Zadania z matematyki nr 887, 888
Termin nadsyłania rozwiązań: 31 XII 2024
Redaguje Marcin E. KUCZMA
887. Znaleźć najmniejszą liczbę rzeczywistą \(A,\) dla której istnieją liczby zespolone \(u,v,w\) oraz liczba rzeczywista \(B\) takie, że \({|u|=|v|=|w|=1=uvw},\) zaś \({u+v+w=A+Bi}.\)
888. Znaleźć wszystkie trójki liczb całkowitych \({x,y,z\ge0},\) spełniające równanie \({7^x+2^{x+y}=z^2}.\)
Zadanie 888 zostało opracowane na podstawie propozycji, którą przysłał pan Witold Bednarek z Łodzi.
Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 M
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
877 (\(WT = 1{,}36\)) i 878 (\(WT = 3{,}29\))
z numeru 3/2024
Piotr Kumor Olsztyn 46,57 Łukasz Merta Kraków 43,92 Szymon Kitowski Warszawa 41,11 Adam Woryna Ruda Śl. 40,91 Witold Bednarek Łódź 37,29 Michał Adamaszek Kopenhaga 35,90 Krzysztof Zygan Lubin 34,43 Jędrzej Biedrzycki 31,02 Andrzej Kurach Ryjewo 30,66 Tomasz Wietecha Tarnów 30,14 Mocny akcent! Pan Piotr Kumor, niezwykle aktywny uczestnik Ligi, właśnie zamknął szesnaste okrążenie!
Rozwiązania zadań z numeru 6/2024
Przypominamy treść zadań:
883. Znaleźć wszystkie funkcje \({f\colon{\mathbb R}\to{\mathbb R}}\) spełniające równanie \[f(x^2+y^2)=f(x^2)+f(xy)+f(y^2)\ \ \ \ \hbox{dla}\;\;x,y\in{\mathbb R}.\]
Funkcja \(f\) musi być parzysta, bowiem z podstawień \({y=x}\) oraz \({y=-x}\) dostajemy \({f(x^2)=f(-x^2)}.\) Dalej badamy wartości \(f\) dla argumentów nieujemnych. Weźmy dowolną liczbę \({t\ge0}\) i podstawmy w równaniu \({x=y=\sqrt{t}}.\) Otrzymujemy równość \[f(2t)=3f(t).%\] Wobec dowolności \(t\) wynikają z niej związki \[\displaylines{ f(4t)=9f(t),\ \ \ \ f(16t)=81f(t),\cr f(10t)=3f(5t),\ \ \ \ f(12t)=9f(3t)\cr }\] (i wiele innych, podobnych; te będą dalej przydatne). Kolejne podstawienie \({x=\sqrt{t}},\) \({y=2\sqrt{t}}\) daje równość \[f(5t)=f(t)+f(2t)+f(4t)=13f(t),\] skąd \[f(10t)=3f(5t)=39f(t)\] oraz \[f(25t)=13f(5t)=169f(t);\] zaś podstawienie \({x=\sqrt{t}},\) \({y=3\sqrt{t}}\) daje \[f(t)+f(3t)+f(9t)=f(10t)=39f(t)\] i w konsekwencji \[\label{eq1} f(9t)=38f(t)-f(3t). \tag{1}\] Wreszcie z podstawienia \({x=3\sqrt{t}},\) \({y=4\sqrt{t}}\) otrzymujemy \[f(9t)+f(12t)+f(16t)=f(25t)=169f(t),\] czyli (stale patrząc na równości uzyskane wyżej) \[f(9t)+9f(3t)+81f(t)=169f(t).\] Zastępujemy początkowy składnik przez prawą stronę wzoru \(\eqref{eq1}\) i po redukcji dostajemy zależność \[\label{eq2} \textstyle f(3t)={25\over 4}f(t). \tag{2}\] Zatem \[\label{eq3} \textstyle f(9t)=f(3\cdot3t)=\bigl({25\over 4}\bigr)^2f(t). \tag{3}\]
Wstawiamy uzyskane związki \(\eqref{eq2}\) i \(\eqref{eq3}\) do równania \(\eqref{eq1}\): \[\textstyle \bigl({25\over 4}\bigr)^2f(t)=38f(t)-{25\over 4}f(t).\] Stąd, ostatecznie, \({f(t)=0}.\) Wszystkie wypisane zależności były słuszne dla dowolnej liczby \({t\ge0}.\) Funkcja (parzysta) \(f\) jest więc identycznie równa zeru (i oczywiście spełnia zadane równanie).
884. Wykazać, że dla każdej pary liczb naturalnych \({a\ge2},\) \({b\ge1}\) istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych \(n,\) że liczba \({ba^n+1}\) jest złożona.
Autor zadania (pan Witold Bednarek) proponuje taką konstrukcję: niech \(p\) będzie ustalonym dzielnikiem pierwszym liczby \({ba+1}.\) Przyjmijmy \[n_k=(p-1)k+1\ \ \ \ (k=1,2,3,\ldots).\] Oczywiście \(a\) nie dzieli się przez \(p,\) więc na mocy małego twierdzenia Fermata \({a^{p-1}\equiv1}\) (mod \(p\)). Wobec tego \[ba^{n_k}+1=% {b}\bigl(a^{p-1}\bigr)^ka+1\equiv ba+1\equiv0\pmod{p}.\] Zatem każda z liczb \({ba^{n_k}+1}\) (dla \({k=1,2,3,\ldots}\)) dzieli się przez \(p\); przy tym jest większa od \(p\) (bowiem \({p\le{ba+1}<ba^{n_k}+1}\)); jest więc liczbą złożoną.
Zadania z fizyki nr 784, 785
Termin nadsyłania rozwiązań: 31 XII 2024
Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA
784. Szklany pryzmat o małym kącie łamiącym \(\varphi\) umieszczono w pewnej odległości od cienkiej soczewki skupiającej o ogniskowej \(f\) tak, że jedna z powierzchni pryzmatu jest prostopadła do osi optycznej soczewki. Po drugiej stronie soczewki, w jej ognisku znajduje się punktowe źródło światła. Promienie odbite od pryzmatu po załamaniu w soczewce dają dwa obrazy źródła światła oddalone od siebie o \(d.\) Znaleźć współczynnik załamania szkła, z którego wykonano pryzmat.
Rys. 1
785. Kondensator płaski, którego powierzchnia okładek jest dużo większa od odległości między nimi, podłączony jest do źródła o sile elektromotorycznej \(\mathcal{E}\) i umieszczony w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu \(E.\) Linie pola są prostopadłe do powierzchni okładek kondensatora (rys. 1). Jaką pracę trzeba wykonać, aby obrócić ten kondensator o kąt \(\pi\) wokół osi prostopadłej do wektora \(\vec{E}\)?
Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 F
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
774 (\(WT=3{,}88\)), 775 (\(WT=2{,}32\)) z numeru 3/2024
Jacek Konieczny Poznań 40,87 Konrad Kapcia Poznań 2–39,58 Paweł Perkowski Ożarów Maz. 5–37,86 Andrzej Nowogrodzki Chocianów 3–23,69 Tomasz Wietecha Tarnów 17–22,85 Jan Zambrzycki Białystok 4–22,38
Rozwiązania zadań z numeru 6/2024
Przypominamy treść zadań:
780. Mała piłeczka spadająca z wysokości \(h\) na twardą podłogę odskakuje na wysokość \(h/3.\) Na niciach o długościach \(l\) zawieszono stykające się ze sobą dwie takie piłeczki. Jedną z nich odchylono od pionu o kąt \(\pi/2\) i puszczono swobodnie. O jakie kąty odchylą się nici po zderzeniu piłeczek?
Tuż przed zderzeniem prędkość nadlatującej piłeczki wynosi \(v_1=\sqrt{2gl},\) druga piłeczka ma prędkość \(v_2=0.\) Środek masy układu porusza się z prędkością \({V}={{{v}}_1}/{2},\) prędkość względna to \(v=v_1,\) a prędkości w układzie laboratoryjnym możemy zapisać jako: \[\label{GrindEQ1} {{v}}_1={V}+{{v}}/{2}, \ \ \ {{v}}_2={V}-{{v}}/{2}.\tag{$*$}\] W układzie środka masy \(V=0,\) energia układu \(E={\mu v^2}/{2},\) gdzie \(\mu ={m}/{2},\) a \(m\) jest masą piłeczki. Zderzenie w tym układzie zachodzi jak zderzenie piłeczki o masie zredukowanej \(\mu\) i prędkości \(v\) z twardą ścianką. Zgodnie z treścią zadania po odbiciu unosi ona \({1}/{3}\) energii początkowej, a jej prędkość, czyli prędkość względna układu, zmienia znak na przeciwny i maleje \(\sqrt{3}\) razy: \[{{v}}'=-{{v}}/{\sqrt{3}},\ \ \ v'=\sqrt{{2gl}/{3}} .\] Wracając do układu laboratoryjnego, zgodnie z \(\eqref{GrindEQ1}\) otrzymujemy: \[\begin{aligned} {{v}}_{{1}}'& = {V}+{{v}'}/{{2}}={{{v}}_{{1}}}/{{2}}-{{v}}/(2\sqrt3)=\sqrt{{{gl}}/{{2}}}\left({1-}{{1}}/{\sqrt{{3}}}\right),\\ v_2'& =V-v'/{2}=\sqrt{gl/2}\left(1+{1}/{\sqrt{3}}\right). \end{aligned}\] Szukane kąty odchylenia wynoszą: \[{\alpha }_{1,2}=\operatorname{arc\,cos}\biggl(1-{{\left(v_{1,2}'\right)}^2\over 2gl}\biggr)=\operatorname{arc\,cos}\biggl({2\over 3}\pm {1\over 2\sqrt{3}}\biggr).\]
781. W odległości \(R\) od nieruchomego ładunku \(Q>0\) znajduje się mała kulka o masie \(m,\) naładowana ładunkiem \(-Q.\) Układ znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym, którego linie pola są prostopadłe do odcinka łączącego ładunki. Po oswobodzeniu kulka zaczyna się poruszać, a minimalna odległość, na jaką zbliża się do nieruchomego ładunku, wynosi \(R/2.\) Znaleźć wartość indukcji pola magnetycznego.
Zmiana energii kinetycznej kulki równa jest pracy siły elektrostatycznej: \[{mV^2}/{2}=kQ^2\left({2}/{R}-{1}/{R}\right),\] gdzie \(V\) jest prędkością kulki w minimalnej odległości od nieruchomego ładunku, stąd \[\label{GrindEQ2} V=Q\sqrt{{2k\over mR}}. \tag{\dagger}\]
Moment siły magnetycznej względem punktu, w którym znajduje się nieruchomy ładunek w chwili, gdy odległość między ładunkami wynosi \(r\) (rys. 2) dany jest wzorem \[\vec{M}=\vec{r}\times \vec{{F}}_L,\ \ \ M=rQB(v\cos\alpha ).\] Uwzględniając, że \(v\cos\alpha =v_r=-{dr\over dt},\) możemy napisać równanie ruchu cząstki: \[M=-QBr{dr\over dt}={dJ\over dt},\] gdzie \(J\) jest momentem pędu cząstki. Jego zmiana od chwili początkowej do chwili, gdy odległość między ładunkami jest minimalna, wynosi \[\Delta J={mVR\over 2}=-QB\int^{{R}/{2}}_R{rdr={3QBR^2}/{8.}}\] Uwzględniając \(\eqref{GrindEQ2}\), otrzymujemy wartość wektora indukcji pola magnetycznego: \[B=\sqrt{{32km\over 9R^3}}.\]