Deltoid

Liczby zespolone w geometrii

Geometryczną interpretacją ciała liczb zespolonych jest płaszczyzna. Za pomocą liczb zespolonych można opisywać własności figur i przekształceń na płaszczyźnie. Oto kilka przykładów takich zastosowań...

Liczby zespolone to liczby postaci $\text{[math]}$ gdzie $\text{[math]}$ , zaś $\text{[math]}$ to jednostka urojona, $\text{[math]}$ . Liczby $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Można je reprezentować na płaszczyźnie: $\text{[math]}$ . Wygodniejszy bywa biegunowy układ współrzędnych, wtedy $\text{[math]}$ , gdzie moduł $\text{[math]}$ to odległość $\text{[math]}$ od 0, zaś $\text{[math]}$ to argument $\text{[math]}$ : kąt od dodatniej półosi poziomej do wektora $\text{[math]}$ , z dokładnością do $\text{[math]}$ (rys. 1). Kąty zawsze mierzymy antyzegarowo.

Dodajemy zwyczajnie: $\text{[math]}$ . Mówiąc geometrycznie, liczby zespolone dodajemy tak, jak wektory (rys. 1). Mnożymy też zwyczajnie: $\text{[math]}$ (bo $\text{[math]}$ ). Okazuje się, że moduły się mnoży, a argumenty dodaje. Na przykład mnożenie przez $\text{[math]}$ to obrót o $\text{[math]}$ (rys. 2). Liczbę odpowiadającą punktowi $\text{[math]}$ oznaczamy przez $\text{[math]}$ .

Fakt 1 (rys. 1). Środek odcinka $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ . Ponadto $\text{[math]}$

Fakt 2 (rys. 2). Jeśli w kwadracie $\text{[math]}$ mamy $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$

Tego typu własności przydają się w rozwiązywania zadań geometrycznych.