Zadania

Odpowiedź: Jedyną trójką spełniającą warunki zadania jest \((1,1,1).\)

Zauważmy, że gdyby liczby pierwsze \(a+bc,\) \(b+ac,\) \(c+ab\) były parami różne, to ich iloczyn dzieliłby \((a^2+1)(b^2+1)(c^2+1),\) więc w szczególności zachodziłaby nierówność: \[\begin{split} (bc+a)(ca+b)(ab+c) &\le \\ &\le (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1), \end{split}\] równoważna następującej: \[(abc-1)(a^2+b^2+c^2+1) \le 0.\] Oczywiście ostatnia nierówność nie może zajść poza przypadkiem trójki \((a,b,c)=(1,1,1),\) która spełnia warunki zadania.

Wobec tego dwie z danych liczb pierwszych są równe, bez straty ogólności załóżmy, że \(a+bc=b+ac.\) Po przekształceniach mamy \((a-b)(c-1)=0,\) czyli \(a=b\) lub \(c=1.\)

Jeśli \(a=b,\) to skoro \(a+bc=a(c+1)\) jest liczbą pierwszą, to \(a=b=1.\) Jednakże wtedy \(c+1\) jest liczbą pierwszą i dzieli \(4(c^2+1)=4(c-1)(c+1)+8.\) Jest to możliwe wtedy, gdy \(c+1\) dzieli \(8,\) a więc gdy \(c=1.\) Ponownie otrzymaliśmy trójkę \((1,1,1).\)

Rozpatrzmy przypadek \(c=1\) i przypuśćmy, że któraś z liczb \(a,b\) jest większa od 1. Wówczas \(ab+1,\) \(a+b\) są liczbami pierwszymi większymi od \(2,\) które dzielą \(2(a^2+1)(b^2+1),\) zatem dzielą też \((a^2+1)(b^2+1).\) Bez szkody dla ogólności załóżmy, że \(a<b,\) wtedy \(ab+1>a^2+1,\) więc \(ab+1 \mid b^2+1,\) skąd \(ab+1 \mid b^2+1-(ab+1)=b(b-a).\) Jednakże liczby \(b,\) \((b-a)\) są dodatnie i mniejsze od \(ab+1\) – sprzeczność.

Załóżmy przeciwnie i rozważmy wszystkie możliwe pary wybranych podzbiorów. Dla każdej takiej pary podzbiorów możemy wskazać element, który nie należy do żadnego z tych podzbiorów. Zauważmy, że liczba tych par jest równa \[\frac{([\sqrt{2n}]+2)([\sqrt{2n}]+1)}{2}>n\] (ponieważ \([\sqrt{2n}]+1>\sqrt{2n}),\) więc istnieją dwie różne pary zbiorów, dla których wybraliśmy ten sam element do nich nienależący. Ponieważ były to różne pary, więc składały się na nie co najmniej 3 zbiory (jeden z nich mógł występować w obu parach). Te trzy zbiory nie dają w sumie całego \(\mathcal{S},\) co jest sprzeczne z warunkami zadania.

Niech \(\Omega\) będzie okręgiem wpisanym w dany sześciokąt oraz niech \(X\) i \(Y\) będą punktami styczności tego okręgu odpowiednio z odcinkami \(AB_1\) oraz \(AC_1.\) Zauważmy, że \(AB_1 = AP= AC_1\) oraz \(AX=AY,\) stąd \[B_1X=AB_1-AX=AC_1-AY=C_1Y.\] Zatem trójkąty prostokątne \(OXB_1\) i \(OYC_1\) są przystające (bkb). Wobec tego, ponieważ \(B_1O\) i \(C_1O\) są dwusiecznymi kątów \(AB_1C\) i \(AC_1B,\) dostajemy \[\begin{split} \measuredangle APC&=\measuredangle AB_1 C=2\measuredangle XB_1O=\\ &=2\measuredangle YC_1O =\measuredangle AC_1 B=\\ &=\measuredangle APB. \end{split}\] Podobnie \(\measuredangle APC=\measuredangle BPC,\) skąd teza.

Długość fali de Broglie’a elektronu o pędzie \(p\) wynosi: \(\lambda = h/p.\) Współczynnik załamania fali na powierzchni metalu równy jest stosunkowi długości fali w próżni, \(\lambda,\) do długości fali wewnątrz metalu, \(\lambda_m\): \(n = \lambda/\lambda_m.\) Pęd elektronu o energii \(E\) wynosi \(p = \sqrt{2m_e E}.\) Energia elektronu padającego na powierzchnię po przyspieszeniu w potencjale \(U\) wynosi \(E_p = e\cdot U,\) a wewnątrz metalu \(E_m = e\cdot U +W.\) Orzymujemy: \[n = \sqrt{\frac{E_m}{E_p}} = \sqrt{1 + \frac{W}{e\cdot U}.}\] Brakuje nam oszacowania wartości \(U.\) Przyjmijmy, że przed skierowaniem na powierzchnię metalu długość fali de Broglie’a wiązki wynosi \(\lambda = 10^{-10}\) m. Oznacza to, że elektrony były przyspieszane w potencjale: \[U = \frac{h^2}{2m_e\lambda^2e},\] liczbowo \(U = 151\) V. Odpowiadający tej wartości współczynnik załamania wynosi \(n \approx 1{,}016.\)

W obliczaniu pędu elektronu nie uwzględnialiśmy poprawek relatywistycznych, co uzasadnia otrzymana wartość \(e\cdot U = 151\) eV, która jest pomijalnie mała w porównaniu z masą spoczynkową elektronu, \({m_ec^2 = 511}\) keV. Średni potencjał wewnątrz metali ,,odczuwany” przez elektrony jest większy niż wynikający z pracy wyjścia i wynosi 10 V do 15 V, co prowadziłoby do wartości \(n \le 1{,}05\) V.

Pęd fotonu o długości fali \(\lambda\) wynosi \(p = h/\lambda.\) W procesie załamania częstość promieniowania światła nie ulega zmianie, natomiast długość fali po załamaniu wynosi \(\lambda_w = \lambda/n.\) Otrzymujemy: \[p_w = \frac{nh}{\lambda},\] liczbowo: \(p_w = 1{,}36\cdot 10^{-27}\) kg\(\cdot\) m/s.