Zadania

Z warunków zadania dostajemy równość\[\frac{a^{2024}+1}{a}=\frac{b^{2024}+1}{b},\] która po przekształceniach przyjmuje postać \[ab(a^{2023}-b^{2023})=(a-b).\] Skoro \(a\neq b,\) to dzieląc powyższą równość stronami przez \(a-b,\) dostajemy \[ab( a^{2022}+a^{2021}b+\ldots+b^{2022})=1.\] Korzystając teraz z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, mamy \[\begin{split} 1&=ab(a^{2022}+a^{2021}b+\ldots+b^{2022})\geq\\&\geq ab \cdot 2023 \sqrt[2023]{a^{2022}\cdot a^{2021}b\cdot \ldots\cdot b^{2022}}=\\&=ab \cdot 2023 \sqrt[2023]{(ab)^{\frac{2022\cdot 2023}{2}}}=2023\cdot (ab)^{\frac{2024}{2}}, \end{split}\] skąd \[2023^2 (ab)^{2024}\leq 1.\] Ponieważ \(a\neq b,\) więc oczywiście równość nie może zachodzić.

Odpowiedź: Istnieją dokładnie \(1024\) takie kolorowania.

Na początku podamy konstrukcje \(1024\) kolorowań. Dla każdej liczby naturalnej \(k\leq 10\) wszystkie liczby przystające do \(k \pmod{10}\) kolorujemy tym samym kolorem. Takie kolorowanie oczywiście spełnia warunki zadania, a jest ich dokładnie \(2^{10}.\)

Udowodnimy teraz, że innych kolorowań nie ma. Bez utraty ogólności możemy założyć, że liczba \(1\) jest biała. Zgodnie z założeniami zadania, jeśli liczba \(t > 10\) jest biała, to liczba \(t-10\) również jest biała. Przypuśćmy, że dla pewnego \(k\leq 10\) wśród liczb przystających do \(k\) modulo 10 występują oba kolory. Zgodnie z wcześniejszą obserwacją wszystkie liczby mniejsze od pewnej liczby całkowitej dodatniej \(\ell\) przystające do \(k\pmod{10}\) (w szczególności też \(k\)) muszą być białe, a liczba \(\ell\) i wszystkie liczby większe od niej są czerwone. Ale wtedy, zgodnie z warunkami zadania, liczba \((10\ell + k) - 10\ell = k\) jest pokolorowana na czerwono – sprzeczność.

Ustalmy dowolnie liczbę naturalną \(n.\) Zauważmy, że w przedziale \([2^n, 2^{n+1}]\) istnieje liczba nieparzysta \(x\) taka, że liczby (parzyste) \(x -1\) i \(x+1\) mają różne parzystości liczb czynników pierwszych (liczone z uwzględnieniem ich krotności). Istotnie, gdyby taka liczba \(x\) nie istniała, to liczby w ciągu \[2^{n},\ 2^{n}+2,\ 2^{n}+4,\ \ldots,\ 2^{n}+2^{n}\] miałyby taką samą parzystość liczb czynników pierwszych, jednakże liczby czynników pierwszych liczb \(2^{n}\) i \({2^n+2^n=2^{n+1}}\) różnią się o \(1\) – sprzeczność.

Pokażemy, że \(x^4\) jest liczbą dobrą, co z dowolności \(n\) dowiedzie tezy zadania. Zauważmy, że \[x^4 = (x^2-2)^2+4(x^2-1).\] Ponadto \((x^2-2)^2\) i \(4(x^2-1)\) są względnie pierwsze (\(2\nmid x^2-2\) oraz \(x^2-1=x^2-2+1\)), a także mają różne parzystości liczb czynników pierwszych (dla \((x^2-2)^2\) jest to oczywiście liczba parzysta, a dla \(4(x^2-1)=2^2(x-1)(x+1)\) jest to liczba nieparzysta, na podstawie określenia \(x\)).

Podczas zderzenia z cegłą piłka jest ściskana, po czym wraca do swojego początkowego kształtu, zmieniając przy tym kierunek ruchu cegły. Po całkowitym ,,rozprężeniu” piłki cegła odrywa się od jej powierzchni i porusza z prędkością \(v\) pozwalającą jej wznieść się na wysokość \(H\) nad powierzchnię piłki w polu grawitacyjnym o przyspieszeniu \(g.\) Oznacza to, że \(v = \sqrt{2gH}.\) W momencie oderwania cegły środek ciężkości piłki porusza się z prędkością \(v/2,\) a więc po zderzeniu piłka ,,podskoczy” na wysokość \(h\) spełniającą równanie: \[gh = \frac{1}{2}\left(\frac{v}{2}\right)^2,\] czyli \(h = H/4.\)

O stopniu ,,ugotowania” zawartości jaja decyduje rozkład temperatury w jego wnętrzu i sposób, w jaki ten rozkład zmienia się w czasie. Jajo zanurzone jest w wodzie o temperaturze \(T = 100\) i poprzez jego skorupkę ciepło przepływa do wnętrza. Proces zmiany temperatury w jego wnętrzu z upływem czasu, \(t,\) opisywany jest równaniem przewodnictwa cieplnego (\(x, y, z\) oznaczają współrzędne kartezjańskie): \[c\rho \frac{\partial T}{\partial t} = k \left(\frac{\partial^2T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2T}{\partial z^2} \right),\] w którym \(c\) to ciepło właściwe, \(\rho\) gęstość, a \(k\) współczynnik przewodnictwa cieplnego wnętrza jaja. Parametry \(\rho, c\) i \(k\) mają te same wartości w jaju kurzym i strusim, a więc jedyną różnicą są rozmiary jaj (kształty są podobne). Niech \(T(t, x,y,z)\) będzie rozwiązaniem równania dla jaja kurzego, z warunkiem stałej temperatury na powierzchni: \(T(t,\) brzeg jaja\() = 100\). Jeśli w tym rozwiązaniu podzielimy wszystkie współrzędne przez ten sam czynnik \(a,\) a czas przez czynnik \(b,\) przyjmując \(\Theta(t,x,y,z) = T(t/b,x/a,y/a,z/a),\) to otrzymamy, że: \[\begin{aligned} \frac{\partial \Theta}{\partial t} & = & \frac{1}{b}\frac{\partial T}{\partial t} \\ \frac{\partial^2 \Theta}{\partial x^2} & = & \frac{1}{a^2}\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \\ \frac{\partial^2 \Theta}{\partial y^2} & = & \frac{1}{a^2}\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \\ \frac{\partial^2 \Theta}{\partial z^2} & = & \frac{1}{a^2}\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}. \end{aligned}\] Po porównaniu z postacią równania spełnianego przez \(T\) wnioskujemy, że funkcja \(\Theta\) spełnia równanie: \[c\rho \frac{\partial \Theta}{\partial t} = \frac{ka^2}{b} \left(\frac{\partial^2\Theta}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Theta}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\Theta}{\partial z^2} \right),\] czyli dla \(b = a^2\) funkcja \(\Theta\) spełnia równanie przewodnictwa dla materiału jaja z warunkiem \(\Theta = 100\) na powierzchni ,,rozciągniętej” \(a\) razy w stosunku do przypadku dla \(T.\) Przyjmując \(a = 3,\) otrzymujemy, że jajo strusia należy gotować \(a^2 = 9\) razy dłużej niż jajo kury, czyli 45 minut.