Delta 6/2024

Klub 44

Zadania z matematyki nr 883, 884

Redaguje Marcin E. KUCZMA

883. Znaleźć wszystkie funkcje f:RR spełniające równanie f(x2+y2)=f(x2)+f(xy)+f(y2)    dlax,yR.

884. Wykazać, że dla każdej pary liczb naturalnych a2, b1 istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych n, że liczba  ban+1  jest złożona.

Zadanie 884 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi

Rozwiązania zadań z numeru 2/2024

Przypominamy treść zadań:

875. Dany jest ciąg (x1,,xN) o wyrazach xi{0,1} (N jest ustaloną liczbą nieparzystą). Niech ak=i<kxi, bk=i>k(1xi), ck=ak+bk (dla k=1,,N). Wiadomo, że dokładnie jedna liczba z występuje w ciągu (c1,,cN) nieparzyście wiele razy. Dla ustalonego N wyznaczyć wszystkie możliwe wartości z.

Rozwiązanie

876. Wykazać, że dla liczb x,y,z0 o sumie 3 zachodzi nierówność xy2+y+1+yz2+z+1+zx2+x+11.

Rozwiązanie

Zadania z fizyki nr 780, 781

Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA

780. Mała piłeczka spadająca z wysokości h na twardą podłogę odskakuje na wysokość h/3. Na niciach o długościach l zawieszono stykające się ze sobą dwie takie piłeczki. Jedną z nich odchylono od pionu o kąt π/2 i puszczono swobodnie. O jakie kąty odchylą się nici po zderzeniu piłeczek?

781. W odległości R od nieruchomego ładunku Q>0 znajduje się mała kulka o masie m, naładowana ładunkiem Q. Układ znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym, którego linie pola są prostopadłe do odcinka łączącego ładunki. Po oswobodzeniu kulka zaczyna się poruszać, a minimalna odległość, na jaką zbliża się do nieruchomego ładunku, wynosi R/2. Znaleźć wartość indukcji pola magnetycznego.

Rozwiązania zadań z numeru 2/2024

Przypominamy treść zadań:

772. Rakieta jest rozpędzana w wyniku wyrzucania ciągłego strumienia gazu, którego prędkość względem rakiety jest stała i wynosi v0. Początkowa prędkość rakiety jest równa zeru. Ile wynosi prędkość rakiety, gdy jej energia kinetyczna osiąga wartość maksymalną? Siłę ciężkości zaniedbujemy.

Rozwiązanie

773. Na górze ustawionej pionowo zwojnicy leży cienki kawałek kartonu, a na nim mały nadprzewodzący pierścień z cienkiego drutu, którego średnica d1 jest znacząco mniejsza od średnicy pierścienia D (rys. 1). Po podłączeniu zwojnicy do źródła napięcia U szeregowo z kondensatorem pierścień podskakuje, gdy U>U0. Jakie powinno być napięcie źródła w analogicznym doświadczeniu z pierścieniem o takiej samej średnicy, ale wykonanego z drutu o średnicy d2? Współczynnik samoindukcji takiego pierścienia wynosi w przybliżeniu L=kDln(1,4D/d). Opór zwojnicy możemy pominąć.

Rozwiązanie