Rozważmy wielomiany
W powyższych sumach tylko skończenie wiele współczynników jest
niezerowych – indeks największego z nich to stopień wielomianu.
Takie przedstawienie ma swój plus. Po pomnożeniu tych wielomianów otrzymamy wielomian
w którym
Jeśli dla przykładu to wcale się nie musimy przejmować tym, że w wielomianie ,,nie ma” Ono tam jest i jest równe
Mając dane wielomiany i można łatwo obliczyć wielomian Rzeczą
trudniejszą jest odtworzenie wielomianów i na podstawie wielomianu
Pokażę metodę, która jest dobra dla wielomianów względnie niskich stopni, przy
dodatkowym założeniu, że wszystkie rozważane wielomiany mają współczynniki
całkowite. Wielomiany, które da się rozłożyć na iloczyn wielomianów niższych
stopni o współczynnikach całkowitych, nazywamy rozkładalnymi nad
.
Przykładowo niech Ponieważ wielomian może być iloczynem wielomianów stopnia i albo i W pierwszym przypadku wielomian musiałby mieć pierwiastek wymierny. Na mocy twierdzenia o pierwiastkach wymiernych może to być jedna z liczb: Bezpośrednio sprawdzamy, że żadna z nich nie jest pierwiastkiem wielomianu Pozostaje więc W tym przypadku, na mocy , otrzymujemy:
Para jest jedną z par: Ze względu na możliwość zamiany miejscami wielomianów i (mają równe stopnie) oraz mnożenia ich obu przez możemy przyjąć bez utraty ogólności, że i W dalszym ciągu możemy rozważyć wszystkich osiem możliwych par o iloczynie aż uzyskamy rozwiązanie
Uwaga. Gdyby każda z możliwości w powyższym rozwiązaniu prowadziła do sprzeczności, oznaczałoby to, że wielomian jest nierozkładalny nad
Trudność tego zadania rośnie bardzo szybko wraz ze stopniem wielomianu Na koniec pokażę twierdzenie, które pozwala wykazać nierozkładalność w przypadku niektórych wielomianów, niezależnie od stopnia.
Kryterium Eisensteina. Niech będzie wielomianem stopnia o współczynnikach całkowitych. Jeśli istnieje liczba pierwsza dla której:
to wielomian jest nierozkładalny nad
Dowód. Przypuśćmy, że jest rozkładalny nad i
jest jego rozkładem. Ponieważ przy czym ale więc wnioskujemy, że dokładnie jedna z liczb:
dzieli się przez Niech to będzie Dla jeśli to na mocy wzoru na wobec otrzymujemy W ten sposób dowodzimy indukcyjnie, że Dodatkowo gdyż bo Ale
wtedy na mocy wzoru na – sprzeczność.
Zadania
1. Rozłożyć nad poniższe wielomiany lub wykazać, że to niemożliwe:
(a) (b)
Niech będzie danym wielomianem. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych eliminuje czynniki liniowe w obu przypadkach.
Można przyjąć oraz bez straty ogólności Mamy – rozważamy dwa przypadki, jeden prowadzi do rozwiązania.
Postępujemy podobnie jak w (a), tylko w obu przypadkach otrzymamy sprzeczność, więc nie ma rozkładu nad
2. Dla liczb naturalnych rozłożyć wielomian
Zapisując kolejno zauważamy, że równania są do pewnego momentu spełnione, gdy oraz
3. Rozstrzygnąć, czy wielomian jest rozkładalny nad
Wystarczy zastosować kryterium Eisensteina dla
4. Niech oznacza liczbę takich że dla każdego
całkowitego dodatniego wielomian jest nierozkładalny nad Dowieść, że
Nazwijmy liczbę dobrą, jeśli istnieje liczba pierwsza spełniająca warunki: i Wtedy wielomian jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina dla tego
Teraz wystarczy spojrzeć na zadanie 5 z kącika nr 31 w . Zaprezentowana tam metoda pozwala wykazać, że w zbiorze jest co najwyżej liczb niedobrych.
5. Liczba jest pierwsza. Dowieść, że wielomian jest nierozkładalny nad
Wielomian jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest nierozkładalny. Mamy więc