Udowodnić, że dla dowolnej liczby całkowitej \(n>1\) liczby \(1,2,\ldots, 2n\) można połączyć w pary tak, że iloczyn sum liczb w parach jest kwadratem liczby całkowitej.
Jeśli \(n\) jest liczbą nieparzystą, tj. \(n=2k+1,\) to użyjemy indukcji matematycznej. Dla \(n=3\) mamy \[(1+5)(2+4)(3+6)=18^2.\] Załóżmy zatem, że teza zachodzi dla \(n-2=2k-1\) i połączyliśmy już w pary liczby \(1,\) \(2,\) \(\ldots,\) \(4k-2\) tak, że iloczyn sum w parach jest równy \(m^2\) dla pewnej liczby całkowitej \(m.\) Wtedy dokładając pary \[(4k-1, 4k+2),\;\;(4k, 4k+1),\] dostajemy: \[\begin{aligned} (4k-1 + (4k+2))\cdot (4k+ (4k+1))\cdot m^2=% ((8k+1)m)^2. \end{aligned}\]
Na tablicy \(10\times 10\) znajduje się pewna liczba mrówek, każda zasiada na innym polu. Co minutę każda mrówka przechodzi do sąsiedniego pola na wschód, na południe, na zachód albo na północ. Kontynuuje drogę w tym samym kierunku tak długo, jak to możliwe. Kiedy mrówka dotrze do krawędzi tablicy, zmienia zwrot (utrzymując kierunek poruszania się). Wiadomo, że w ciągu godziny żadne dwie mrówki nie spotkały się na tym samym polu. Jaka jest maksymalna możliwa liczba mrówek na tablicy?
Udowodnimy, że na początku w każdym rzędzie lub kolumnie znajdują się co najwyżej dwie mrówki, których pierwszy ruch odbywa się w tym rzędzie lub kolumnie. Zatem całkowita liczba mrówek na tablicy wynosi maksymalnie \(2\cdot 10+2\cdot 10 = 40.\)
Rozpatrzmy standardowe kolorowanie szachowe naszej tablicy. Załóżmy, że po pewnym rzędzie lub kolumnie poruszają się 3 mrówki. Na podstawie zasady szufladkowej Dirichleta dwie z nich muszą zajmować pola tego samego koloru. Jednakże wtedy te mrówki muszą zająć to samo pole na długo przed upływem godziny!
Rysunek obok pokazuje spełniający warunki zadania sposób rozmieszczenia 40 mrówek wraz z kierunkami ich wędrówek.
Sfera przecina każdą z płaszczyzn ścian czworościanu foremnego wzdłuż okręgu. Promienie tych okręgów wynoszą odpowiednio \(1,\) \(2,\) \(3\) i \(4.\) Czy promień sfery może być równy \(5?\)
Niech \(ABCD\) będzie czworościanem foremnym. Rozważmy trzy płaszczyzny:
równoległa do \(DAB,\) w odległości \(3\) od niej i po tej samej stronie \(DAB\) co punkt \(C,\)
równoległa do \(DBC,\) w odległości \(4\) od niej i po tej samej stronie \(DBC\) co punkt \(A,\)
równoległa do \(DCA,\) w odległości \(\sqrt{21}\) od niej i po tej samej stronie \(DCA\) co punkt \(B.\)
Niech \(O\) będzie punktem przecięcia się płaszczyzn \(\Sigma_1,\) \(\Sigma_2\) i \(\Sigma_3.\) Rozpatrzmy sferę \(\Omega\) o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5.\) Weźmy jeszcze punkty \(A',\) \(B',\) \(C'\) odpowiednio na półprostych \(DA,\) \(DB,\) \(DC\) tak, aby \(DA'=DB'=DC'\) i płaszczyzna \(A'B'C'\) była styczna do \(\Omega.\)
Sfera \(\Omega\) przetnie płaszczyznę \(DA'B'\) wzdłuż okręgu o promieniu \(\sqrt{5^2-3^2} =4,\) płaszczyznę \(DB'C'\) wzdłuż okręgu o promieniu \(\sqrt{5^2-4^2} =3,\) a płaszczyznę \(DC'A'\) wzdłuż okręgu o promieniu \(\sqrt{5^2-\sqrt{21}^2} =2.\)
Przesuwamy teraz równolegle płaszczyznę \(A'B'C'\) w kierunku \(D\) aż do momentu, w którym \(O\in A'B'C'.\) Widzimy, że \(\Omega\) przecina \(A'B'C'\) wzdłuż okręgu, którego promień może być dowolną liczbą z przedziału \((0,5],\) w szczególności może być równy \(1.\)
Sonda kosmiczna znajduje się w przestrzeni międzyplanetarnej w odległości 570 000 km od Jowisza. Na pokładzie sondy znajduje się szpula magnetofonu o masie 1,3 kg i promieniu 12 cm, będąca walcem obracającym się wokół swojej osi. Szpula zostaje wprawiona w ruch obrotowy z okresem 8 s. Przyjmij, że oś obrotu szpuli pokrywa się z jedną z osi głównych sondy, a moment bezwładności całej sondy (bez szpuli) względem tej osi wynosi \(1000\,\mathrm{ kg\cdot m^{2}}.\)
Zakładamy, że przed uruchomieniem magnetofonu sonda była nieruchoma i że nie działają na nią żadne siły zewnętrzne. Oblicz, o ile maksymalnie przesunie się środek tarczy Jowisza na fotografii wykonanej z sondy, w wyniku jej obrotu, po 2 minutach pracy magnetofonu.
Niech \(I_{\mathrm{s}}\) oznacza moment bezwładności korpusu sondy względem danej osi, a \(I_{\mathrm{r}}\) moment bezwładności szpuli (traktowanej jak jednorodny walec, \(I_{\mathrm{r}}=\frac{1}{2} m r^2\)). Oznaczmy także przez \(\omega_{\mathrm{r}}=2\pi/T\) prędkość kątową szpuli, gdzie \(T\) jest jej okresem obrotu. Z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy natychmiast: \[I_{\mathrm{s}}\,\omega_{\mathrm{s}} + I_{\mathrm{r}}\,\omega_{\mathrm{r}} = 0 \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \omega_{\mathrm{s}} = -\,\frac{I_{\mathrm{r}}}{I_{\mathrm{s}}}\,\omega_{\mathrm{r}}.\] W konsekwencji po czasie \(t\) kąt obrotu sondy wynosi: \[\Delta\varphi = |\omega_{\mathrm{s}}|\,t = \frac{I_{\mathrm{r}}}{I_{\mathrm{s}}}\,\frac{2\pi t}{T} = \frac{ m r^2}{I_{\mathrm{s}}}\,\frac{\pi t}{T}.\] Jeśli oś obrotu ma składową prostopadłą do kierunku patrzenia kamery, ten kąt przekłada się bezpośrednio na ugięcie linii celowania na niebie. Równoważne przesunięcie liniowe środka tarczy Jowisza w rzucie na odległość \(D\) to (w przybliżeniu dla małego kąta) \[\Delta x = D\,\Delta\varphi.\] Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy: \[\Delta\varphi = 8{,}82\cdot 10^{-4}\,\mathrm{rad} = {0{,}0505}{^{\circ}} \approx {182}{”}.\] Dla odległości \(D=5{,}7\cdot 10^{5}\,\mathrm{km}\): \[\Delta x = D\,\Delta\varphi \approx {500}{km}\ .\] Uwaga: Jeżeli oś obrotu pokrywa się z osią optyczną kamery, obraz jedynie obraca się w kadrze – bez przesunięcia środka tarczy.
Na rysunku pokazano szklaną soczewkę o promieniu krzywizny \(R=3\,\mathrm{m}\) umieszczoną na płaskiej płytce szklanej i oświetlonej od góry światłem białym. Wyznacz promienie \(r\) prążków interferencyjnych – promienie pierścieni Newtona – odpowiadających barwie niebieskiej 460 nm. Przyjmij, że \(r \ll R.\)
Z geometrii rysunku wynika, że \[d = R - \sqrt{R^2 - r^2},\] gdzie \(R\) jest promieniem krzywizny soczewki, a \(r\) jest promieniem pierścienia Newtona. Zatem \[\frac{(2m+1)\lambda}{4} = R - \sqrt{R^2 - r^2}.\] Skąd otrzymujemy: \[r = \sqrt{ \frac{(2m+1)R\lambda}{2} - \frac{(2m+1)^2\lambda^2}{16} }.\]
Jeśli \(R\) jest dużo większe od długości fali, pierwszy składnik dominuje nad drugim i \[r = \sqrt{\frac{(2m+1)R\lambda}{2}}.\] Wartości liczbowe to: \(r_1 \approx 1{,}44\,\mathrm{mm},\) \(r_2 \approx 1{,}86\,\mathrm{mm}.\)