Delta 10/2024

Zadania

Dominik Burek i Andrzej Majhofer

Zadanie M 1795

Liczbę całkowitą dodatnią nazywamy dobrą, jeśli wśród jej dzielników znajdują się dokładnie dwie liczby pierwsze. Udowodnić, że wśród dowolnych 18 kolejnych liczb całkowitych dodatnich co najmniej jedna z liczb nie jest dobra.

Rozwiązanie

Załóżmy przeciwnie i rozważmy \(18\) kolejnych liczb całkowitych dodatnich, które są dobre. Są wśród nich trzy liczby podzielne przez \(6.\) Niech będą to liczby \(6n,\) \(6(n+1)\) i \(6(n+2).\) Ponieważ liczby te są dobre, a rozkład każdej z nich na czynniki pierwsze zawiera już \(2\) i \(3,\) więc nie mogą one mieć innych dzielników pierwszych. Co więcej, tylko jedna z trzech kolejnych liczb naturalnych, \(n,\) \(n + 1,\) \(n + 2,\) może być podzielna przez \(3.\) Oznacza to, że pozostałe dwie są potęgami dwójki. Ale jedyne pary potęg dwójki, które różnią się o nie więcej niż \(2,\) to \((1, 2)\) i \((2, 4);\) dlatego też \(n\leq 2.\) Jednakże wtedy wśród naszych \(18\) kolejnych liczb jest liczba pierwsza \(13,\) która nie jest dobra – sprzeczność.

Zadanie M 1796

Kwadratowa plansza jest podzielona na \(n^2\) prostokątnych pól za pomocą \(n-1\) prostych poziomych i \(n-1\) prostych pionowych. Pola pomalowane są w szachownicę. Wiadomo, że na jednej przekątnej wszystkie pola są czarne i kwadratowe. Udowodnić, że całkowita powierzchnia wszystkich czarnych pól jest nie mniejsza niż całkowita powierzchnia wszystkich białych pól.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) długości boków kwadratowych pól na przekątnej. Wtedy \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) to szerokości „pasków”, na jakie pionowe (lub poziome) proste dzielą planszę. Zauważmy, że powierzchnia pola na przecięciu \(i\)-tego paska z \(j\)-tym wynosi \(x_ix_j,\) ponadto jest ono czarne, jeśli \(i + j\) jest parzyste, a w przeciwnym razie jest białe. Rozpatrzmy teraz wyrażenie \[(x_1 - x_2 + x_3 - \ldots)^2.\] Po wymnożeniu nawiasów dostaniemy sumę \(n^2\) wyrazów postaci \(\pm x_ix_j,\) gdzie znak ,,\(+\)” jest wybierany, jeśli \(i + j\) jest parzyste, a znak ,,\(-\)” jest wybierany, jeśli \(i + j\) jest nieparzyste. Zatem nieujemna liczba \((x_1 - x_2 + x_3 - \ldots)^2\) jest równa różnicy między sumami powierzchni wszystkich czarnych i wszystkich białych pól.

Zadanie M 1797

Punkt \(I{}\) jest środkiem okręgu wpisanego w czworokąt wypukły \(ABCD.\) Udowodnić, że na prostej \(CI\) istnieje punkt \(X\) taki, że \[\measuredangle XBI=\measuredangle XDI=\measuredangle BAI.\]

Rozwiązanie

Na prostej \(CI\) obierzmy taki punkt \(X,\) że \[\frac{CX}{CD}=\frac{CB}{CI}.\] Wtedy trójkąty \(CID\) i \(CBX\) są podobne (zgodnie z definicją \(X\) i równością kątów przy wierzchołku \(C\)).

Zatem \[\begin{aligned} \measuredangle CBI+\measuredangle IBX&=\measuredangle CBX=\measuredangle CID=\\&=\measuredangle 180^{\circ}-\measuredangle ICD-\measuredangle IDC=\\&=\measuredangle IBA+\measuredangle IAB, \end{aligned}\] gdzie w ostatniej równości skorzystaliśmy z tego, że suma \(\measuredangle ICD+\measuredangle IDC+\measuredangle IBA+\measuredangle IAB\) jest równa połowie sumy kątów wewnętrznych w czworokącie \(ABCD,\) czyli \(180^{\circ}.\)

Ponieważ \(\measuredangle CBI=\measuredangle IBA,\) więc powyższa równość implikuje, że \(\measuredangle IBX=\measuredangle IAB.\) Analogicznie do dowodu podobieństwa trójkątów \(CID\) i \(CBX\) możemy uzasadnić podobieństwo trójkątów \(CIB\) i \(CDX,\) skąd \[\measuredangle XDI=\measuredangle CID-\measuredangle IXD = \measuredangle CBX - \measuredangle IBC=\measuredangle IBX,\] co kończy dowód.

Zadanie F 1105

Mgła jest zawiesiną kropelek wody w powietrzu. Oszacuj gęstość mgły \(n,\) to jest liczbę kropelek o średnicy \(d = 20\) \(\mu\)m w metrze sześciennym powietrza, jeśli skutkiem mgły jest ograniczenie widoczności do \(l = 100\) m. Jaka masa kropelek mgły (wody) zawarta jest w metrze sześciennym powietrza? Gęstość wody \(\rho = 10^3\) kg/m\(^3.\)

Rozwiązanie

Niech \(a\) oznacza średnią odległość między kropelkami wody tworzącymi mgłę. Mamy \(a = n^{-1/3}.\) Pojedyncza warstwa kropelek o promieniu \(r = d/2\) każda przesłania część przechodzącej przez nią wiązki światła równą \(\pi r^2/a^2.\) Liczba takich warstw wystarczająca do całkowitego przesłonięcia światła między obserwatorem i przedmiotem równa jest średnio \(l/a.\) Oznacza to, że: \[1 = \frac{\pi r^2}{a^2}\frac{l}{a} = \frac{\pi r^2 l}{a^3}.\] Otrzymujemy: \[n = \frac{1}{\pi r^2 l}\] i całkowitą masę, \(m,\) kropelek mgły w 1 m\(^3\): \[m = n\rho \frac{4\pi r^3}{3} = \frac{4r\rho}{3l}.\] Liczbowo (\(r = 10\) \(\mu\)m, \(l = 100\) m): \(n \approx 3{,}18\cdot 10^7\)/m\(^3\) i \(m \approx 0{,}133\) g/m\(^3.\)

O wielkości kropelek decydują warunki, w jakich mgła powstaje, i dla różnych rodzajów mgły średnice kropelek mieszczą się przeważnie w przedziale od 10 \(\mu\)m do 20 \(\mu\)m, ale czasem osiągają rozmiary sięgające 40 \(\mu\)m. Ważne dla kierowców: widoczność ograniczona do 100 m wymaga zmniejszenia prędkości poniżej 80 km/h (przy 50 m poniżej 50 km/h). W niektórych krajach znaki na poboczu autostrad wskazują dopuszczalne prędkości w zależności od widoczności – liczby widzianych przez kierowcę znaczników wzdłuż brzegu pasa ruchu.

Zadanie F 1106

Soczewka skupiająca tworzy rzeczywisty obraz przedmiotu. Poprzeczne rozmiary obrazu są \(p\) razy większe od rozmiarów przedmiotu. Ile wynosi powiększenie podłużne obrazu? Po obu stronach soczewki znajduje się ten sam ośrodek (powietrze).

Rozwiązanie

Niech punkt w odległości \(x\) daje ostry obraz w odległości \(y\) od soczewki. Punkty przedmiotu znajdujące się nieznacznie bliżej lub nieznacznie dalej niż \(x\) są także odwzorowywane ,,wystarczająco ostro” na obrazie. Załóżmy, że punkt w odległości \(x'\ne x\) daje jeszcze wystarczająco ostry obraz odległy o \(y'\) od soczewki. Wielkość \[q = \left|\frac{y'-y}{x'-x}\right|\] to poszukiwane powiększenie podłużne. Wielkości \((x, y)\) i \((x', y')\) spełniają równanie soczewki o ogniskowej \(f\): \[\begin{aligned} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} & = & \frac{1}{f}, \\ \frac{1}{x'} + \frac{1}{y'} & = & \frac{1}{f}. \end{aligned}\] Odejmijmy oba równania stronami: \[\frac{x'-x}{xx'} + \frac{y' - y}{yy'} = 0.\] Otrzymujemy: \[q = \left|\frac{y'-y}{x'-x}\right| = \frac{y'y}{x'x} \approx p^2.\]

Ostatnia, przybliżona równość wynika z faktu, że \(p = y/x\) i dla \(x'\) bliskich \(x\) stosunki \(y'/x'\) i \(y/x\) są w dobrym przybliżeniu równe. Jest tak, gdy \(|x'-x| \ll f\) oraz \({|x'-x| \ll x -f}.\)