Klub 44

Należy zbadać granicę ciągu \((b_n/{a_n}),\) gdzie \({b_n=a_0\ldots{a_{n-1}}}\) (przyjmujemy \({b_0=1}\)). Widać, że \({b_{n+1}=a_nb_n}.\) Wykażemy indukcyjnie, że dla \({n=0,1,2,\ldots}\) zachodzi równość \[a_n^2-5b_n^2=4.\] Dla \({n=0}\) zgadza się. Przyjmijmy słuszność wzoru dla \(n\) i przejdźmy do \({n+1}\): \[a_{n+1}^2-5b_{n+1}^2=(a_n^2-2)^2-5(a_nb_n)^2=a_n^2(a_n^2-4-5b_n^2)+4=4;\] w ostatnim kroku użyte zostało założenie indukcyjne (wyrażenie w nawiasie zeruje się). Dowodzona równość zachodzi więc dla wszystkich \({n\ge0}.\) Wynika z niej, że \[\Bigl({b_n\over a_n}\Bigr)^2={a_n^2-4\over 5a_n^2}={1\over 5}\Bigl(1-{4\over a_n^2}\Bigr).\] Jasne, że \({a_n\to\infty}.\) Stąd \[\lim_{n\to\infty}\Bigl({b_n\over a_n}\Bigr)^2={1\over 5}\,,\ \ \ \hbox{zatem} \ \ \ \lim_{n\to\infty}{b_n\over a_n}={1\over\sqrt 5}\,.\]

Oznaczmy ortocentra tych czterech trójkątów, w podanej kolejności, przez \(H_a,H_b,H_c,H_d\); ich środki ciężkości – przez \(G_a,G_b,G_c,G_d\); zaś środki okręgów na nich opisanych – przez \(O_a,O_b,O_c,O_d.\)

(a) Punkty \(H_a\) i \(H_b\) leżą na prostej przechodzącej przez \(K\) (wspólny wierzchołek trójkątów \(ANK,\) \(BKL\)), prostopadłej do prostych \(DA\) i \(BC.\) Punkty \(H_c\) i \(H_d\) leżą na prostej przechodzącej przez \(M\) i także prostopadłej do \(DA\) i \(BC.\) Zatem \({H_aH_b\Vert{H_cH_d}}.\) Analogicznie pokazujemy, że \({H_bH_c\Vert{H_dH_a}}\): czworokąt \(H_aH_bH_cH_d\) jest równoległobokiem.

(b) Rachujemy na wektorach. Niech \(P\) będzie punktem przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\); a więc \({\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}}.\) Stąd \[\begin{aligned} \overrightarrow{PG_a}+\overrightarrow{PG_c} &{}=\textstyle{1\over 3}\bigl(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PK}\bigr)+{1\over 3}\bigl(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PL}+\overrightarrow{PM}\bigr)={}\\ &{}=\textstyle{1\over 3}\bigl(\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{PL}+\overrightarrow{PM}\bigr),\\ \textstyle\overrightarrow{PG_b}+\overrightarrow{PG_d} &{}=\textstyle{1\over 3}\bigl(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{PL}\bigr)+{1\over 3}\bigl(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}\bigr)={}\\ &{}=\textstyle{1\over 3}\bigl(\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{PL}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}\bigr). \end{aligned}\] Uzyskana równość \[\overrightarrow{PG_a}+\overrightarrow{PG_c}=\overrightarrow{PG_b}+\overrightarrow{PG_d} \tag{1}\] oznacza, że środki odcinków \(G_aG_c\) i \(G_bG_d\) pokrywają się: czworokąt \(G_aG_bG_cG_d\) jest równoległobokiem.

(c) W trójkącie \(ANK\) (jak w każdym trójkącie) rozważane punkty charakterystyczne \(O_a,\) \(G_a,\) \(H_a\) leżą w tej kolejności na jednej prostej (Eulera), tworząc proporcję \({O_aG_a:G_aH_a=1:2}.\) Stąd \({\overrightarrow{PG_a}={2\over 3}\overrightarrow{PO_a}+{1\over 3}\overrightarrow{PH_a}},\) czyli \({\overrightarrow{PO_a}={3\over 2}\overrightarrow{PG_a}-{1\over 2}\overrightarrow{PH_a}}.\) Analogicznie wyrażają się wektory \(\overrightarrow{PO_b},\overrightarrow{PO_c},\overrightarrow{PO_d}.\)

Z konkluzji części (a) wynika, że odcinki \(H_aH_c\) i \(H_bH_d\) mają wspólny środek, czyli że \[\overrightarrow{PH_a}+\overrightarrow{PH_c}=\overrightarrow{PH_b}+\overrightarrow{PH_d}. \tag{2}\] Skoro zaś (dla \({x=a,b,c,d}\)) wektory \(\overrightarrow{PO_x}\) wyrażają się jednolitym wzorem jako kombinacja liniowa wektorów \(\overrightarrow{PG_x},\overrightarrow{PH_x},\) z równości (1) i (2) wynika taka sama równość dla wektorów \(\overrightarrow{PO_x}\): \[\overrightarrow{PO_a}+\overrightarrow{PO_c}=\overrightarrow{PO_b}+\overrightarrow{PO_d}.\] Oznacza ona, że odcinki \(O_aO_c\) i \(O_bO_d\) mają wspólny środek: czworokąt \(O_aO_bO_cO_d\) jest równoległobokiem.

Rys. 2 Rysunek 2 przedstawia bieg promieni wychodzących ze źródła \(O,\) w płaszczyźnie przekroju rury. Promienie w obszarze \(OAB\) nie spełniają warunków zadania. Zmniejszając promień rury, zmniejszamy powierzchnię tego obszaru. Przypadek graniczny, gdy wszystkie promienie biegnące ze źródła na prawo od prostej \(OO',\) wyznaczonej przez źródło i jego obraz, trafiają na kulkę bezpośrednio albo po odbiciach od powierzchni wewnętrznej rury, przedstawia rysunek 3.
Rys. 3 Promienie biegnące w lewo od prostej \(OO'\) wychodzą z rury albo bezpośrednio, albo po wielokrotnych odbiciach.

Maksymalny promień rury, dla którego spełnione są warunki zadania, dany jest wzorem: \[R={r}/{\cos\alpha }={r}/{\sqrt{1-{r^2}/{l^2}}}\approx 1{,}15\ \rm cm.\]

Podczas podnoszenia tłoka nie jest wykonywana praca nad gazem, nie ma wymiany ciepła z otoczeniem i gaz jest doskonały, zatem zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki energia wewnętrzna gazu nie zmienia się: \[\Delta U=nc_V\left(T_1-T_0\right)=0,\] a tym samym w wyniku podniesienia tłoka nie zmienia się jego temperatura: \(T_1=T_0.\)

Podczas opadania tłoka praca wykonana nad gazem wynosi \(W=Mg(10H-x),\) gdzie \(M\) jest masą tłoka, a \(x\) szukaną wysokością końcową. Zasada zachowania energii ma postać: \[\tag{1} \label{GrindEQ__1_} Mg\left(10H-x\right)={3nR\left(T_2-T_0\right)}/{2.}\] Ciśnienia w stanach początkowym i końcowym są jednakowe: \[p_2={Mg}/{S}=p_0,\] gdzie \(S\) jest przekrojem naczynia. Z równań Clapeyrona : \(p_0SH=nRT_0\) , \(p_2Sx=nRT_2,\) otrzymujemy: \[\tag{2} \label{GrindEQ__2_} T_2={T_0x}/{H}.\] Wstawiając \(\eqref{GrindEQ__2_}\) do \(\eqref{GrindEQ__1_}\), dostajemy: \[x=4{,}6H.\]