Twierdzenie Motzkina

Jedną z największych różnic pomiędzy matematykami współczesnymi a tymi sprzed stuleci jest wąska specjalizacja tych pierwszych. Z biografii gigantów, takich jak Euler, Gauss czy Riemann, jasno wyłania się obraz matematyków wszechstronnych, zajmujących się wszystkimi dziedzinami ówczesnej królowej nauk. Ich następcy, oczywiście z pewnymi chwalebnymi (lecz jakże rzadkimi) wyjątkami, są tak wąsko wyspecjalizowani, że często nie potrafią zrozumieć wyników swoich kolegów z innych dziedzin.

Częściowo z tego powodu w matematyce współczesnej bardzo poczesne miejsce zajmują teorie, w których wykorzystuje się narzędzia z różnych dziedzin. Przykładem znanym ze szkoły są funkcje wypukłe, które można scharakteryzować geometrycznie, ale także, zakładając odpowiednią regularność, w sposób czysto analityczny – druga pochodna takiej funkcji musi być wszędzie nieujemna.

W tekście tym przedstawione zostanie twierdzenie dotyczące tak zwanej funkcji odległości, które także wiąże wypukłość z pewnymi faktami z analizy matematycznej. Tym razem jednak głównym aktorem będzie pierwsza pochodna zamiast drugiej. Oto i główne danie w menu:

Twierdzenie (Motzkina). Niech $K$ będzie domkniętym podzbiorem płaszczyzny, a $d_K$ funkcją mierzącą odległość od zbioru $K$: $$d_K(p)=min\{\parallel p-q\parallel |q\in K\}\text{(zob. rys. 1)}.$$ Wówczas zbiór $K$ jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja odległości $d_K$ jest różniczkowalna na dopełnieniu $K,$ czyli na zbiorze ${\mathbb{R}}^2\setminus K.$

Jest to dość niezwykły fakt wiążący geometrię $K$ z regularnością $d_K.$ Otóż na oko wydawać się może, że za regularność funkcji $d_K$ powinna odpowiadać gładkość brzegu $K,$ a nie geometryczny kształt. Zanim jednak zagłębimy się w meandry tegoż twierdzenia, starannie wyjaśnijmy wszystkie pojęcia, aby nie było nieporozumień. Polecam również lekturę artykułu Michała Miśkiewicza z ${\mathrm{\Delta }}_{24}^2$ pt. Babo, babo, udaj się.

Na początek przypomnijmy, czym jest domkniętość: intuicyjnie zbiory domknięte to te, które zawierają swój brzeg (pełna definicja widnieje obok). Do czego przyda nam się to pojęcie? Zobaczymy za chwilę.

Wytrawny Czytelnik spostrzeże w definicji funkcji $d_K$ pewną subtelność: czemu niby wartość minimum musiałaby istnieć, skoro bierzemy ją po zbiorze, który wcale skończony być nie musi? Otóż właśnie tu interweniuje (po raz pierwszy) domkniętość – jeżeli weźmiemy ciąg punktów $q_j$ z $K,$ które prawie realizują minimum i są coraz bliżej tego celu, to okaże się, że pewien podciąg punktów $q_j$ będzie zbieżny do jakiegoś punktu $\hat{q}\in K.$ Okazuje się, że $\hat{q}$ będzie realizować minimum! Szczegóły tego rozumowania pozostawiamy Ambitnym Czytelnikom jako ciekawe ćwiczenie.

Funkcję odległości definiuje się w miarę prosto, niestety gorzej jest z jej jawnym wyliczeniem. Na przykład dla koła domkniętego ${\bar{B}}_r((0,0))$ da się to zrobić stosunkowo łatwo i wzór wygląda następująco: $$d_{{\bar{B}}_r((0,0))}(p)=\{\begin{array}{ll}0& \text{dla }p\in {\bar{B}}_r((0,0));\\ \parallel p\parallel -r& \text{w przeciwnym przypadku.}\end{array}$$ Ambitnemu Czytelnikowi pozostawiamy wyliczenie $d_K$ dla ciekawszych geometrycznych obiektów, choćby kwadratu $[-1,1{]}^2,$ który wymaga już rozpatrzenia większej liczby przypadków (rys. 2).

Musimy także przypomnieć pojęcie różniczkowalności dla funkcji wielu zmiennych. Niestety, znany Czytelnikowi wzór $$f^{\prime }(p)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$$ nie da się zastosować, gdyż w przypadku wielu zmiennych parametr $h$ byłby wektorem, zaś przez wektory dzielić nie wolno! Zmodyfikujmy więc nieco definicję:

Definicja. Funkcję $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ nazywamy różniczkowalną w punkcie $p=(p_1,p_2),$ jeżeli istnieją stałe $a_1,a_2$ takie, że $$\underset{h_1^2+h_2^2\to 0}{lim}\frac{|f((p_1+h_1,p_2+h_2))-f((p_1,p_2))-a_1{h}_1-a_2{h}_2|}{\parallel h\parallel }=0.$$ Funkcję nazywamy różniczkowalną na zbiorze $U,$ jeżeli jest ona różniczkowalna w każdym punkcie zbioru $U.$ Stałe $a_1,a_2$ (oczywiście zależne od punktu $p$!) nazywamy pochodnymi cząstkowymi $f$ w $p$ i piszemy $a_1=\frac{\partial f}{\partial x_1}(p),a_2=\frac{\partial f}{\partial x_2}(p).$

Czy jest jakaś intuicja stojąca za tą, trochę zagmatwaną, definicją? Czytelnik zechce zauważyć, że płaszczyzna $x_3=f((p_1,p_2))+a_1(x_1-p_1)+a_2(x_2-p_2)$ w ${\mathbb{R}}^3$ będzie wtedy spełniać rolę stycznej do wykresu $f$ w punkcie $(p_1,p_2).$ Tak więc różniczkowalność w danym punkcie jest równoważna istnieniu płaszczyzny stycznej do wykresu.

Staranne wyliczenie dla $d_{{\bar{B}}_r((0,0))}$ pozwala stwierdzić, że na okręgu $\{x^2+y^2=r^2\}$ funkcja $d_{{\bar{B}}_r((0,0))}$ nie jest różniczkowalna, natomiast jest różniczkowalna w dopełnieniu. Jeżeli Czytelnik uporał się z wyznaczeniem $d_{[-1,1{]}^2},$ to zechce zauważyć, że brak gładkości na brzegu $[-1,1{]}^2$ nie wpływa, wbrew intuicji, na różniczkowalność $d_{[-1,1{]}^2}$ w dopełnieniu!

Jesteśmy już gotowi do wyjaśnienia sobie, dlaczego geometria i analiza wiążą się w twierdzeniu Motzkina. Jak to w matematyce często bywa, powiązanie dwóch pozornie nieskorelowanych faktów najczęściej odbywa się poprzez przeformułowanie ich w nieco innym języku. Zacznijmy od strony geometrycznej:

Lemat. Zbiór $K$ na płaszczyźnie jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu $p$ z dopełnienia istnieje dokładnie jeden punkt $q\in K$ najbliższy punktowi $p.$

Jedna część lematu jest trywialna: jeżeli $q_1\ne q_2$ są dwoma punktami z $K$ (jednocześnie) najbliższymi do pewnego punktu $p,$ to odcinek $[q_1,q_2]$ miałby kłopoty z wciśnięciem się do (wypukłego!) zbioru $K$ (rys. 3).

W drugą stronę jest ciekawiej. Przypuśćmy, że $K$ nie jest wypukły, i weźmy dwa punkty $q_1,q_2\in K,$ dla których odcinek $[q_1,q_2]$ nie jest zawarty w $K.$ Przecięcie odcinka $[q_1,q_2]$ z $K$ może być skomplikowane, niemniej dzięki domkniętości $K$ znajdziemy mniejszy odcinek $[l_1,l_2]$ zawarty w $[q_1,q_2],$ którego końce leżą w $K,$ ale wnętrze jest już rozłączne z $K.$

– To wtedy środek odcinka $(l_1,l_2)$ da nam punkt $p$ o dwóch najbliższych punktach do $K$! – może wykrzyknąć Czytelnik. Niestety nie jest to do końca poprawne, bo punkt $p$ może mieć najbliższego towarzysza z $K$ gdzieś jeszcze bliżej…

Bez straty ogólności umówmy się, że tak wybrany punkt $p$ jest początkiem układu współrzędnych. Jako że należy on do dopełnienia (domkniętego) zbioru $K,$ to pewna kula ${\bar{B}}_{\rho }((0,0))$ o środku w $p=(0,0)$ jest rozłączna z $K.$ Rozpatrzmy teraz rodzinę kół $$\mathcal{F}=\{B_r((x,y))|B_{\rho }((0,0))\subset B_r((x,y)),B_r((x,y))\cap K=\mathrm{\varnothing }\},$$ czyli rodzinę kół zawierających $B_{\rho }((0,0)),$ ale nadal rozłącznych z $K.$ Wiemy już, że jest ona niepusta. Wybierzmy teraz z rodziny $\mathcal{F}$ koło o największym promieniu – nazwijmy je $B_{r_0}(w)$ (rys. 4). Oczywiście na okręgu brzegowym koła $B_{r_0}(w)$ musi być pewien punkt $y\in K.$ Wykażemy, że nie jest on jedyny. Przypuśćmy więc przeciwnie i przesuńmy koło ${\bar{B}}_{r_0}(w)$ o $\epsilon >0$ w kierunku $\overrightarrow{yw}.$ Jeżeli $\epsilon$ dobierzemy wystarczająco małe, to przesunięte koło będzie rozłączne z $K.$ Jeśli ponadto nadal zawiera $B_{\rho }((0,0)),$ to wystarczy je teraz nadmuchać (delikatnie – bez obawy, że pęknie, może jednak dotknąć $K$…), i dostaniemy sprzeczność z maksymalnością $r_0.$ W ogólnym przypadku to dodatkowe założenie może nie być spełnione, bo koło ${\bar{B}}_{\rho }((0,0))$ może dotykać brzegu $B_{r_0}(w)$ w jakimś punkcie $z$ – wówczas wystarczy nieznacznie poprawić procedurę i kierunek przesuwania zmienić z $\overrightarrow{yw}$ na $\overrightarrow{yz}.$◻

Powyższy dowód jest nieco zagmatwany – można go znaleźć na przykład w książce Hörmandera [H, Th. 2.1.30]. Być może Czytelnik znajdzie prostszy? W każdym razie mamy już opis geometryczny za pomocą odległości – pozostaje analiza. Poniższy lemat zakończy dowód twierdzenia Motzkina:

Lemat. Niech $K$ będzie domkniętym podzbiorem płaszczyzny. Funkcja $d_K$ jest różniczkowalna w punkcie $p\in {\mathbb{R}}^2\setminus K$ wtedy i tylko wtedy, gdy najbliższy do $p$ punkt zbioru $K$ jest wyznaczony jednoznacznie.

Dowód przeprowadzimy dla $d_K^2$ (czyli kwadratu odległości od $K$) zamiast dla $d_K,$ gdyż bez kwadratu musielibyśmy się uporać z różniczkowaniem pierwiastków, co nie jest zbyt przyjemne. Na szczęście, dla funkcji dodatnich (a taka jest $d_K$ na ${\mathbb{R}}^2\setminus K$) różniczkowalność funkcji jest równoważna różniczkowalności jej kwadratu.

Także i tym razem mamy do wykazania dwie implikacje, przy czym jedna z nich jest bardzo łatwa. Przypuśćmy, że $d_K$ jest funkcją różniczkowalną w punkcie $p$ i niech $q$ będzie najbliższym do $p$ punktem z $K.$ Chcemy wykazać, że $q$ jest wyznaczony jednoznacznie. Do tego celu skonstruujmy funkcję $$f(w):=\parallel w-q{\parallel }^2-d_K^2(w)=(w_1-q_1{)}^2+(w_2-q_2{)}^2-d_K^2(w).$$ Jest to funkcja nieujemna (dlaczego?), a dodatkowo zeruje się ona w $p,$ czyli ma w $p$ minimum lokalne. Dla różniczkowalnych funkcji jednej zmiennej oznacza to zerowanie się pochodnej. A jak jest w przypadku dwóch (lub wielu) zmiennych? Przypomnijmy interpretację za pomocą płaszczyzny stycznej – w punkcie minimum płaszczyzna ta musi być pozioma, co w języku analizy oznacza, że pochodne cząstkowe są zerowe: $\frac{\partial f}{\partial x_1}(p)=0,$ $\frac{\partial f}{\partial x_2}(p)=0.$ Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że te równości można zapisać następująco: $$2(p_1-q_1)=\frac{\partial d_K^2}{\partial x_1}(p);2(p_2-q_2)=\frac{\partial d_K^2}{\partial x_2}(p).$$ Te wzory jednoznacznie wyznaczają punkt $q=(q_1,q_2).$

I tym razem w drugą stronę jest ciekawiej. Przyda nam się także trochę notacji: przez $⟨p,q⟩$ oznaczmy iloczyn skalarny $p=(p_1,p_2)$ oraz $q=(q_1,q_2)$ (traktowanych jako wektory na płaszczyźnie), czyli $p_1{q}_1+p_2{q}_2$; zauważmy, że $\parallel p{\parallel }^2=⟨p,p⟩.$ Będziemy pisać, że jakieś wyrażenie $l(h)$ jest $o(h)$ (czytamy: o małe od $h$) jeżeli $\underset{h_1^2+h_2^2\to 0}{lim}\frac{l(h)}{\parallel h\parallel }=0.$

Niech więc dla ustalonego $p\in {\mathbb{R}}^2\setminus K$ punkt $q$ będzie jedynym najbliższym z $K.$ Dowód pierwszej implikacji mówi nam, że jeśli funkcja $d_K^2$ jest różniczkowalna w $p,$ to jej pochodnymi cząstkowymi są $2(p_1-q_1)$ i $2(p_2-q_2).$ Pozostaje nam więc podstawić te wartości do definicji i sprawdzić zbieżność odpowiedniego ilorazu. Przy użyciu naszej notacji zbieżność ta wyraża się następująco: wyrażenie $d_K^2(p+h)-d_K^2(p)-2⟨p-q,h⟩$ jest $o(h).$

Do dzieła! Funkcja $d_K$ jest ciągła, a więc jeżeli wektor $h$ jest wystarczająco krótki, to punkt $p+h$ po pierwsze będzie w ${\mathbb{R}}^2\setminus K,$ a po drugie będzie istniał (niekoniecznie jedyny!) punkt $q_h\in K$ najbliższy do $p+h,$ przy czym $q_h$ musi zbiegać do $q,$ gdy $h_1^2+h_2^2\to 0$ (wyjaśnienie tych szczegółów pozostawiamy Czytelnikowi jako ćwiczenie). Dopełniając do kwadratu, otrzymujemy: $$\begin{array}{rl}{d}_K^2(p+h)-d_K^2(p)-2⟨p-q,h⟩& =\parallel p+h-q_h{\parallel }^2-\parallel p-q{\parallel }^2-2⟨p-q,h⟩=\\ & =\underset{o(h)}{\underbrace{\parallel h{\parallel }^2}}+\underset{\le 0}{\underbrace{\parallel p+h-q_h{\parallel }^2-\parallel p+h-q{\parallel }^2}}\le o(h),\end{array}$$ co jest połową naszej tezy. Powyżej $\parallel h{\parallel }^2$ jest ,,książkowym” przykładem wyrazu $o(h),$ natomiast nierówność $\parallel p+h-q{\parallel }^2\ge \parallel p+h-q_h{\parallel }^2$ wynika z określenia punktu $q_h.$ Z podobnych względów prawdziwa jest nierówność $\parallel p-q_h{\parallel }^2\ge \parallel p-q{\parallel }^2,$ która przyda się, jeśli skorzystamy z tej samej tożsamości, ale inaczej: $$\begin{array}{c}(\dots )=\underset{o(h)}{\underbrace{\parallel h{\parallel }^2}}+\underset{\ge 0}{\underbrace{\parallel p-q_h{\parallel }^2-\parallel p-q{\parallel }^2}}+\underset{o(h)}{\underbrace{2⟨h,q-q_h⟩}}\ge o(h).\end{array}$$ Tym razem pojawił się dodatkowy wyraz, ograniczony w module przez $2\parallel h\parallel \cdot \parallel q-q_h\parallel ,$ a więc również postaci $o(h).$ Okazuje się w ten sposób, że $d_K^2(p+h)-d_K^2(p)-2⟨p-q,h⟩$ jest szacowane z obu stron przez $o(h),$ czyli samo jest wręcz postaci $o(h).$ To kończy dowód różniczkowalności $d_K^2$ w $p.$

Zamiast zakończenia. W dowodzie Twierdzenia Motzkina było wiele zwrotów akcji, rozumowań nie wprost czy też trickowych obserwacji. Współczesna matematyka pełna jest podobnych rozumowań i dlatego też jest niezwykle ciekawa.