Ciągłe przejścia fazowe
Jeśli żelazny magnes podgrzejemy do temperatury powyżej 1043 K (C), znanej jako temperatura Curie dla żelaza, to straci
on swoje własności magnetyczne (namagnesowanie rozumiane jako suma wektorowa momentów magnetycznych pochodzących od wszystkich atomów żelaza). Można zaobserwować, że ta utrata namagnesowania następuje w ciągły sposób, w miarę jak temperatura żelaza zbliża się do temperatury Curie (), nazywanej także temperaturą krytyczną. To zjawisko jest przykładem ciągłego przejścia fazowego.
Takie przejścia fazowe zostały w bardzo przejrzysty sposób przedstawione w artykule Jacka Miękisza
O spinach i genach – przed dalszą lekturą warto zapoznać się z częścią tego artykułu dotyczącą ,,spinów”.
Aby zrozumieć zjawisko utraty namagnesowania w temperaturze wprowadzono liczne modele magnetyków mające dwa istotne składniki: sieć (dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że będzie to dwuwymiarowa sieć kwadratowa) oraz znajdujące się w jej węzłach momenty magnetyczne nazywane także spinami, z reguły oddziałujące tylko z momentami magnetycznymi z najbliższych węzłów. Najprostszy z nich to model Isinga: zakładamy, że
momenty magnetyczne mogą być skierowane wyłącznie ,,w górę” albo ,,w dół” względem
wybranego kierunku, a energia pary oddziałujących spinów skierowanych w jednym kierunku jest niższa od energii pary oddziałujących spinów skierowanych w różnych kierunkach. Stanem podstawowym (to jest stanem o najniższej możliwej energii, w temperaturze 0 K) takiego modelu jest więc stan, w którym wszystkie momenty magnetyczne zwrócone są w tym samym kierunku, a układ jako całość wykazuje maksymalne namagnesowanie.
Jeśli taki układ spinów będzie pobierał ciepło od otoczenia, to przypadkowe spiny będą zmieniały kierunek,
energia będzie rosła, a namagnesowanie będzie spadało.
Jednakże całkowicie zaskakującym faktem jest to, że w temperaturze krytycznej,
(liczonej w jednostkach
J – dżul, – stała Boltzmanna), namagnesowanie
staje się równe 0.
Pokazano to na rysunku 1.
Mówimy także, że w temperaturze krytycznej następuje spontaniczne złamanie symetrii:
układ, aby ,,się uporządkować” poniżej łamie symetrię
i spośród dwóch stanów o równej energii, lecz przeciwnym namagnesowaniu (,,góra” – ,,dół”)
,,wybiera” jeden.
Chcąc opisać ilościowo to zjawisko, definiuje się dwa parametry: namagnesowanie (zobacz artykuł
O spinach i genach) oraz funkcję korelacji spin-spin:
to funkcja korelacji między spinami odległymi o
sumowanie przebiega po wszystkich możliwych konfiguracjach (rozkładach)
zmiennych spinowych a oznacza energię konkretnego rozkładu zmiennych spinowych.
Charakter zanikania funkcji korelacji z odległością między spinami jest różny w zależności od temperatury. I tak poniżej funkcja korelacji maleje wolno z odległością zbiegając do
(kwadrat namagnesowania) dla
Konsekwencją takiego malenia funkcji korelacji poniżej jest istnienie niezerowego namagnesowania poniżej
W temperaturze dokładnie równej oraz powyżej dla mamy zanik ale charakter zanikania funkcji korelacji w obu tych przypadkach jest różny – potęgowy w : (zanika bardzo wolno, dla dwuwymiarowego modelu Isinga, -wymiar), natomiast wykładniczy powyżej :
zobacz rysunek 2.
Istnienie niezerowej wynika także w sposób niezbity z eleganckiego argumentu Peierlsa. Dla dwuwymiarowego modelu Isinga na sieci kwadratowej wygląda on następująco. Wyobraźmy sobie, że chcielibyśmy odwrócić wszystkie spiny z obszaru ograniczonego dużym wielokątem o obwodzie (zobacz rys. 3).
Związana z tym zmiana energii wewnętrznej wynosi
Takie odwrócenie obszaru spinów ograniczonego wielokątem powoduje także zmianę entropii układu, bo istnieje wiele możliwości wybrania zamkniętego wielokąta o długości Liczba tych możliwości jest równa w przybliżeniu dlatego że okrążając obszar ograniczony wielokątem, mamy do wyboru 3 niezależne kierunki w każdym węźle. W rzeczywistości, aby wielokąt zamknął się, ta liczba powinna być nieco mniejsza.
Zmiana energii swobodnej potrzebna do odwrócenia obszaru spinów wynosi więc
Można zauważyć, że w wystarczająco wysokiej temperaturze, odwrócenie obszaru spinów nie prowadzi do zmiany energii swobodnej, a więc może nastąpić samorzutnie.
Takie samorzutne odwrócenie obszaru spinów to fluktuacja; fluktuacje w powstają we wszystkich skalach długości (dla takiej temperatury zachodzi niezależnie od ),
to właśnie prowadzi do zerowego parametru porządku.
Próbę zrozumienia przejścia fazowego w żelazie po raz pierwszy podjął Piotr Curie. Tę próbę określamy dzisiaj jako teorię pola średniego. Jej sformułowanie (1937) w postaci obecnie używanej pochodzi od Lwa Landaua. Postuluje ona istnienie parametru porządku, który ma niezerową wartość w fazie uporządkowanej i zerową w nieuporządkowanej. Ten sposób podejścia do opisu przejść fazowych jest podstawą ich zrozumienia od ponad 50 lat. Jednak, jak zaznaczono powyżej, bezpośrednim powodem istnienia niezerowego parametru porządku, co postulował Landau,
był sposób zanikania funkcji korelacji poniżej
Ciągłe topologiczne przejścia fazowe
W połowie lat siedemdziesiątych ubiegłego wieku John M. Kosterlitz i David Thouless
stwierdzili [3,4],
że dla pewnego bardziej zaawansowanego modelu namagnesowania, zwanego modelem
funkcja korelacji w całym zakresie temperatur
zanika w sposób potęgowy:
liczona jest w jednostkach
Taka zależność oznacza brak porządku dalekozasięgowego.
Zauważmy, że wykładnik określający malenie funkcji korelacji zależy od temperatury
Zasadnicza różnica między omówionym wcześniej modelem Isinga a modelem polega na tym, że
kierunek momentu magnetycznego w każdym węźle sieci modelu może być scharakteryzowany
przez kąt z wybranym kierunkiem, zmieniający się w sposób ciągły od 0 do
Energia całego układu oddziałujących momentów magnetycznych wyniesie więc
Sumowanie w powyższym wzorze przebiega po wszystkich parach będących najbliższymi sąsiadami.
Jeśli założymy, że kierunek momentu magnetycznego zmienia się nieznacznie od węzła do węzła,
to możemy rozwinąć funkcję cosinus w szereg i pominąć wszystkie
wyrazy tego rozwinięcia poza pierwszymi dwoma:
W dalszym ciągu zakłada się, że rozkład momentów magnetycznych na sieci można przybliżyć
przez ciągłe skalarne pole które zawiera informację, jak zmienia się
kierunek momentu magnetycznego w zależności od współrzędnych.
Wyrazy
z rozwinięcia cosinusa w granicy ciągłego pola
przybliża się kwadratem długości gradientu Energia pola dana jest wzorem:
całkowanie odpowiada sumowaniu po najbliższych sąsiadach, a wyraz został pominięty.
Wzór może być także zrozumiany w taki sposób:
w przypadku ,,wolnej” zmiany pola z odległością, zmiana jego energii
powinna być skalarną funkcją jego gradientu Odpowiednim niezmiennikiem,
który nie zależy od wyboru układu współrzędnych,
zawierającym dla skalarnego pola okazuje się właśnie
Pole jest w stanie podstawowym (o najniższej energii),
kiedy kierunek momentu magnetycznego nie zależy od współrzędnych. Wtedy gradient
pod całką równy jest 0.
Trzy przykłady takich pól pokazano na rysunku 4. Zauważmy, że
można narysować nieskończenie wiele
takich przykładów, bo obrót wszystkich strzałek reprezentujących pole
o ten sam kąt nie prowadzi do zmiany energii układu.
W takiej sytuacji mówimy, że stan podstawowy takiego modelu
ma nieskończoną degenerację.
Zgodnie z twierdzeniem Mermina–Wagnera taki układ nie wykazuje
uporządkowania dalekozasięgowego w temperaturach poza bezwzględnym zerem.
Jeśli będzie on pobierał ciepło od otoczenia, to jego temperatura
będzie rosła, a dalekozasięgowy porządek
obecny w stanie podstawowym
zostanie zniszczony
przez niezwykłe wzbudzenia.
Mają one postać wirów albo antywirów (rys. 5), par wir-antywir (rys. 6).
Pary wir-antywir mogą wystąpić poniżej pewnej temperatury wiry
i antywiry – powyżej tej temperatury. Między tymi typami wzbudzeń
istnieje głęboka różnica natury topologicznej. Można ją
scharakteryzować w następujący sposób.
Jeśli wzbudzenie typu wir (albo antywir) otoczymy krzywą zamkniętą, którą obiegamy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, i obliczymy po niej całkę
krzywoliniową [5]:
to wartość tej całki będzie zawsze różna od – określony został w ten sposób winding number, który jest charakterystyką topologiczną dla wzbudzeń typu wir (lub antywir).
Jeśli tę samą operację wykonamy dla par wir-antywir, to wynik
całkowania będzie zawsze równy Wzbudzenia typu wir (antywir) różnią się więc topologicznie od wzbudzeń typu wir-antywir: jedne nie mogą być przekształcone w sposób ciągły w drugie.
Z tego powodu omawiane przejście nazywane jest topologicznym przejściem fazowym, a temperaturę w której niszczone są pary wir-antywir
i wzbudzenia przyjmują wyłącznie postać wirów (albo antywirów),
nazywamy temperaturą krytyczną (Kosterlitza–Thoulessa).
rozdziela więc dwie fazy: niskotemperaturową, w której wzbudzenie ma postać
par wir-antywir
(zobacz rys. 6), oraz wysokotemperaturową, w której wzbudzenia mają postać swobodnych wirów lub antywirów (zobacz rys. 5).
Istnienie tego przejścia można także uzasadnić, odwołując się do argumentu Peierlsa.
Należy więc, tak jak w przypadku modelu Isinga,
oszacować wartość energii wzbudzenia (wiru) oraz zmianę entropii układu, która jest
związana z jego powstaniem. Aby, stosując równanie , oszacować energię potrzebną do powstania
jednego wiru na sieci
o długości i stałej sieciowej należy znać
Z rysunku 5
można odczytać, że
Oznacza to, że energia potrzebna do wykreowania
jednego wiru wynosi (całka liczona jest we współrzędnych biegunowych):
Taki wir, jak widać na rysunku 5, można utworzyć w przybliżeniu na sposobów.
Związana z tym zmiana energii swobodnej wyniesie
Stąd wynika, że dla mamy i powstawanie wirów jest niekorzystne energetycznie. W tych temperaturach wzbudzenia będą miały postać par wir-antywir, które można
w ciągły sposób przekształcić do stałego pola bo ich winding number równy jest 0.
Jeśli natomiast to wówczas powstawanie wirów jest korzystne energetycznie, a więc
pary wir-antywir występujące w niższych temperaturach ulegają rozerwaniu
i wiry oraz antywiry mogą istnieć samodzielnie.
Podsumowując, w modelu
mamy brak uporządkowania magnetycznego dalekiego zasięgu w całym zakresie temperatur,
ale w skończonej temperaturze występuje niezwykłe przejście fazowe.
Polega ono na rozłączaniu par wir-antywir i powstawaniu nierównoważnych im
topologicznie pojedynczych wirów i antywirów.
Istotą tego przejścia jest zmiana topologii obiektów będących
wzbudzeniami układu spinowego. Pięćdziesiąt lat po odkryciu topologicznych przejść fazowych, co zostało
uhonorowane Nagrodą Nobla w 2016 roku,
ten obszar jest wciąż przedmiotem intensywnych badań naukowych, nie tylko w kontekście prac eksperymentalnych, ale także zastosowania metod sztucznej inteligencji do rozpoznawania i klasyfikowania topologicznych faz materii [6].