Klub 44

Funkcja $f$ musi być parzysta, bowiem z podstawień $y=x$ oraz $y=-x$ dostajemy $f(x^2)=f(-x^2).$ Dalej badamy wartości $f$ dla argumentów nieujemnych. Weźmy dowolną liczbę $t\ge 0$ i podstawmy w równaniu $x=y=\sqrt{t}.$ Otrzymujemy równość $$f(2t)=3f(t).$$ Wobec dowolności $t$ wynikają z niej związki $$\begin{array}{c}f(4t)=9f(t),f(16t)=81f(t),\\ f(10t)=3f(5t),f(12t)=9f(3t)\end{array}$$ (i wiele innych, podobnych; te będą dalej przydatne). Kolejne podstawienie $x=\sqrt{t},$ $y=2\sqrt{t}$ daje równość $$f(5t)=f(t)+f(2t)+f(4t)=13f(t),$$ skąd $$f(10t)=3f(5t)=39f(t)$$ oraz $$f(25t)=13f(5t)=169f(t);$$ zaś podstawienie $x=\sqrt{t},$ $y=3\sqrt{t}$ daje $$f(t)+f(3t)+f(9t)=f(10t)=39f(t)$$ i w konsekwencji $$\begin{array}{}\text{(1)}& f(9t)=38f(t)-f(3t).\end{array}$$ Wreszcie z podstawienia $x=3\sqrt{t},$ $y=4\sqrt{t}$ otrzymujemy $$f(9t)+f(12t)+f(16t)=f(25t)=169f(t),$$ czyli (stale patrząc na równości uzyskane wyżej) $$f(9t)+9f(3t)+81f(t)=169f(t).$$ Zastępujemy początkowy składnik przez prawą stronę wzoru $\text{(1)}$ i po redukcji dostajemy zależność $$\begin{array}{}\text{(2)}& f(3t)=\frac{25}{4}f(t).\end{array}$$ Zatem $$\begin{array}{}\text{(3)}& f(9t)=f(3\cdot 3t)=(\frac{25}{4}{)}^{2}f(t).\end{array}$$

Wstawiamy uzyskane związki $\text{(2)}$ i $\text{(3)}$ do równania $\text{(1)}$: $$(\frac{25}{4}{)}^{2}f(t)=38f(t)-\frac{25}{4}f(t).$$ Stąd, ostatecznie, $f(t)=0.$ Wszystkie wypisane zależności były słuszne dla dowolnej liczby $t\ge 0.$ Funkcja (parzysta) $f$ jest więc identycznie równa zeru (i oczywiście spełnia zadane równanie).

Autor zadania (pan Witold Bednarek) proponuje taką konstrukcję: niech $p$ będzie ustalonym dzielnikiem pierwszym liczby $ba+1.$ Przyjmijmy $$n_k=(p-1)k+1(k=1,2,3,\dots ).$$ Oczywiście $a$ nie dzieli się przez $p,$ więc na mocy małego twierdzenia Fermata  $a^{p-1}\equiv 1$  (mod $p$). Wobec tego $$b{a}^{n_k}+1=b(a^{p-1}{)}^{k}a+1\equiv ba+1\equiv 0(\mathrm{mod}p).$$ Zatem każda z liczb  $b{a}^{n_k}+1$  (dla $k=1,2,3,\dots$) dzieli się przez $p$; przy tym jest większa od $p$ (bowiem $p\le ba+1<b{a}^{n_k}+1$); jest więc liczbą złożoną.

Tuż przed zderzeniem prędkość nadlatującej piłeczki wynosi $v_1=\sqrt{2gl},$ druga piłeczka ma prędkość $v_2=0.$ Środek masy układu porusza się z prędkością $V=v_1/2,$ prędkość względna to $v=v_1,$ a prędkości w układzie laboratoryjnym możemy zapisać jako: $$\begin{array}{}\text{(}\ast \text{)}& v_1=V+v/2,v_2=V-v/2.\end{array}$$ W układzie środka masy $V=0,$ energia układu $E=\mu v^2/2,$ gdzie $\mu =m/2,$ a $m$ jest masą piłeczki. Zderzenie w tym układzie zachodzi jak zderzenie piłeczki o masie zredukowanej $\mu$ i prędkości $v$ z twardą ścianką. Zgodnie z treścią zadania po odbiciu unosi ona $1/3$ energii początkowej, a jej prędkość, czyli prędkość względna układu, zmienia znak na przeciwny i maleje $\sqrt{3}$ razy: $$v^{\prime }=-v/\sqrt{3},v^{\prime }=\sqrt{2gl/3}.$$ Wracając do układu laboratoryjnego, zgodnie z $\text{(}\ast \text{)}$ otrzymujemy: $$\begin{array}{rl}{v}_1^{\prime }& =V+v^{\prime }/2=v_1/2-v/(2\sqrt{3})=\sqrt{gl/2}\left(1-1/\sqrt{3}\right),\\ v_2^{\prime }& =V-v^{\prime }/2=\sqrt{gl/2}(1+1/\sqrt{3}).\end{array}$$ Szukane kąty odchylenia wynoszą: $${\alpha }_{1,2}=\mathrm{arc}\cos (1-\frac{{\left(v_{1,2}^{\prime }\right)}^2}{2gl})=\mathrm{arc}\cos (\frac{2}{3}\pm \frac{1}{2\sqrt{3}}).$$

Zmiana energii kinetycznej kulki równa jest pracy siły elektrostatycznej: $$m{V}^2/2=k{Q}^2(2/R-1/R),$$ gdzie $V$ jest prędkością kulki w minimalnej odległości od nieruchomego ładunku, stąd $$\begin{array}{}\text{(†)}& V=Q\sqrt{\frac{2k}{mR}}.\end{array}$$

Moment siły magnetycznej względem punktu, w którym znajduje się nieruchomy ładunek w chwili, gdy odległość między ładunkami wynosi $r$ (rys. 2) dany jest wzorem $$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times {\overrightarrow{F}}_L,M=rQB(v\cos \alpha ).$$ Uwzględniając, że $v\cos \alpha =v_r=-\frac{dr}{dt},$ możemy napisać równanie ruchu cząstki: $$M=-QBr\frac{dr}{dt}=\frac{dJ}{dt},$$ gdzie $J$ jest momentem pędu cząstki. Jego zmiana od chwili początkowej do chwili, gdy odległość między ładunkami jest minimalna, wynosi $$\mathrm{\Delta }J=\frac{mVR}{2}=-QB{\int }_R^{R/2}rdr=3QB{R}^2/8.$$ Uwzględniając $\text{(†)}$, otrzymujemy wartość wektora indukcji pola magnetycznego: $$B=\sqrt{\frac{32km}{9R^3}}.$$