Na prostokątnym arkuszu papieru poprowadzono kilka odcinków równoległych do jego boków. Odcinki te podzieliły arkusz na prostokąty, wewnątrz których nie ma już narysowanych linii. Wanda chce w każdym z tych prostokątów poprowadzić jedną przekątną, dzieląc go na dwa trójkąty, a następnie pokolorować każdy trójkąt na czarno albo na biało. Czy jest prawdą, że zawsze można to zrobić w taki sposób, aby żadne dwa trójkąty tego samego koloru nie miały wspólnego odcinka brzegowego?
W każdym z prostokątów poprowadźmy przekątną z lewego dolnego rogu do prawego górnego. Następnie wszystkie trójkąty przylegające do lewego górnego wierzchołka prostokąta pokolorujmy na czarno, a pozostałe – na biało.
Pokażemy, że takie kolorowanie spełnia warunki zadania. Rozważmy wspólny odcinek brzegu dwóch trójkątów. Jeżeli jest to odcinek przekątnej, to z jednej strony przylega do niego trójkąt czarny, a z drugiej biały. Jeżeli odcinek jest poziomy, to nad nim znajduje się trójkąt biały, a pod nim czarny; analogicznie w przypadku odcinka pionowego.
W każdym przypadku dwa trójkąty mające wspólny odcinek brzegu są różnego koloru, co kończy dowód.
W przestrzeni dane są odcinki \(AA_1,\) \(BB_1\) oraz \(CC_1\) o wspólnym środku \(M.\) Okazało się, że sfera \(\omega,\) opisana na czworościanie \(MA_1B_1C_1,\) jest styczna do płaszczyzny \(ABC\) w punkcie \(D.\) Niech \(O\) będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC.\) Udowodnić, że \(MO = MD.\)
Symetria środkowa względem punktu \(M\) przekształca trójkąt \(ABC\)
na trójkąt \(A_1B_1C_1.\)
W szczególności punkty \(O\) i \(O_1\) są symetryczne względem punktu \(M,\)
a więc \(M\) jest środkiem odcinka \(OO_1.\)
Ponadto płaszczyzny \(ABC\) i \(A_1B_1C_1\) są równoległe.
Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i prostopadła do tych płaszczyzn przecina płaszczyznę \(ABC\) w punkcie \(D\) oraz płaszczyznę \(A_1B_1C_1\) w punkcie \(O_1.\) Stąd \(\angle O_1DO = 90^\circ.\)
W trójkącie prostokątnym \(O_1DO\) punkt \(M\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(OO_1,\) a więc \(MO = MD,\) co kończy dowód.
Dane są takie liczby dodatnie \(a,\) \(b,\) \(c,\) że z odcinków o długościach \(a^{2026},\) \(b^{2026},\) \(c^{2026}\) można zbudować trójkąt. Udowodnić, że jedną z liczb \(a,\) \(b\) lub \(c\) można podzielić przez \(2026,\) otrzymując liczby \(a',b',c',\) tak że z odcinków o długościach \(a',b',c'\) również można zbudować trójkąt.
Stąd \[(a' + b')^n > b^n + b^{\,n-1}a~\ge b^n + a^n > c^n.\] Ostatecznie \[(a' + b')^n > c^n = (c')^n,\] a zatem \(a' + b' > c'.\)
Ołówek o masie \(m\) i promieniu \(r\) podparto przy końcach ustawionymi prostopadle do niego palcami. Współczynniki tarcia kinetycznego i statycznego między palcem a ołówkiem wynoszą odpowiednio \(\mu\) i \(\mu _\mathrm{s}.\) W pewnym momencie palce zaczęto jednostajnie zbliżać do siebie wzdłuż osi ołówka. Czy zbliżając palce wystarczająco wolno, można sprawić, że ołówek w czasie ruchu nie straci równowagi?
Przed rozpoczęciem ruchu palców na ołówek oprócz siły ciężkości \(mg\) przyłożonej w środku masy \(O\) działają jedynie siły reakcji \(N_L\) i \(N_R.\) Rozkład masy ołówka wzdłuż jego osi jest niesymetryczny, zatem możemy przyjąć \(x_L < x_R.\) Momenty sił względem punktu \(O\) muszą się równoważyć: \[x_L N_L = x_R N_R.\] Wynika stąd \(N_L > N_R,\) więc aby wprawić palce w jednostajny ruch, należy przezwyciężyć jedynie siłę tarcia statycznego działającą na prawy palec. Ołówek pozostanie w bezruchu względem lewego palca i zacznie przesuwać się po prawym. Warunek równowagi momentów sił względem punktu \(O\) nie zmieni swej postaci, dopóki siły tarcia działające na ołówek będą się znosić. Oznacza to, że stosunek sił reakcji \(N_L/N_R\) będzie malał, dopóki będzie spełniona nierówność: \[\mu _\mathrm{s} N_L \geq \mu N_R.\] Dla \(N_R > (\mu _\mathrm{s}/\mu) N_L,\) czyli \(x_R < (\mu/\mu _\mathrm{s}) x_L,\) ołówek zacznie przesuwać się również względem lewego palca. Teraz warunek równowagi momentów sił względem punktu \(O\) przyjmie postać: \[x_L N_L + r \mu N_R = x_R N_R + r \mu N_L.\] Przekształcając równoważnie, otrzymujemy: \[\frac{N_L}{N_R} = \frac{x_R - r\mu}{x_L - r\mu}.\] Jeżeli palce zbliżają się dostatecznie powoli, rosnąca wypadkowa sił tarcia kinetycznego działająca na ołówek wyhamuje go względem prawego palca, zanim licznik ułamka po prawej stronie powyższego równania osiągnie wartość zero. Ołówek pozostanie w bezruchu względem prawego palca i będzie dalej przesuwać się po lewym. Opisany proces będzie przebiegał na przemian w jedną i w drugą stronę, dopóki palce się nie zetkną. Przez cały czas punkt \(O\) będzie znajdował się pomiędzy palcami, czyli ołówek nie straci równowagi.
Walcowy korek o promieniu \(r\) wyciągany jest z prędkością \(v\) pionowo z szyjki butelki. Jaką dodatkowo prędkość kątową \(\omega\) należy nadać korkowi, żeby siła tarcia działająca wzdłuż osi szyjki zmniejszyła się dwukrotnie?