Jean d’Alembert (1717–1783), francuski filozof, matematyk i fizyk, wyraził opinię, że algebra jest szczodra – często daje więcej, niż jest o to proszona. Te słowa d’Alemberta nigdy nie przestały być aktualne – niejednokrotnie problemy matematyczne były (i nadal są) rozwiązywane przy użyciu algebry, nawet jeśli w samym sformułowaniu zagadnienia nie widać jej śladu.
Przez sferę potocznie rozumie się zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej równoodległych od zadanego punktu.
Tak opisujemy sferę dwuwymiarową.
Podobnie postąpimy przy określeniu sfery -wymiarowej w przestrzeni euklidesowej
dla dowolnej liczby naturalnej Przestrzeń ta składa się z punktów postaci ; to jest -tek liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi punktu Punkt nosi nazwę
początku układu współrzędnych.
Skupiając się na sferach jednostkowych, zbiór punktów odległych o od początku układu współrzędnych, to jest o normie
nazywamy sferą -wymiarową
i oznaczamy przez
Przez normę punktu rozumiemy liczbę która jest odległością punktu od punktu
Bohaterami tego artykułu są sfery (zbiór dwupunktowy ), (okrąg), (standardowa sfera), niezmiennie przyciągające uwagę matematyków. Nim odpowiemy na pytanie zadane w tytule, omówimy własności, o których myślimy przy mnożeniu punktów na sferze. Najpierw jednak przyjrzymy się sferom oraz
Sfery o wymiarach i
Sfera to zbiór w którym liczby mnożymy tak, jak nas uczono od dziecka (zob. tabelkę na marginesie). Sfera składa się z par liczb rzeczywistych spełniających jest więc okręgiem o promieniu A jak mnożyć pary liczb rzeczywistych? Odpowiedzią jest zbiór liczb zespolonych oznaczany przez czyli zbiór z działaniami:
Dodawanie wykonujemy po prostu na każdej współrzędnej z osobna, natomiast pewną motywację dla mnożenia można znaleźć na marginesie.
Mnożenie takie jest przemienne, co oznacza tyle, że zawsze zachodzi
Przydatne są pojęcia
modułu i sprzężenia liczby zespolonej Pozwalają one łatwo opisać element odwrotny (ze względu na mnożenie) do dowolnej liczby zespolonej : jest nim Nietrudno się też przekonać, że więc w szczególności iloczyn dowolnych dwóch liczb z okręgu również leży na tym okręgu. W ten sposób uzyskujemy mnożenie punktów okręgu
Sfery o wymiarach i
William W. Hamilton, poszukując bezskutecznie wzoru na mnożenie trójek liczb rzeczywistych, znalazł (już przez nas podany)
wzór na mnożenie par liczb rzeczywistych, po czym rozszerzył go na mnożenie par liczb zespolonych
w następujący sposób:
Tym razem symbol użyty jest w iloczynie par liczb zespolonych.
Dodawanie par określa się jak zwykle:
Przy tych działaniach zbiór (tożsamy ze zbiorem czwórek liczb rzeczywistych, czyli ) oznacza się przez a jego elementy nazywa się kwaternionami.
Moduł i sprzężenie kwaternionu o liczbach zespolonych
i określone są wzorami:
a wzór określa element odwrotny (ze względu na mnożenie) do kwaternionu
Odnotujmy, że podobnie jak dla liczb zespolonych moduł iloczynu dwóch kwaternionów jest iloczynem ich modułów.
Sfera składa się z par liczb zespolonych spełniających co oznacza, że
; inaczej mówiąc: sfera jest zbiorem kwaternionów o module
Wzór na moduł iloczynu dwóch kwaternionów zapewnia, że iloczyn dwóch kwaternionów ze sfery również do niej należy – w ten sposób uzyskujemy mnożenie punktów ze sfery
Kwaterniony różni od liczb zespolonych jedna fundamentalna własność. Tym razem mnożenie nie jest przemienne: na przykład iloczyn jest różny od
Czy procedurę tę można kontynuować?
Odpowiedź brzmi: tak! Opierając się na konstrukcji zwanej metodą Cayleya–Dicksona,
sumę i iloczyn dwóch par kwaternionów można określić tak samo, jak zrobił to Hamilton dla par liczb zespolonych (zob. margines).
Po przyjęciu tych
działań zbiór (tożsamy ze zbiorem ) oznacza się przez a jego elementy nazywa oktonionami. Tak jak poprzednio, umożliwia to określenie mnożenia punktów ze sfery
Tak określone działanie mnożenia oktonionów, podobnie jak mnożenie kwaternionów, nie jest przemienne,
a na dodatek nie jest łączne, nawet wtedy, gdy ograniczymy się do oktonionów ze sfery (zob. przykład na marginesie).
Własności mnożenia.
Na każdej ze sfer określiliśmy działanie mnożenia. Pomyślmy, jakie są wspólne własności tych działań. Jak łatwo jest zauważyć, dla wszystkich punktów z danej sfery :
istnieje taki punkt że dla każdego punktu ;
dla każdego istnieje taki punkt że ;
dla dowolnych trzech punktów
W pierwszej własności rolę punktu pełni jedynka (rzeczywista, zespolona lub kwaternionowa); punkt nazywa się
elementem neutralnym mnożenia. Druga własność jest spełniona dla Trzecia własność
nazywa się łącznością mnożenia.
Mnożenie liczb rzeczywistych i zespolonych spełnia też własność (4):
zwaną przemiennością mnożenia. Jak już odnotowaliśmy, mnożenie kwaternionów nie jest przemienne, a mnożenie oktonionów nie jest ani przemienne, ani łączne.
Definicja. Przez mnożenie grupowe w zbiorze rozumie się taką funkcję że
po oznaczeniu wartości symbolem spełnione są wymienione wyżej własności (1), (2), (3).
Zbiór z ustalonym mnożeniem grupowym nazywa się grupą. Jeżeli dodatkowo spełniona jest własność (4),
to grupa nazywa się grupą abelową.
Istnieje bardzo ważna własność natury topologicznej, którą posiada mnożenie na każdej ze sfer Otóż funkcja przypisująca parze element jest ciągła. Również funkcja zastępująca elementy elementami odwrotnymi jest ciągła. Wynika to z faktu, że działanie mnożenia liczb rzeczywistych jest ciągłe, oraz z postaci
wzoru na mnożenie użytego w metodzie Cayleya–Dicksona,
który (za każdym razem) gwarantuje ciągłość mnożenia.
Definicja. Zbiór (zawarty w jakiejś przestrzeni euklidesowej) z ustalonym ciągłym mnożeniem grupowym
i ciągłą funkcją zastępującą elementy ich odwrotnościami, nazywa się grupą topologiczną.
Podsumujmy: sfery są grupami topologicznymi
(pierwsze dwie nawet abelowymi) z działaniami mnożenia, odpowiednio: liczb rzeczywistych, zespolonych i kwaterionów o module
Mnożenie oktonionów o module nie pozwala uznać sfery za grupę topologiczną, bo mnożenie to nie jest łączne.
Co więcej, jak udowodnili Zhou Jian i Xu Senlin w 1988 roku, na sferze tej nie istnieje takie mnożenie grupowe:
sfera nie jest grupą topologiczną.
Podkreślmy tutaj, że mówienie o ciągłości funkcji ma sens, gdy wprowadzimy pojęcie, które umożliwi nam ścisłe określenie tej intuicyjnie jasnej koncepcji.
W naszym przypadku możemy się oprzeć na pojęciu odległości dwóch punktów w przestrzeni euklidesowej, gdyż jeśli grupa zawiera się w przestrzeni to produkt kartezjański zawiera się w przestrzeni
Odwzorowanie nazwiemy jednostajnie ciągłym, jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej istnieje taka liczba rzeczywista że dla dowolnych dwóch par o odległości mniejszej niż iloczyny
oraz są w odległości mniejszej niż
Pojęcie ciągłości odwzorowania jest słabsze od jednostajnej ciągłości, lecz
te dwa pojęcia się jednak pokrywają, jeśli ograniczymy się do podzbiorów domkniętych i ograniczonych w przestrzeni euklidesowej, czyli podzbiorów zwartych. Dodajmy jeszcze, że odległość pomiędzy dwoma punktami i w przestrzeni określona jest przez normę z różnicy .
Przypomnijmy, że sfery są grupami topologicznymi. Topologia algebraiczna dostarcza silnych metod matematycznych,
które umożliwiają wykazanie, że w każdym innym przypadku, to jest dla
na sferze nie istnieje ciągłe działanie grupowe. Wobec tego prawdziwe jest następujące
twierdzenie:
Twierdzenie klasyfikacyjne.
Sfery i są jedynymi sferami, które posiadają strukturę grupy topologicznej.
Sfera dwuwymiarowa.
Na zakończenie wykażemy, że sfera od której zaczęliśmy ten artykuł, nie może być grupą topologiczną. Potrzebne nam będzie pojęcie styczności wektora do sfery, które najłatwiej wprowadzić przy użyciu iloczynu skalarnego:
dla
Iloczyn skalarny pozwala wyrazić w sposób algebraiczny prostopadłość
dwóch wektorów i , o których (w sposób geometryczny) myślimy jak o strzałkach zaczepionych w punkcie i grotach (odpowiednio) w punktach i . Powiemy, że wektory i są prostopadłe, jeżeli .
Za wektor styczny do sfery w punkcie uznajemy dowolny wektor prostopadły do wektora czyli spełniający równość Przykładowo w punkcie styczny jest każdy wektor postaci W ogólności, jeśli wektor nie jest styczny w to jego składowa prostopadła do sfery w tym punkcie wyraża się wzorem a zatem rzut prostopadły punktu na płaszczyznę styczną wynosi
Przez (ciągłe) pole styczne
rozumiemy ciągłą funkcję która każdemu punktowi przyporządkowuje pewien wektor styczny w punkcie Innymi słowy, żądamy, by spełniona była tożsamość dla Przykłady takich pól stycznych można zobaczyć na marginesie, warto też stworzyć własne przykłady. Ich wspólną cechą jest istnienie miejsc zerowych, czyli takich punktów którym przyporządkowano wektor zerowy Twierdzenie Poincarégo mówi, że nie da się tego uniknąć:
Twierdzenie Poincarégo.
Każde pole styczne posiada co najmniej jedno miejsce zerowe.
Twierdzenie Poincarégo (znane także pod nazwą twierdzenia o zaczesaniu sfery) ma następujące popularnonaukowe ujęcie:
Nie da się wybrać niezerowych wektorów stycznych do sfery we wszystkich jej punktach w ten sposób, by wybór zależał w sposób ciągły od punktów styczności. Jeszcze inaczej: Sfery porośniętej włosiem nie da się uczesać, czyli każdy włos położyć stycznie do sfery.
Dowód twierdzenia klasyfikacyjnego w przypadku . Przypuśćmy, że na sferze istnieje ciągłe działanie grupowe z elementem neutralnym
Skonstruujemy wówczas pole styczne pozbawione miejsc zerowych, co doprowadzi do sprzeczności z twierdzeniem Poincarégo.
Dla wybranego elementu rozważmy przekształcenie zastępujące dowolny punkt iloczynem
a następnie jego rzutem prostopadłym
na płaszczyznę styczną w punkcie .
Daje to funkcję
Funkcja ta jest jednostajnie ciągła, co wynika z jednostajnej ciągłości działania grupowego. Styczność można też sprawdzić bezpośrednim rachunkiem: Pozostaje więc wykluczyć istnienie miejsc zerowych i w tym celu konieczne będzie uważne wybranie odpowiedniego elementu
Kiedy więc zachodzi równość ? Otóż wtedy, gdy wektor z do jest prostopadły do sfery, a to zachodzi w dokładnie dwóch przypadkach: I) oraz II) (zob. rysunek obok). Równość w przypadku I) sprowadza się do czyli Łatwo jest więc ten przypadek wykluczyć – wystarczy dobrać
Trudniej jest z równością w II). Ponieważ sfera jest zwartym (czyli domkniętym i ograniczonym) podzbiorem przestrzeni euklidesowej możemy skorzystać z jednostajnej ciągłości działania grupowego W definicji przyjmijmy wartość liczby odpowiadającą i odczytajmy, co warunek jednostajnej ciągłości oznacza dla par postaci i Odległość między tymi parami jest równa odległości od do (mierzonej w przestrzeni -wymiarowej). Otrzymujemy więc, że jeśli odległość od jest mniejsza niż to odległość od czyli od jest mniejsza niż To ostatnie stwierdzenie świadczy, że gdyż odległość od jest równa
Wystarczy więc wziąć punkt odległy od o mniej niż a jednocześnie więcej niż zero.
Dotychczasowe rozumowanie pokazuje, że wówczas pole styczne nie ma miejsc zerowych, a uzyskana sprzeczność z twierdzeniem Poincarégo dowodzi, że początkowe założenie o istnieniu ciągłych działań grupowych na było fałszywe. ◻