46. Konkurs Uczniowskich Prac z Matematyki im. Pawła Domańskiego

12 września 2024 roku, podczas odbywającego się we Wrocławiu 9. Kongresu Młodych Matematyków Polskich, miał miejsce finał 46. Konkursu Uczniowskich Prac z Matematyki im. Pawła Domańskiego. Na tegoroczny Konkurs wpłynęło 12 prac, z których 5 dostało się do finału. Po wysłuchaniu finałowych prezentacji i dyskusji Jury postanowiło nagrodzić wszystkie prace finałowe.

Złote medale i nagrody w wysokości po 1600 złotych otrzymali:

• Antoni Łuczak, uczeń XIV LO im. Stanisława Staszica w Warszawie, autor pracy O Krzywych Apoloniusza w Trójkącie, napisanej pod opieką Dominika Burka,

• Miłosz Płatek, uczeń V LO im. Augusta Witkowskiego w Krakowie, autor pracy N_aG_eL i okręgi z nimi związane, napisanej pod opieką Dominika Burka.

Brązowe medale i nagrody w wysokości po 800 złotych otrzymali:

• Kazimierz Chomicz, uczeń I LO im. Bolesława Chrobrego w Piotrkowie Trybunalskim, autor pracy Dowód i zastosowania własności hiperboli prostokątnych, napisanej pod opieką Pawła Kwiatkowskiego,

• Anna Koziara, uczennica XIV LO im. Stanisława Staszica w Warszawie, autorka pracy O pewnym zastosowaniu punktów izogonalnie sprzężonych w czworościanie, napisanej pod opieką Dominika Burka,

• Adam Mariusz Lubiński, uczeń II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Gorzowie Wielkopolskim, autor pracy O weryfikacji tautologii logicznych przy użyciu przekształceń algebraicznych.

Kazimierz Chomicz przedstawił nowe, prostsze i elegantsze od dotychczas znanych, dowody kilku twierdzeń dotyczących hiperboli prostokątnych (o prostopadłych asymptotach) przechodzących przez wierzchołki ustalonego trójkąta $ABC.$ Jedno z nich mówi, że jeśli $\mathcal{H}$ jest taką hiperbolą oraz $P\in \mathcal{H},$ to środek symetrii hiperboli $\mathcal{H}$ oraz rzuty prostokątne punktu $P$ na proste zawierające boki trójkąta $ABC$ leżą na jednym okręgu. Inne mówi, że wierzchołki trójkąta $ABC,$ jego ortocentrum, środek okręgu opisanego i punkt Nagela leżą na jednej hiperboli prostokątnej, której środek symetrii leży zarówno na okręgu wpisanym w ten trójkąt, jak i na jego okręgu dziewięciu punktów. Podobnych, równie ciekawych wyników jest w pracy więcej.

Anna Koziara w swojej pracy dowodzi, że dla czworościanów równościennych (mających ściany o równych polach) nie zachodzi trójwymiarowy odpowiednik twierdzenia o prostej Simpsona. Dokładniej, jeśli $P\notin \{A,B,C,D\}$ jest punktem leżącym na sferze opisanej na czworościanie równościennym $ABCD,$ to rzuty prostokątne punktu $P$ na płaszczyzny zawierające ściany czworościanu nie leżą na jednej płaszczyźnie. Autorka pokazała w tym celu, że rzuty punktu $P$ niebędącego wierzchołkiem czworościanu $ABCD$ na jego ściany leżą na jednej płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy sprzężenie izogonalne $P^{\ast }$ punktu $P$ względem czworościanu $ABCD$ jest punktem w nieskończoności. Jeśli zaś $ABCD$ jest czworościanem równościennym, to dla każdego punktu $P\notin \{A,B,C,D\}$ leżącego na sferze opisanej na czworościanie $ABCD$ jego sprzężenie izogonalne $P^{\ast }$ również leży na tej sferze, a więc nie jest punktem w nieskończoności.

Adam Lubiński pokazał, jak używając wielomianów wielu zmiennych, można badać, czy dane wyrażenie w rachunku zdań jest tautologią. Załóżmy, że dane jest wyrażenie, w którym zmienne zdaniowe są połączone spójnikami logicznymi, np. $((p\Rightarrow q)\wedge \mathrm{\neg }q)\Rightarrow \mathrm{\neg }p.$ Czy jest ono tautologią? Czy opisane przez nie zdanie ma wartość logiczną prawda dla każdego przypisania wartości logicznych zmiennym zdaniowym w nim występującym? Autor przedstawił pewien sposób przypisania każdemu wyrażeniu rachunku zdań, w którym występuje $k$ zmiennych zdaniowych, wielomianu $k$ zmiennych. Okazuje się, że badane wyrażenie jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu wielomian można uprościć do wielomianu tożsamościowo równego $1,$ wykorzystując algebraiczne operacje na wielomianach i utożsamienia $x^2=x$ dla każdej zmiennej $x.$

Antoni Łuczak badał miejsca geometryczne takich punktów $P,$ że $\measuredangle APB=\measuredangle CPD,$ gdzie $A,B,C,D$ to ustalone punkty płaszczyzny, zaś wszystkie rozważane kąty są skierowanymi kątami między prostymi (a nie półprostymi). Gdy $A,B=C$ i $D$ są różne i współliniowe, wówczas uzyskany zbiór jest sumą prostej i okręgu Apoloniusza dla punktów $B$ i $D.$ Autor badał przypadek, gdy wszystkie cztery punkty są parami różne, punkty $B,D$ i $C$ leżą (w tej kolejności) na jednej prostej, zaś punkt $A$ poza nią. Wówczas możliwe położenia punktu $P$ tworzą krzywą algebraiczną stopnia $3.$ Autor udowodnił cały szereg własności takich krzywych, wykorzystując szeroki wachlarz narzędzi geometrycznych, algebraicznych i analitycznych.

Miłosz Płatek rozważał trójkąt $ABC$ i szóstki punktów, po dwa leżące na każdej z prostych zawierających boki trójkąta, i badał, kiedy cała szóstka leży na jednym okręgu. Pochodzenie rozważanych szóstek punktów było różne i obejmowało zarówno przypadki znane w literaturze, jak i nowe. Przykład: niech $P$ będzie punktem wewnątrz trójkąta. Dla każdego boku rozważamy punkty jego przecięcia z okręgiem przechodzącym przez $P$ i stycznym do pozostałych dwóch boków. Otrzymamy sześć punktów leżących na jednym okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy $P$ jest punktem Gergonne’a lub punktem Nagela rozważanego trójkąta.

Prace finalistów można znaleźć na stronie deltami.edu.pl/konkurs-prac-uczniowskich/lista-laureatow/.