Zadania

Niech $I$ będzie środkiem okręgu wpisanego w rozważany trapez. Wówczas $$\measuredangle IAP=\frac{1}{2}\measuredangle DAB=\frac{1}{2}({180}^{\circ }-\measuredangle ABC)=\measuredangle QPB,$$ stąd $PQ\parallel AI.$ Podobnie $DI\parallel QR,$ więc trójkąty $ADI$ oraz $PXQ$ mają odpowiednie boki równoległe, a więc są jednokładne. Środek tej jednokładności jest punktem przecięcia prostych $AB,$ $QS$ i  $DX.$

Załóżmy przeciwnie, tj. $${\displaystyle a\le 5b-\frac{4}{b^2}.}$$ Wtedy $$5b-\frac{4}{b^2}+\frac{1}{a^2}\ge a+\frac{1}{a^2}\ge 5b-\frac{3}{b^2},$$ wobec tego ${\displaystyle \frac{1}{a^2}\ge \frac{1}{b^2},}$ skąd $a\le b.$ Jednakże wtedy $$a+\frac{1}{a^2}\ge 5b-\frac{3}{b^2}\ge 5a-\frac{3}{a^2},$$ co oznacza, że ${\displaystyle \frac{4}{a^2}\ge 4a,}$ a więc $a\le 1$ – sprzeczność.

Chcemy pokazać, że istnieją dodatnie liczby całkowite $a,$ $b,$ $c$ takie, że $$n+a^2=(a+b)(a+c),$$ więc wystarczy, aby liczba $n+a^2$ była iloczynem dwóch liczb całkowitych większych od $a.$ Na mocy założeń zadania możemy znaleźć taką liczbę pierwszą $p$ oraz liczbę całkowitą $m>0,$ że $n=p^{2}m.$ Rozważmy cztery przypadki:

1. $m+1>p.$ Możemy wtedy wziąć $a=p,$ gdyż $n+a^2=p^2\cdot (m+1)$ i zarówno $p^2,$ jak i $m+1$ są większe od $a.$

2. $m+1<p$ i $m+1$ jest liczbą złożoną. Niech $m+1=st$ dla pewnych liczb całkowitych $s,t>1.$ Znów możemy przyjąć $a=p,$ gdyż $n+a^2=ps\cdot pt$ i obie liczby $ps$ i  $pt$ są większe od $a.$

3. $m+1<p$ i $m+1$ jest liczbą pierwszą. Niech $m+1=q$ i podzielmy $p$ przez $q$ z resztą: $p=\ell q+r,$ gdzie $r>0.$ Weźmy $a=r,$ wtedy $n+a^2=q\cdot ({\ell }^{2}mq+2\ell mr+r^2)$ i oba czynniki są większe od $r.$

4. $m+1=p.$ Wtedy oczywiście $n=p^3-p^2>20,$ więc możemy założyć, że $p\ge 4.$ Zachodzi $$n+6^2=(p+3)\cdot (p^2-4p+12),$$ przy czym oba czynniki po prawej stronie są większe od 6.

W każdym z przypadków dostaliśmy żądany rozkład, więc teza zadania została udowodniona.

Po gwałtownym obniżeniu ciśnienia woda zacznie parować w całej objętości. Powstająca para pobiera ciepło od ciekłej wody, powodując jej krzepnięcie (woda ma temperaturę 0. Proces parowania jest bardzo szybki, a więc proporcje mas lodu i pary zaraz po obniżeniu ciśnienia określone są jedynie przez wartości ciepła parowania i ciepła topnienia. Niech $m_l$ oznacza masę wytworzonego lodu. Mamy: $$L_f\cdot m_l=L_v\cdot (m-m_l).$$ Otrzymujemy masę lodu: $$m_l=\frac{L_{v}m}{L_v+L_f}.$$ Liczbowo $m_l\approx 8,71$  g. W stanie równowagi, który zostanie osiągnięty w wyniku dalszych, powolnych procesów sublimacji/resublimacji masa lodu będzie zależała także od objętości pod tłokiem dostępnej dla pary wodnej.

W równowadze termodynamicznej średnie energie kinetyczne atomów helu i neonu są równe i proporcjonalne do temperatury w skali Kelwina. Oznacza to, że ich średnie prędkości są odwrotnie proporcjonalne do pierwiastków ich mas: $$\frac{v_{\mathrm{H}\mathrm{e}}}{v_{Ne}}=\sqrt{\frac{m_{\mathrm{N}\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{H}\mathrm{e}}}}=\sqrt{5}.$$ Gdyby w pojemniku znajdował się jeden rodzaj gazu, to czas opróżniania pojemnika z helu byłby $\sqrt{5}$ razy krótszy niż czas opróżniania z neonu. Ponieważ oba gazy można traktować jak gazy doskonałe, których atomy nie oddziałują ze sobą, więc przy takiej samej liczbie moli w pojemniku, w jednostce czasu liczba atomów helu opuszczających pojemnik będzie $\sqrt{5}$ razy większa niż liczba atomów neonu: $$\frac{n_{\mathrm{H}\mathrm{e}}}{n_{\mathrm{N}\mathrm{e}}}=\sqrt{5}.$$ Wraz z ubywaniem gazu skład wiązki będzie ulegał zmianie, bo helu ubywa szybciej niż neonu.