Autor jest przewodniczącym Jury Konkursu
12 września 2024 roku, podczas odbywającego się we Wrocławiu 9. Kongresu Młodych Matematyków Polskich, miał miejsce finał 46. Konkursu Uczniowskich Prac z Matematyki im. Pawła Domańskiego. Na tegoroczny Konkurs wpłynęło 12 prac, z których 5 dostało się do finału. Po wysłuchaniu finałowych prezentacji i dyskusji Jury postanowiło nagrodzić wszystkie prace finałowe.
Złote medale i nagrody w wysokości po 1600 złotych otrzymali:
Antoni Łuczak, uczeń XIV LO im. Stanisława Staszica w Warszawie, autor pracy O Krzywych Apoloniusza w Trójkącie, napisanej pod opieką Dominika Burka,
Miłosz Płatek, uczeń V LO im. Augusta Witkowskiego w Krakowie, autor pracy N_aG_eL i okręgi z nimi związane, napisanej pod opieką Dominika Burka.
Brązowe medale i nagrody w wysokości po 800 złotych otrzymali:
Kazimierz Chomicz, uczeń I LO im. Bolesława Chrobrego w Piotrkowie Trybunalskim, autor pracy Dowód i zastosowania własności hiperboli prostokątnych, napisanej pod opieką Pawła Kwiatkowskiego,
Anna Koziara, uczennica XIV LO im. Stanisława Staszica w Warszawie, autorka pracy O pewnym zastosowaniu punktów izogonalnie sprzężonych w czworościanie, napisanej pod opieką Dominika Burka,
Adam Mariusz Lubiński, uczeń II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Gorzowie Wielkopolskim, autor pracy O weryfikacji tautologii logicznych przy użyciu przekształceń algebraicznych.
Kazimierz Chomicz przedstawił nowe, prostsze i elegantsze od dotychczas znanych, dowody kilku twierdzeń dotyczących hiperboli prostokątnych (o prostopadłych asymptotach) przechodzących przez wierzchołki ustalonego trójkąta \(ABC.\) Jedno z nich mówi, że jeśli \(\mathcal H\) jest taką hiperbolą oraz \(P\in\mathcal H,\) to środek symetrii hiperboli \(\mathcal H\) oraz rzuty prostokątne punktu \(P\) na proste zawierające boki trójkąta \(ABC\) leżą na jednym okręgu. Inne mówi, że wierzchołki trójkąta \(ABC,\) jego ortocentrum, środek okręgu opisanego i punkt Nagela leżą na jednej hiperboli prostokątnej, której środek symetrii leży zarówno na okręgu wpisanym w ten trójkąt, jak i na jego okręgu dziewięciu punktów. Podobnych, równie ciekawych wyników jest w pracy więcej.
Anna Koziara w swojej pracy dowodzi, że dla czworościanów równościennych (mających ściany o równych polach) nie zachodzi trójwymiarowy odpowiednik twierdzenia o prostej Simpsona. Dokładniej, jeśli \(P\notin\{A,B,C,D\}\) jest punktem leżącym na sferze opisanej na czworościanie równościennym \(ABCD,\) to rzuty prostokątne punktu \(P\) na płaszczyzny zawierające ściany czworościanu nie leżą na jednej płaszczyźnie. Autorka pokazała w tym celu, że rzuty punktu \(P\) niebędącego wierzchołkiem czworościanu \(ABCD\) na jego ściany leżą na jednej płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy sprzężenie izogonalne \(P^*\) punktu \(P\) względem czworościanu \(ABCD\) jest punktem w nieskończoności. Jeśli zaś \(ABCD\) jest czworościanem równościennym, to dla każdego punktu \(P\notin\{A,B,C,D\}\) leżącego na sferze opisanej na czworościanie \(ABCD\) jego sprzężenie izogonalne \(P^*\) również leży na tej sferze, a więc nie jest punktem w nieskończoności.
Adam Lubiński pokazał, jak używając wielomianów wielu zmiennych, można badać, czy dane wyrażenie w rachunku zdań jest tautologią. Załóżmy, że dane jest wyrażenie, w którym zmienne zdaniowe są połączone spójnikami logicznymi, np. \({((p\Rightarrow q)\wedge\neg q)\Rightarrow\neg p}.\) Czy jest ono tautologią? Czy opisane przez nie zdanie ma wartość logiczną prawda dla każdego przypisania wartości logicznych zmiennym zdaniowym w nim występującym? Autor przedstawił pewien sposób przypisania każdemu wyrażeniu rachunku zdań, w którym występuje \(k\) zmiennych zdaniowych, wielomianu \(k\) zmiennych. Okazuje się, że badane wyrażenie jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu wielomian można uprościć do wielomianu tożsamościowo równego \(1,\) wykorzystując algebraiczne operacje na wielomianach i utożsamienia \(x^2=x\) dla każdej zmiennej \(x.\)
Antoni Łuczak badał miejsca geometryczne takich punktów \(P,\) że \(\measuredangle APB=\measuredangle CPD,\) gdzie \(A,B,C,D\) to ustalone punkty płaszczyzny, zaś wszystkie rozważane kąty są skierowanymi kątami między prostymi (a nie półprostymi). Gdy \(A,B=C\) i \(D\) są różne i współliniowe, wówczas uzyskany zbiór jest sumą prostej i okręgu Apoloniusza dla punktów \(B\) i \(D.\) Autor badał przypadek, gdy wszystkie cztery punkty są parami różne, punkty \(B,D\) i \(C\) leżą (w tej kolejności) na jednej prostej, zaś punkt \(A\) poza nią. Wówczas możliwe położenia punktu \(P\) tworzą krzywą algebraiczną stopnia \(3.\) Autor udowodnił cały szereg własności takich krzywych, wykorzystując szeroki wachlarz narzędzi geometrycznych, algebraicznych i analitycznych.
Miłosz Płatek rozważał trójkąt \(ABC\) i szóstki punktów, po dwa leżące na każdej z prostych zawierających boki trójkąta, i badał, kiedy cała szóstka leży na jednym okręgu. Pochodzenie rozważanych szóstek punktów było różne i obejmowało zarówno przypadki znane w literaturze, jak i nowe. Przykład: niech \(P\) będzie punktem wewnątrz trójkąta. Dla każdego boku rozważamy punkty jego przecięcia z okręgiem przechodzącym przez \(P\) i stycznym do pozostałych dwóch boków. Otrzymamy sześć punktów leżących na jednym okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy \(P\) jest punktem Gergonne’a lub punktem Nagela rozważanego trójkąta.
Prace finalistów można znaleźć na stronie deltami.edu.pl/konkurs-prac-uczniowskich/lista-laureatow/.