ruchu termicznym. Oznacza to, że fale o długościach mniejszych od średniej drogi swobdnej $l$ cząsteczek są silnie tłumione. Oszacujmy wartość średniej drogi swobodnej w gazie o gęstości $n$ (liczba cząsteczek w 1 m${}^3$ gazu), gdy średnica cząsteczki wynosi $d$ (przyjmujemy, że cząsteczki są w przybliżeniu kuliste): $$l\sim \frac{1}{\pi d^{2}n}$$ – zderzenie następuje, gdy środki cząsteczek znajdą się w odległości mniejszej niż $d.$ W powietrzu, w warunkach normalnych $l\approx 7\cdot {10}^{-8}$ m, co odpowiada częstości dźwięku $f\approx 5\cdot {10}^9$ Hz.