Przeskocz do treści

Delta mi!

Deltoid

Liczby zespolone w geometrii

Joanna Jaszuńska

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: maj 2009
  • Publikacja elektroniczna: 18-06-2010
  • Wersja do druku [application/pdf]: (149 KB)

Geometryczną interpretacją ciała liczb zespolonych jest płaszczyzna. Za pomocą liczb zespolonych można opisywać własności figur i przekształceń na płaszczyźnie. Oto kilka przykładów takich zastosowań...

Liczby zespolone to liczby postaci math gdzie math, zaś math to jednostka urojona, math. Liczby math, math są równe wtedy i tylko wtedy, gdy math, math. Można je reprezentować na płaszczyźnie: math. Wygodniejszy bywa biegunowy układ współrzędnych, wtedy math, gdzie moduł math to odległość math od 0, zaś math to argument  math: kąt od dodatniej półosi poziomej do wektora  math, z dokładnością do  math (rys. 1). Kąty zawsze mierzymy antyzegarowo.

Dodajemy zwyczajnie: math. Mówiąc geometrycznie, liczby zespolone dodajemy tak, jak wektory (rys. 1). Mnożymy też zwyczajnie: math (bo math). Okazuje się, że moduły się mnoży, a argumenty dodaje. Na przykład mnożenie przez math to obrót o  math (rys. 2). Liczbę odpowiadającą punktowi  math oznaczamy przez  math.

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Fakt 1 (rys. 1). Środek odcinka math to math. Ponadto math


obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Fakt 2 (rys. 2). Jeśli w kwadracie math mamy math to math oraz math


Tego typu własności przydają się w rozwiązywania zadań geometrycznych.