Delta 5/2024

Czy na każdej sferze istnieje mnożenie?

Jean d’Alembert (1717–1783), francuski filozof, matematyk i fizyk, wyraził opinię, że algebra jest szczodra – często daje więcej, niż jest o to proszona. Te słowa d’Alemberta nigdy nie przestały być aktualne – niejednokrotnie problemy matematyczne były (i nadal są) rozwiązywane przy użyciu algebry, nawet jeśli w samym sformułowaniu zagadnienia nie widać jej śladu.

Przez sferę potocznie rozumie się zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej równoodległych od zadanego punktu. Tak opisujemy sferę dwuwymiarową. Podobnie postąpimy przy określeniu sfery (n1)-wymiarowej w przestrzeni euklidesowej Rn dla dowolnej liczby naturalnej n1. Przestrzeń ta składa się z punktów postaci x=(x1,,xn); to jest n-tek liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi punktu x. Punkt 0=(0,,0) nosi nazwę początku układu współrzędnych. Skupiając się na sferach jednostkowych, zbiór punktów xRn odległych o 1 od początku układu współrzędnych, to jest o normie x=1, nazywamy sferą (n1)-wymiarową i oznaczamy przez Sn1. Przez normę punktu x rozumiemy liczbę x=x12++xn2, która jest odległością punktu x od punktu 0. Bohaterami tego artykułu są sfery S0 (zbiór dwupunktowy {1,+1}), S1 (okrąg), S2 (standardowa sfera), S3, , niezmiennie przyciągające uwagę matematyków. Nim odpowiemy na pytanie zadane w tytule, omówimy własności, o których myślimy przy mnożeniu punktów na sferze. Najpierw jednak przyjrzymy się sferom S0, S1, S3 oraz S7.

Sfery o wymiarach 0 i 1.

Sfera S0 to zbiór {1,1}, w którym liczby ±1 mnożymy tak, jak nas uczono od dziecka (zob. tabelkę na marginesie). Sfera S1 składa się z par (x,y) liczb rzeczywistych spełniających x2+y2=1, jest więc okręgiem o promieniu 1. A jak mnożyć pary liczb rzeczywistych? Odpowiedzią jest zbiór liczb zespolonych oznaczany przez C, czyli zbiór R2 z działaniami: c+z=(a+x,b+y), cz=(axby,ay+bx),   c=(a,b), z=(x,y). Dodawanie wykonujemy po prostu na każdej współrzędnej z osobna, natomiast pewną motywację dla mnożenia można znaleźć na marginesie. Mnożenie takie jest przemienne, co oznacza tyle, że zawsze zachodzi cz=zc.

Przydatne są pojęcia modułu |z|=x2+y2 i sprzężenia z=(x,y) liczby zespolonej z=(x,y)C. Pozwalają one łatwo opisać element odwrotny (ze względu na mnożenie) do dowolnej liczby zespolonej z(0,0): jest nim z1=z/|z|2. Nietrudno się też przekonać, że |cz|=|c||z|, więc w szczególności iloczyn dowolnych dwóch liczb z okręgu S1 również leży na tym okręgu. W ten sposób uzyskujemy mnożenie punktów okręgu S1.

Sfery o wymiarach 3 i 7.

William W. Hamilton, poszukując bezskutecznie wzoru na mnożenie trójek liczb rzeczywistych, znalazł (już przez nas podany) wzór na mnożenie par liczb rzeczywistych, po czym rozszerzył go na mnożenie par liczb zespolonych w następujący sposób: (a,b)(x,y)=(axyb,ya+bx). Tym razem symbol użyty jest w iloczynie (a,b)(x,y) par liczb zespolonych. Dodawanie par określa się jak zwykle: (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y). Przy tych działaniach zbiór C×C (tożsamy ze zbiorem czwórek liczb rzeczywistych, czyli R4) oznacza się przez H, a jego elementy nazywa się kwaternionami. Moduł i sprzężenie kwaternionu z=(x,y) o liczbach zespolonych x=(x1,x2) i y=(y1,y2) określone są wzorami: |z|=|x|2+|y|2=x12+x22+y12+y22, z=(x,y)=(x1,x2,y1,y2), a wzór z1=z/|z|2 określa element odwrotny (ze względu na mnożenie) do kwaternionu z(0,0). Odnotujmy, że podobnie jak dla liczb zespolonych moduł iloczynu dwóch kwaternionów jest iloczynem ich modułów.

Sfera S3 składa się z par (x,y) liczb zespolonych spełniających |x|2+|y|2=1, co oznacza, że x12+x22+y12+y22=1; inaczej mówiąc: sfera S3 jest zbiorem kwaternionów o module 1. Wzór na moduł iloczynu dwóch kwaternionów zapewnia, że iloczyn dwóch kwaternionów ze sfery S3 również do niej należy – w ten sposób uzyskujemy mnożenie punktów ze sfery S3. Kwaterniony różni od liczb zespolonych jedna fundamentalna własność. Tym razem mnożenie nie jest przemienne: na przykład iloczyn (0,1)(i,0) jest różny od (i,0)(0,1).

Czy procedurę tę można kontynuować? Odpowiedź brzmi: tak! Opierając się na konstrukcji zwanej metodą Cayleya–Dicksona, sumę i iloczyn dwóch par kwaternionów można określić tak samo, jak zrobił to Hamilton dla par liczb zespolonych (zob. margines). Po przyjęciu tych działań zbiór H×H (tożsamy ze zbiorem R8) oznacza się przez O, a jego elementy nazywa oktonionami. Tak jak poprzednio, umożliwia to określenie mnożenia punktów ze sfery S7.

Tak określone działanie mnożenia oktonionów, podobnie jak mnożenie kwaternionów, nie jest przemienne, a na dodatek nie jest łączne, nawet wtedy, gdy ograniczymy się do oktonionów ze sfery S7 (zob. przykład na marginesie).

Własności mnożenia.

Na każdej ze sfer S0, S1, S3 określiliśmy działanie mnożenia. Pomyślmy, jakie są wspólne własności tych działań. Jak łatwo jest zauważyć, dla wszystkich punktów z danej sfery G:

  1. istnieje taki punkt e, że ex=x=xe dla każdego punktu xG;

  2. dla każdego xG istnieje taki punkt x1, że xx1=e=x1x;

  3. (xy)z=x(yz) dla dowolnych trzech punktów x,y,z.

W pierwszej własności rolę punktu e pełni jedynka (rzeczywista, zespolona lub kwaternionowa); punkt e nazywa się elementem neutralnym mnożenia. Druga własność jest spełniona dla x1=x/|x|2. Trzecia własność nazywa się łącznością mnożenia. Mnożenie liczb rzeczywistych i zespolonych spełnia też własność (4): xy=yx, zwaną przemiennością mnożenia. Jak już odnotowaliśmy, mnożenie kwaternionów nie jest przemienne, a mnożenie oktonionów nie jest ani przemienne, ani łączne.

Definicja. Przez mnożenie grupowe w zbiorze G rozumie się taką funkcję μ:G×GG, że po oznaczeniu wartości μ(x,y) symbolem xy spełnione są wymienione wyżej własności (1), (2), (3). Zbiór G z ustalonym mnożeniem grupowym nazywa się grupą. Jeżeli dodatkowo spełniona jest własność (4), to grupa G nazywa się grupą abelową.

Istnieje bardzo ważna własność natury topologicznej, którą posiada mnożenie na każdej ze sfer G=S0, S1, S3, S7. Otóż funkcja G×GG, przypisująca parze (x,y) element xy, jest ciągła. Również funkcja GG, zastępująca elementy x elementami odwrotnymi x1, jest ciągła. Wynika to z faktu, że działanie mnożenia liczb rzeczywistych jest ciągłe, oraz z postaci wzoru na mnożenie użytego w metodzie Cayleya–Dicksona, który (za każdym razem) gwarantuje ciągłość mnożenia.

Definicja. Zbiór G (zawarty w jakiejś przestrzeni euklidesowej) z ustalonym ciągłym mnożeniem grupowym G×GG i ciągłą funkcją GG, zastępującą elementy ich odwrotnościami, nazywa się grupą topologiczną.

Podsumujmy: sfery S0, S1, S3 są grupami topologicznymi (pierwsze dwie nawet abelowymi) z działaniami mnożenia, odpowiednio: liczb rzeczywistych, zespolonych i kwaterionów o module 1. Mnożenie oktonionów o module 1 nie pozwala uznać sfery S7 za grupę topologiczną, bo mnożenie to nie jest łączne. Co więcej, jak udowodnili Zhou Jian i Xu Senlin w 1988 roku, na sferze tej nie istnieje takie mnożenie grupowe: sfera S7 nie jest grupą topologiczną.

Podkreślmy tutaj, że mówienie o ciągłości funkcji ma sens, gdy wprowadzimy pojęcie, które umożliwi nam ścisłe określenie tej intuicyjnie jasnej koncepcji. W naszym przypadku możemy się oprzeć na pojęciu odległości dwóch punktów w przestrzeni euklidesowej, gdyż jeśli grupa G zawiera się w przestrzeni Rn, to produkt kartezjański G×G zawiera się w przestrzeni R2n.

Odwzorowanie μ:G×GG nazwiemy jednostajnie ciągłym, jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej ε>0 istnieje taka liczba rzeczywista δ>0, że dla dowolnych dwóch par (a,x),(b,y)G×G o odległości mniejszej niż δ iloczyny ax oraz by są w odległości mniejszej niż ε. Pojęcie ciągłości odwzorowania jest słabsze od jednostajnej ciągłości, lecz te dwa pojęcia się jednak pokrywają, jeśli ograniczymy się do podzbiorów domkniętych i ograniczonych w przestrzeni euklidesowej, czyli podzbiorów zwartych. Dodajmy jeszcze, że odległość pomiędzy dwoma punktami xy w przestrzeni Rn określona jest przez normę xy z różnicy xy=(x1y1,,xnyn).

Przypomnijmy, że sfery S0, S1, S3 są grupami topologicznymi. Topologia algebraiczna dostarcza silnych metod matematycznych, które umożliwiają wykazanie, że w każdym innym przypadku, to jest dla n0,1,3,7, na sferze Sn nie istnieje ciągłe działanie grupowe. Wobec tego prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie klasyfikacyjne. Sfery S0, S1 i S3 są jedynymi sferami, które posiadają strukturę grupy topologicznej.

Sfera dwuwymiarowa.

Na zakończenie wykażemy, że sfera S2, od której zaczęliśmy ten artykuł, nie może być grupą topologiczną. Potrzebne nam będzie pojęcie styczności wektora do sfery, które najłatwiej wprowadzić przy użyciu iloczynu skalarnego: x,y=x1y1+x2y2+x3y3 dla x=(x1,x2,x3), y=(y1,y2,y3).

Iloczyn skalarny pozwala wyrazić w sposób algebraiczny prostopadłość dwóch wektorów x i y, o których (w sposób geometryczny) myślimy jak o strzałkach zaczepionych w punkcie (0,0,0) i grotach (odpowiednio) w punktach x i y. Powiemy, że wektory x i yprostopadłe, jeżeli x,y=0.

Za wektor styczny do sfery w punkcie xS2 uznajemy dowolny wektor yR3 prostopadły do wektora x, czyli spełniający równość x,y=0. Przykładowo w punkcie (1,0,0) styczny jest każdy wektor postaci (0,y2,y3). W ogólności, jeśli wektor yR3 nie jest styczny w xS2, to jego składowa prostopadła do sfery w tym punkcie wyraża się wzorem y,xx, a zatem rzut prostopadły punktu y na płaszczyznę styczną wynosi yy,xx.

Przez (ciągłe) pole styczne rozumiemy ciągłą funkcję φ:S2R3, która każdemu punktowi xS2 przyporządkowuje pewien wektor styczny w punkcie x. Innymi słowy, żądamy, by spełniona była tożsamość φ(x),x=0 dla xS2. Przykłady takich pól stycznych można zobaczyć na marginesie, warto też stworzyć własne przykłady. Ich wspólną cechą jest istnienie miejsc zerowych, czyli takich punktów xS2, którym przyporządkowano wektor zerowy (0,0,0). Twierdzenie Poincarégo mówi, że nie da się tego uniknąć:

Twierdzenie Poincarégo. Każde pole styczne φ:S2R3 posiada co najmniej jedno miejsce zerowe.

Twierdzenie Poincarégo (znane także pod nazwą twierdzenia o zaczesaniu sfery) ma następujące popularnonaukowe ujęcie: Nie da się wybrać niezerowych wektorów stycznych do sfery S2 we wszystkich jej punktach w ten sposób, by wybór zależał w sposób ciągły od punktów styczności. Jeszcze inaczej: Sfery porośniętej włosiem nie da się uczesać, czyli każdy włos położyć stycznie do sfery.

Dowód twierdzenia klasyfikacyjnego w przypadku n=2. Przypuśćmy, że na sferze S2 istnieje ciągłe działanie grupowe z elementem neutralnym eS2. Skonstruujemy wówczas pole styczne pozbawione miejsc zerowych, co doprowadzi do sprzeczności z twierdzeniem Poincarégo.

Dla wybranego elementu aS2 rozważmy przekształcenie zastępujące dowolny punkt xS2 iloczynem ax, a następnie jego rzutem prostopadłym px(ax) na płaszczyznę styczną w punkcie x. Daje to funkcję φ:S2R3,   φ(x)=px(ax)=axax,xx. Funkcja ta jest jednostajnie ciągła, co wynika z jednostajnej ciągłości działania grupowego. Styczność φ(x) można też sprawdzić bezpośrednim rachunkiem: φ(x),x=0. Pozostaje więc wykluczyć istnienie miejsc zerowych φ, i w tym celu konieczne będzie uważne wybranie odpowiedniego elementu a.

Kiedy więc zachodzi równość φ(x)=0? Otóż wtedy, gdy wektor z x do ax jest prostopadły do sfery, a to zachodzi w dokładnie dwóch przypadkach: I) ax=x oraz II) ax=x (zob. rysunek obok). Równość w przypadku I) sprowadza się do a=xx1, czyli a=e. Łatwo jest więc ten przypadek wykluczyć – wystarczy dobrać ae.

Trudniej jest z równością w II). Ponieważ sfera S2 jest zwartym (czyli domkniętym i ograniczonym) podzbiorem przestrzeni euklidesowej R3, możemy skorzystać z jednostajnej ciągłości działania grupowego μ:S2×S2S2. W definicji przyjmijmy wartość liczby δ>0 odpowiadającą ε=2 i odczytajmy, co warunek jednostajnej ciągłości oznacza dla par postaci (e,x) i (a,x). Odległość między tymi parami jest równa odległości od a do e (mierzonej w przestrzeni 3-wymiarowej). Otrzymujemy więc, że jeśli odległość a od e jest mniejsza niż δ, to odległość ax od ex, czyli od x, jest mniejsza niż 2. To ostatnie stwierdzenie świadczy, że axx, gdyż odległość x od x jest równa 2.

Wystarczy więc wziąć punkt aS2 odległy od eS2 o mniej niż δ, a jednocześnie więcej niż zero. Dotychczasowe rozumowanie pokazuje, że wówczas pole styczne φ nie ma miejsc zerowych, a uzyskana sprzeczność z twierdzeniem Poincarégo dowodzi, że początkowe założenie o istnieniu ciągłych działań grupowych na S2 było fałszywe. ◻

Afiliacja: Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

1 1
1 1 1
1 1 1


Tabelka określająca działanie mnożenia na sferze S0

Działania +, na parach postaci (x,0) są zgodne ze zwykłymi działaniami na (odpowiadających tym parom) liczbach rzeczywistych x, można je więc utożsamić. Przy tej konwencji jednostka urojona, to jest para i=(0,1), spełnia równanie ii=1. Każdą parę (x,y) można zapisać w postaci x+iy, wtedy formalne dodawanie i mnożenie takich wyrażeń (po przyjęciu i2=1) prowadzi do działań, które właśnie określiliśmy.

image
Geometryczna interpretacja mnożenia na okręgu S1: iloczynem punktów a=(cosα,sinα) i b=(cosβ,sinβ) jest punkt ab=(cos(α+β),sin(α+β)), a więc mnożenie polega na dodaniu odpowiednich kątów z dokładnością do wielokrotności liczby 2π

W tekście Zbigniewa Marciniaka z Δ1610 można przeczytać więcej o kwaternionach, a nawet ogólnie o mnożeniu w przestrzeniach R2, R3 i R4.

W 1843 roku William W. Hamilton (1805–1865) podał wzór na mnożenie kwaternionów, uznając je za pary liczb zespolonych. W tym samym roku, inspirowany odkryciem Hamiltona, John T. Graves (1806–1870) rozszerzył ten wzór na mnożenie par kwaternionów: (a,b)(x,y)=(axyb,ya+bx), a pary te nazwał oktawami. Natomiast my nazywamy je oktonionami.
Przyjmijmy oznaczenia na kwaterniony: 1=(1,0), i=(i,0), j=(0,1), k=(0,i). Dla oktonionów p=(i,0), q=(0,j), r=(0,1) iloczyn (pq)r różni się od p(qr), gdyż pierwszy jest równy (k,0), a drugi (k,0).
W jakimś stopniu mnożenie oktonionów jest jednak łączne, na przykład x(ab)x=(xa)(bx) oraz (xy)y1=x dla wszystkich oktonionów a, b, x, y.

imageimage
(x1,x2,x3)(x1x3,x2x3,1x32) to pole ,,z południa na północ”
(x1,x2,x3)(x2,x1,0) to pole ,,z zachodu na wschód”

O twierdzeniu Poincarégo pisaliśmy już w Δ975. Czytelnika zainteresowanego ogólnością może zaciekawić fakt, że podobne twierdzenie jest prawdziwe dla sfer S2,S4,S6, – pole styczne na każdej z nich posiada miejsce zerowe. Dobrym ćwiczeniem jest samodzielne przekonanie się, że wyklucza to istnienie struktury grupy topologicznej na tych sferach, zgodnie z rozumowaniem przedstawionym niżej.

image

Wektor φ(x) jest tym wektorem stycznym do sfery w x, który wskazuje w kierunku punktu ax

image