Zadania

Czworokąt wypukły, w którym $AB=AD,$ jest wpisany w okrąg. Punkty $M$ i $N$ leżą na odcinkach $CD$ i $BC$ tak, że $DM+BN=MN.$ Udowodnić, że środek okręgu opisanego na trójkącie $AMN$ leży na odcinku $AC.$

Zaznaczmy na odcinku $MN$ taki punkt $E,$ że $EM=MD.$ Wtedy $BN=NE.$ Wykorzystując równoramienność trójkątów $EDM$ i $EBN$ oraz równość $\measuredangle ABC+\measuredangle CDA={180}^{\circ }=\measuredangle MEN,$ dostajemy $$\measuredangle ABE+\measuredangle ADE=\measuredangle AEB+\measuredangle AED.$$ Gdyby $\measuredangle ABE>\measuredangle AEB,$ to $\measuredangle ADE<\measuredangle AED,$ skąd $AB<AE<AD,$ sprzeczność. Podobnie nie może zachodzić nierówność $\measuredangle ABE<\measuredangle AEB.$ Zatem $AB=AE=AD,$ więc pary trójkątów $ABN$ i $AEN$ oraz $AEM$ i $ADM$ są przystające. Wobec tego $$\begin{array}{rl}\measuredangle ANM+\measuredangle CAM& =\measuredangle ANB+\measuredangle CAM=\\ & ={180}^{\circ }-\measuredangle BAN-\measuredangle ABN+\measuredangle CAM=\\ & ={180}^{\circ }-\measuredangle BAN-\measuredangle ABD-\measuredangle MAD=\\ & ={180}^{\circ }-\frac{1}{2}\measuredangle BAD-\measuredangle ABD={90}^{\circ },\end{array}$$ co łatwo daje tezę zadania.

Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste dodatnie $x$ i $y$ takie, że $$2^{x^2+y}+2^{x+y^2}=128\text{oraz}\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{2}.$$

Dane są liczby rzeczywiste $a>b$ takie, że $a^p-b^p$ jest liczbą całkowitą dla dowolnej liczby pierwszej $p.$ Udowodnić, że $a$ i $b$ są liczbami wymiernymi.

W szczelnie zamkniętym naczyniu znajduje się $m=54$ g pary wodnej w temperaturze $t_1=100$. Ile ciepła należy dostarczyć, aby ogrzać tę parę do $t_2=200$? Masa atomowa tlenu ${\mu }_O=16,$ masa atomowa wodoru ${\mu }_H=1,$ a uniwersalna stała gazowa $R=\mathrm{8,314}$ J/mol.

Ciało o masie $m$ porusza się wzdłuż linii prostej $OX$ pod działaniem siły potencjalnej. Potencjał siły jako funkcja współrzędnej $x$ opisany jest wzorem: $$U(x)=\frac{a}{x^2}-\frac{b}{x}.$$ Jaki jest okres małych drgań ciała wokół położenia równowagi (minimum potencjału)?