Delta 7/2024

Zadania

Dominik Burek i Andrzej Majhofer

Zadanie M 1786

W pola kwadratu $11 \times 11$ wpisano parzystą liczbę plusów. Okazało się, że każdy kwadrat $2 \times 2$ również ma parzystą liczbę plusów. Udowodnić, że liczba plusów wpisanych w główną przekątną kwadratu też jest parzysta.

Rozwiązanie

Figura $A$ w lewym górnym rogu kwadratu (na rysunku oznaczona kolorem) składa się z $15$ kwadratów $2 \times 2,$ a więc ma parzystą liczbę plusów. To samo dotyczy figury $B,$ która jest symetryczna do figury $A$ względem środka kwadratu. Każde pole kwadratu poza przekątną zakrywa dokładnie jedna z figur $A$ i $B,$ a każde pole przekątnej zakrywają obie lub żadna z nich. Ponieważ sumarycznie figury $A$ i $B$ mają parzystą liczbę plusów, przy czym plusy na polach z liczbą 2 są liczone dwukrotnie, więc liczba plusów poza przekątną jest parzysta. Ponieważ całkowita liczba plusów jest parzysta, liczba plusów na przekątnej również jest parzysta.

Zadanie M 1787

Punkty $K$ i $L$ leżą na boku $A B$ czworokąta wypukłego $A B C D$ (punkt $K$ leży między $A$ i $L$ ), a punkty $M$ i $N$ leżą na boku $C D$ (punkt $M$ leży między $C$ i $N) .$ Wiadomo, że $A K = K N = D N$ i $B L = B C = C M .$ Udowodnić, że jeśli na czworokącie $B C N K$ można opisać okrąg, to na czworokącie $A D M L$ również.

Rozwiązanie

Jeśli

A B ∥ C D,

B C N K

jest trapezem wpisanym w okrąg, zatem

B C = K N

oraz

A K = B L = C M = D N .

Oznacza to, że czworokąt

L M D A

otrzymujemy z

B C N K

poprzez równoległe przesunięcie o wektor

\vec{B L} .

Załóżmy teraz, że $A B$ i $C D$ nie są równoległe; oznaczmy przez $P$ punkt przecięcia prostych $A B$ i $C D .$

Ponieważ czworokąt $B C N K$ jest wpisany w okrąg, to trójkąty $P B C$ i $P N K$ są podobne, zatem $\frac{P B}{B L} = \frac{P B}{B C} = \frac{P N}{N K} = \frac{P N}{N D} .$ Dlatego $B N ∥ L D,$ podobnie $C K ∥ M A .$ Stąd otrzymujemy $∡ A L D = ∡ K B N$ i $∡ K C N = ∡ A M D .$

Ponieważ na czworokącie $B C N K$ można opisać okrąg, to $∡ K B N = ∡ K C N .$ Dlatego też $∡ A L D = ∡ A M D,$ czyli na czworokącie $A D M L$ również można opisać okrąg.

Zadanie M 1788

Ciąg liczbowy ${a_{n}}_{n \geq 1}$ jest zdefiniowany następująco: $a_{1} = 1,$ $a_{2} = 2,$ $a_{3} = 3,$ $a_{4} = 4,$ $a_{5} = 5$ oraz $a_{n + 1} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} - 1$ dla $n \geq 5.$ Udowodnić, że $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{70}^{2} = a_{1} a_{2} \dots a_{70} .$

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie:

b_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} - (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) .

Wystarczy udowodnić, że

b_{70} = 0.

Zauważmy, że dla

n \geq 5

mamy

\begin{aligned} b_{n + 1} & = a_{1} a_{2} \dots a_{n + 1} - (a_{1}^{2} + \dots + a_{n + 1}^{2}) = \\ = a_{1} a_{2} \dots a_{n} (a_{1} a_{2} \dots a_{n} - 1) - \\ - a_{1}^{2} - a_{2}^{2} + \dots - a_{n}^{2} - \\ - (a_{1} a_{2} \dots a_{n} - 1)^{2} = \\ = a_{1} a_{2} \dots a_{n} - a_{1}^{2} - a_{2}^{2} - \dots - a_{n}^{2} - 1 = \\ = b_{n} - 1. \end{aligned}

Ponadto

\begin{aligned} b_{5} & = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 1^{2} - 2^{2} - 3^{2} - 4^{2} - 5^{2} = \\ = 65, \end{aligned}

zatem

b_{6} = 64, b_{7} = 63, \dots, b_{70} = 0.

Zadanie F 1099

Oszacuj rozmiary cząsteczki azotu i odległości międzycząsteczkowe w gazowym azocie w warunkach normalnych ( $p = 1,013 \cdot 10^{5}$ Pa, $T = 0$ ). Gęstość ciekłego azotu (w temperaturze wrzenia, $- 196$ ) $ρ_{l} = 0,808$ g/cm $^{3},$ gęstość azotu w warunkach normalnych $ρ_{g} = 1,250$ g/l, liczba Avogadro $N_{A} = 6,022 \cdot 10^{23}$ /mol, liczba masowa atomu azotu $A_{N} = 14.$

Rozwiązanie

Gęstości tej samej substancji w stanie ciekłym i w stanie gazowym są niemal równe. Na potrzeby oszacowania możemy więc przyjąć, że w cieczy cząsteczki niemal się stykają. Masa jednego mola cząsteczek azotu wynosi

μ_{N} = 2 A_{N} g = 28

g. Objętość jednego mola ciekłego azotu

V = μ_{N} / ρ_{l}

(cząsteczki azotu są dwuatomowe). Objętość przypadająca na jedną cząsteczkę wynosi

v = V / N_{A},

co odpowiada sześcianowi o boku

d^{3},

gdzie

d

oznacza średnie rozmiary cząsteczki. Otrzymujemy:

d = {(\frac{μ_{N}}{N_{A} ρ_{l}})}^{1 / 3} .

Liczbowo

d \approx 3, 86 \cdot 10^{- 10}

m. W stanie gazowym objętość przypadająca na jedną cząsteczkę wynosi

ρ_{l} / ρ_{g}

i jest około 650 razy większa niż w cieczy. Wynika stąd, że w gazie średnia odległość

l

między cząsteczkami azotu wynosi:

l = {(\frac{ρ_{g}}{ρ_{l}})}^{1 / 3} d \approx 8, 65 d .

Liczbowo

l \approx 33, 4 \cdot 10^{- 10}

Zadanie F 1100

Ile razy energia wiązania cząsteczki azotu w polu grawitacyjnym Ziemi jest większa od średniej energii kinetycznej cząsteczek azotu w powietrzu? Przyjmij, że temperatura powietrza $T = 300$ K, stała Boltzmanna $k = 1, 38 \cdot 10^{- 23}$ J/K, przyspieszenie ziemskie $g = 9, 81$ m/s $^{2},$ promień Ziemi $R = 6370$ km, liczba masowa atomu azotu $A_{N} = 14,$ liczba Avogadro $N_{A} = 6,022 \cdot 10^{23}$ /mol.

Rozwiązanie

Masa cząsteczki azotu wynosi

m_{N} = (2 A_{N} / N_{A}

) g. Energia wiązania takiej cząsteczki przez pole grawitacyjne Ziemi wynosi (

G

to stała grawitacyjna,

M

to masa Ziemi):

E_{g} = - \frac{G M m_{N}}{R} = - m_{N} g R .

Średnia energia kinetyczna ruchu cieplnego wynosi

E_{k} = 3 k T / 2.

Stosunek tych energii wynosi:

| \frac{E_{g}}{E_{k}} | = \frac{2 m_{N} g R}{3 k T} .

Liczbowo

| E_{g} / E_{k} | \approx 468.

Energia kinetyczna ruchu cieplnego odpowiada pracy potrzebnej do podniesienia cząsteczki azotu na wysokość

h

nad powierzchnią Ziemi:

h = \frac{3 k T}{2 g m_{N}} .

Liczbowo

h \approx 13, 6

km.