Szeregi Fouriera wymyślono jako narzędzie pomagające rozwiązać równanie ciepła, a obecnie są wykorzystywane na przykład przy analizie dźwięku. Transformatę Fouriera funkcji całkowalnej na lub ogólniej – na stosuje się przy rozwiązywaniu równań różniczkowych i dlatego przydaje się w wielu zagadnieniach fizyki. Dyskretna transformata Fouriera pojawia się w algorytmie szybkiego mnożenia wielomianów.
Analiza kostki dyskretnej, stosowana na przykład przy badaniu grafów losowych, korzysta z rozwinięcia Walsha–Fouriera.
Czytelnik Dociekliwy, który spotkał się z więcej niż jednym z powyższych przykładów transformaty lub rozwinięcia Fouriera, zapewne zastanawia się, jakie są podobieństwa i różnice między nimi. Celem tego artykułu jest ujęcie tych podobieństw w ramach ogólnej definicji transformaty Fouriera obejmującej wszystkie wspomniane przykłady, jak również wyjaśnienie różnic pomiędzy nimi.
Weźmy na nasz matematyczny warsztat trzy przykłady: szereg Fouriera funkcji okresowej, transformatę Fouriera funkcji określonej na prostej rzeczywistej oraz dyskretną transformatę Fouriera ciągu skończonego. Jeśli chodzi o funkcje okresowe, to dla ustalenia uwagi będziemy rozważać te o okresie Będziemy je traktować jako funkcje określone na okręgu zdefiniowanym jako przedział z dodawaniem modulo oraz sklejonymi końcami tak, by to dodawanie było ciągłe. Podobnie o ciągu liczb zespolonych będziemy myśleć jako o funkcji określonej na z dodawaniem modulo
Rozważmy funkcje całkowalne oraz Wówczas ich współczynniki Fouriera są dane odpowiednio przez
gdzie zaś Na pierwszy rzut oka widać daleko idące podobieństwa. We wszystkich przypadkach dana jest funkcja i parametr, a transformata Fouriera przypisuje im całkę (której szczególnym przypadkiem jest suma) po całej dziedzinie z funkcji przemnożonej przez w potędze razy parametr razy argument funkcji. Główną różnicą, której przyczyna może być niejasna dla Czytelnika (przez długi czas była niejasna dla autora), są różne zbiory parametrów. Dlaczego dla funkcji na okręgu bierzemy parametr całkowity, a dla funkcji na prostej rzeczywisty? Czemu w przypadku dyskretnym pojawia się w wykładniku dodatkowo ? Odpowiedź dostaniemy, gdy spojrzymy na okrąg, prostą i jako grupy addytywne.
Zacznijmy od przypadku nieokresowego. Zauważmy, że jako wartości przyjmuje liczby zespolone o module Oznaczmy więc czyli okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej Co prawda wcześniej wprowadziliśmy już okrąg (jako odcinek ze sklejonymi końcami), ale w naszych rozważaniach wygodnie będzie traktować je jak dwa różne okręgi. Zauważmy, że dla każdego funkcja dana wzorem ma tę własność, że dla dowolnych zachodzi
Okazuje się, że innych takich funkcji ciągłych nie ma.
Stwierdzenie 1. Wszystkie ciągłe funkcje z w spełniające warunek są postaci dla pewnego
Dowód.
Przypomnijmy, że funkcja ciągła na jest jednoznacznie wyznaczona przez swoje wartości na dowolnym podzbiorze gęstym, czyli niepusto przecinającym każdy przedział otwarty. Niech będzie ciągłą funkcją spełniającą warunek Jeśli dla wszystkich to teza jest prawdziwa z Przypuśćmy przeciwnie, wówczas niech będzie najmniejszą dodatnią liczbą o tej własności, że Taka liczba musi istnieć, ponieważ skoro istnieje taki, że to ,,przeskakuje” cały okrąg dla dostatecznie dużych całkowitych, więc z ciągłości funkcja przyjmuje wartość 1 w jakimś punkcie Gdyby z kolei nie istniała najmniejsza liczba o tej własności, to przyjmowałaby wartość 1 na ciągu zbieżnym do zera, co z własności rozszerza się do gęstego podzbioru, więc z ciągłości byłaby tożsamościowo równa 1.
Ponieważ dla wszystkich mamy i albo albo Wykażemy, że dla wszystkich w pierwszym przypadku dla w drugim analogicznie dla Z ciągłości oraz tego, że i wystarczy sprawdzić tezę dla dla naturalnych. Przeprowadźmy indukcję względem : dla mamy bazę bezpośrednio z założeń.
W kroku indukcyjnym znamy wartość więc dla mamy lub Jednak w tym drugim przypadku liczba ma ujemną część rzeczywistą, innymi słowy – leży na okręgu na lewo od osi urojonej. Funkcja jest ciągła, więc musiałby istnieć punkt o tej własności, że oraz lub To daje i czyli sprzeczność z definicją
Przyjrzyjmy się teraz przypadkowi funkcji okresowych. Funkcja jest ciągła na wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na jako na podzbiorze oraz Każda ciągła funkcja spełniająca dla dowolnych przedłuża się do funkcji ciągłej na wzorem dla i Taka funkcja spełnia warunek a zatem jest postaci dla pewnego Jednak nie każdy parametr rzeczywisty definiuje funkcję ciągłą na okręgu, ponieważ względem nieokresowego przypadku dochodzi nam jeszcze warunek Stąd wszystkie szukane funkcje z do są postaci dla Możemy więc podejrzewać, że postać transformaty Fouriera ma jakiś związek z funkcjami spełniającymi warunek Czytelnikowi Dociekliwemu pozostawiamy poszukanie wszystkich funkcji spełniających i sprawdzenie, jak uzyskana odpowiedź ma się do wzoru na dyskretną transformatę Fouriera.
Nim sformułujemy ogólną definicję transformaty Fouriera, zauważmy, że mnożenie liczb zespolonych z okręgu jednostkowego spełnia definicję grupy przemiennej (zob. margines).
Motywowani Stwierdzeniem 1 wprowadźmy teraz następującą definicję: homomorfizmem nazwiemy taką funkcję między grupami i że oraz dla wszystkich
Stwierdzenie 1 faktycznie pokazywało, że wszystkie ciągłe homomorfizmy z w są postaci dla pewnego
Podobnie ciągłe homomorfizmy z w są postaci dla pewnego
Nasuwa to hipotezę, że w ogólnym przypadku parametry transformaty Fouriera funkcji określonej na pewnej dziedzinie odpowiadają ciągłym homomorfizmom z w
Żeby jednak mówić o homomorfizmach, dziedzina musi być wyposażona w działanie grupowe. Założymy więc, że jest grupą przemienną.
Zamierzamy rozważać ciągłe homomorfizmy, więc zakładamy, że na jest sensownie zdefiniowane pojęcie ciągłości (będziemy taką grupę nazywać grupą topologiczną). Nie będziemy go tutaj precyzyjnie formułować, ale jest jasne, czym jest ciągłość funkcji na prostej lub okręgu (albo ich produktach), a na grupie dyskretnej, takiej jak z dodawaniem lub dowolnej grupie skończonej, każda funkcja jest ciągła. W definicji transformaty Fouriera pojawia się też całka lub suma, więc w ogólnym przypadku potrzebujemy mieć na miarę, od której będziemy wymagać niezmienniczości na działanie grupowe – tak jak miara podzbioru (jego ,,długość”) nie zmienia się po jego przesunięciu.
Czytelnikowi Zagubionemu wśród trudnych pojęć wystarczy wiedzieć, że miara to coś, co pozwala zdefiniować całkę rozumianą jako pole pod wykresem funkcji.
W przypadku prostej lub okręgu naszą miarą jest miara Lebesgue’a, całka względem niej jest całką w klasycznym rozumieniu. Na grupach dyskretnych rozważamy miarę liczącą, całka względem niej to jest po prostu suma.
Wyposażeni w przemienną grupę topologiczną z miarą niezmienniczą i oznaczając przez zbiór ciągłych homomorfizmów z w możemy teraz zdefiniować transformatę Fouriera funkcji jako
gdzie
Powyżej sprawdziliśmy już, że ta definicja jest zgodna z przypadkami transformaty na prostej i na okręgu. Sprawdzenie przypadku transformaty na
(dyskretnej transformaty Fouriera) albo na (rozwinięcie Walsha–Fouriera) zostawiamy Czytelnikowi.
Przyjrzyjmy się teraz przypadkowi który jest o tyle ciekawy, że pozwoli nam dostrzec pewną dualność. Jest jasne, że każdy homomorfizm jest ciągły, że i że jest wyznaczony jednoznacznie przez wartość Może być to dowolna liczba postaci dla (również dla ale wtedy tracimy jednoznaczność), co pokazuje, że można utożsamić z
Tak zdefiniowana transformata przypisuje funkcji funkcję daną wzorem Odpowiada więc definiowaniu funkcji okresowej poprzez jej szereg Fouriera.
Krótko o własnościach
Zauważmy jeszcze jedną ciekawą rzecz: w każdym rozważanym przypadku uzyskany zbiór ma naturalną strukturę grupy, da się na nim także zdefiniować pojęcia ciągłości i miary niezmienniczej. Co więcej, naturalne działanie grupowe w każdym przypadku odpowiada działaniu danemu wzorem To pozwala zdefiniować transformatę Fouriera również na Nasze wcześniejsze rozważania dotyczące transformaty na jak również obserwacja, że dla ustalonego zadaje ciągły homomorfizm sugerują, że można utożsamić z
I rzeczywiście, dla naszej ogólnej transformaty Fouriera można udowodnić, że transformata funkcji jest (prawie) odwrotną transformatą Fouriera, to znaczy Zachodzą też inne kluczowe własności, do których przywykliśmy w jej szczególnych przypadkach, takie jak tożsamość Parsevala lub zamiana splotu na mnożenie punktowe i mnożenia punktowego na splot. Oczywiście ten artykuł stanowi tylko krótkie wprowadzenie do tematu. Badanie własności i zastosowań transformaty Fouriera stanowi materiał na niejeden semestr zajęć na studiach oraz lata badań naukowych.