Nasza saga, jak niejedna w matematyce, rozpoczyna się od stosunkowo nietrudnego zadania.
Zadanie. Na ścianach sześcianu napisano liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, każdą na dokładnie jednej ścianie. Następnie w każdy wierzchołek wpisano sumę liczb znajdujących się na ścianach sąsiadujących z tym wierzchołkiem. Czy jest możliwe, że w każdym wierzchołku otrzymano taką samą sumę?
Zadanie to ma co najmniej dwa istotnie różne rozwiązania.
Sposób 1 (globalny). Ponieważ każda ściana sąsiaduje z czterema wierzchołkami, więc suma liczb wpisanych w wierzchołki danego sześcianu jest równa
Sposób 2 (lokalny). Przypatrzmy się dowolnie wybranej krawędzi. Powiedzmy, że liczby na ścianach z nią sąsiadujących to
Cała historia mogłaby się w tym miejscu zakończyć, gdyby nie to, że akurat w tej chwili postanowiła się zacząć. Po rozwiązaniu warto wszak podjąć refleksję nad pewnymi uogólnieniami obu metod, choćby na pozostałe wielościany foremne. Dla wygody wprowadzimy tu nowe pojęcie: dla wielościanu o
Ćwiczenie. Ściany których wielościanów foremnych (rys. 2) można pięknie ponumerować? W których przypadkach można to pytanie rozstrzygnąć argumentem globalnym, a w których lokalnym?
Polowanie czas zacząć.
Celne pytanie postawił jeden z uczniów, którzy w czasie zajęć rozwiązali podane zadanie sposobem globalnym; mianowicie: czy gdyby otrzymana suma okazała się podzielna przez liczbę wierzchołków, to świadczyłoby to o wykonalności pięknego numerowania?
Formalnie odpowiedź jest oczywiście negatywna: to, że nie widzimy przeszkód, nie świadczy jeszcze o nieistnieniu takich przeszkód. Przekonał się o tym każdy, kto rozwiązywał choćby najprostsze zadania związane z metodą niezmienników. Wprawny retor rzekłby, że brak dowodu nie dowodzi braku. Z punktu widzenia dydaktyki warto jednak nie tylko się powymądrzać, ale też zilustrować swój argument stosownym przykładem. (Dzięki temu można zresztą powymądrzać się trochę dłużej). Poszukamy więc takiego wielościanu, którego ścian nie można pięknie ponumerować, przy czym faktu tego nie można wykazać argumentem globalnym. Chcielibyśmy jednak, aby wynikał on z argumentu lokalnego – wszak jakoś musimy dowieść niemożliwości owego pięknego numerowania.
Problem. Czy istnieje wielościan o
Istnieje liczba
taka, że każda ściana jest -kątem; ;w każdym wierzchołku spotykają się dokładnie
krawędzie.
Wielościan taki nazwiemy wielościanem uroczym.
Przyjrzyjmy się jeszcze powyższej definicji. Warunek i) gwarantuje, że argument globalny da się sformułować bez większych zmian; warunek ii) – że argument ten zawodzi; wreszcie dzięki iii) skuteczny jest argument lokalny, w szczególności dany wielościan istotnie nie dopuszcza pięknego numerowania ścian.
Niestety przykładu wielościanu uroczego podczas tej lekcji nie znaleziono, mimo że uczniowie, zachęceni obietnicą szóstek, czekoladek i uścisków dłoni, wypróbowali szereg rozmaitych pomysłów. Słowem – konieczne okazało się wezwanie artylerii.
Rysopis poszukiwanego.
Poszukiwania wielościanu zaczniemy od zdobycia o nim dodatkowych informacji. Na przykład, skoro każda ściana wielościanu uroczego jest
Powszechnie znany jest wzór na kolejne liczby trójkątne:
Podsumujmy nasze wnioski.
Stwierdzenie. Wielościan o
jest liczbą parzystą; jest liczbą nieparzystą;w każdym wierzchołku spotykają się dokładnie 3 krawędzie.
Ponadto zachodzi wówczas równość
Stwierdzenie to samo w sobie stanowi dramatyczne uproszczenie wcześniejszej definicji wielościanu uroczego. Bezpośrednie poszukiwania nadal jednak nie przynoszą skutku. Może więc uda się w jakiś sposób wykluczyć istnienie wielościanów uroczych?
Detektyw Euler na pomoc.
Spróbujemy zastosować słynny wzór Eulera.
Twierdzenie (wzór Eulera). Jeżeli w dowolnym wypukłym wielościanie oznaczymy przez
Jest to już kolejna napotkana przez nas zależność wiążąca
Z otrzymanej równości wynika, że
Powyższe rozważania pokazują, że zależności podobne do wzoru Eulera mogą być bardzo użyteczne. Musimy jednak przenieść poszukiwania na inne obszary.
Koło ratunkowe.
Szczęśliwie się składa, że odpowiedniki wzoru Eulera istnieją także dla wielościanów niewypukłych. Kluczową charakterystyką wielościanu jest jego genus, który można rozumieć – przynajmniej na poziomie intuicyjnym – jako liczbę dziur owego wielościanu.
Twierdzenie (ogólny wzór Eulera). Dla wielościanu genusu
Podobnie jak ostatnio, dla uroczego wielościanu genusu
Teraz, po zawężeniu obszaru poszukiwań do wielościanów ,,z jedną dziurą” i o sześciokątnych ścianach, możemy poprosić o pomoc wyszukiwarkę internetową. Istotnie, z jej pomocą udało się znaleźć nie jeden, ale dwa urocze wielościany! Oba zostały odkryte przez Lajosa Szilassiego i opisane w pracy z 1986 r.
Pierwszy wielościan ma znacznie prostszą strukturę – to zwykły sześcian z chytrze wydrążoną dziurą. Jednak to ten drugi został zapamiętany jako wielościan Szilassiego. Ma on szereg innych interesujących własności. Na przykład każda jego ściana sąsiaduje z każdą z pozostałych, co jest najgorszą możliwą sytuacją dla pięknego numerowania ścian. Wśród wielościanów jest to zjawisko niesamowicie rzadkie.
Zadania
1. Rozwiąż zadanie o pięknym numerowaniu ścian sześcianu sposobem innym niż dwa przedstawione na początku artykułu. Dla jakich innych wielościanów można go zastosować?
2. Jak zmodyfikować treść zadania o pięknym numerowaniu ścian sześcianu (inaczej niż zmieniając wielościan), tak aby nadal można je było rozwiązać sposobem lokalnym, ale nie globalnym?
3. Wykaż, że nie jest możliwe piękne ponumerowanie ścian: a. żadnego graniastosłupa; b. żadnego ostrosłupa.
4. Wykaż, że każdy wielościan wypukły ma ścianę, która jest wielokątem o co najwyżej pięciu bokach.
5. Znajdź wielościan, który ma dokładnie 16 ścian, 32 krawędzie i 16 wierzchołków.
6. Wykaż, że nie istnieje uroczy wielościan genusu 2 ani 3.
7. Wykaż, że nie istnieje uroczy wielościan genusu
8. Ile ścian może mieć uroczy wielościan genusu 4?
9. Wykaż, że każdy wielościan uroczy ma co najmniej 7 ścian.