Klub 44

Każdy element $x\in M$ ma w zbiorze $M$ dokładnie jeden element odwrotny (mod $p$), który będziemy oznaczać $x^{-1}$; tj. taki, że $x{x}^{-1}\equiv 1$ (mod $p$). Dany w zadaniu warunek przepisujemy jako równanie $$\begin{array}{}\text{(1)}& ff(x)=x^{-1}\text{dla wszystkich}x\in M\end{array}$$ (notacja ,,oszczędna”: $f\circ f=ff$). Gdy funkcja $f$ spełnia równanie (1), wówczas $ffff(x)=x,$ skąd wniosek, że $f$ jest bijekcją zbioru $M$ na $M$ – czyli jest permutacją zbioru $M$ – który wobec tego rozpada się na rozłączne cykle tej permutacji. Skoro $ffff$ jest identycznością, długość cyklu może wynosić jedynie 1, 2 lub 4.

Gdy $x$ wchodzi do cyklu długości 1 lub 2, to $ff(x)=x,$ więc zgodnie z (1) $x=x^{-1},$ co oznacza, że $x=1$ lub $x=p-1.$ Działanie funkcji $f$ w obrębie zbioru $\{1,p-1\}$ może mieć jedną z dwóch postaci: $$\begin{array}{}\text{(2)}& [1\mapsto 1,p-1\mapsto p-1]\text{lub}[1\mapsto p-1\mapsto 1].\end{array}$$ Pozostała część zbioru $M,$ czyli zbiór $L=\{2,\dots ,p-2\}$ musi być już sumą cykli długości 4. Tak więc $p\equiv 3$ (mod 4); dla $p\equiv 1$ (mod 4) nie istnieje ani jedna funkcja $f$ o badanej własności.

Dalej przyjmijmy, że $p=4n+3$ (dla pewnego $n\in \mathbf{N}$); więc $L$ to suma $n$ cykli długości 4.

Z każdej pary $\{x,x^{-1}\}$ wybierzmy jeden element – np. mniejszą liczbę. Wybrane elementy utworzą zbiór (mocy $2n$), który nazwiemy $K$ (przykładowo, dla $p=11$ zbiór $K=\{2,3,5,7\}$). Każdy 4-cykl zawiera dwa elementy $a,b\in K$ oraz ich odwrotności; przy tym działanie $f$ w takiej czwórce ma jedną z dwóch postaci: $$\begin{array}{}\text{(3)}& [a\mapsto b\mapsto a^{-1}\mapsto b^{-1}\mapsto a]\text{lub}[a\mapsto b^{-1}\mapsto a^{-1}\mapsto b\mapsto a].\end{array}$$ Możliwe rozbicia zbioru $L$ na $n$ dopuszczalnych czwórek odpowiadają rozbiciom $K$ na $n$ par $\{a,b\}.$ Jest $(2n-1)!!$ takich rozbić. [Uzasadnienie: bierzemy najmniejszą liczbę $a\in K$ i łączymy ją w parę z dowolnym innym elementem $b\in K$ ($2n-1$ możliwości); bierzemy najmniejszą liczbę różną od $a,$ $b$ i łączymy ją w parę z dowolnym niewykorzystanym elementem ($2n-3$ możliwości) itd.]. Uzyskaną wartość mnożymy przez $2^n$ (by uwzględnić swobodę wyboru jednej z opcji (3) w każdej z $n$ czwórek). To daje liczbę dopuszczalnych permutacji w obrębie zbioru $L.$ Jeszcze jedno pomnożenie przez 2 (uwzględniające wybór (2) w zbiorze $\{1,p-1\}$) daje ostateczny wynik: liczba funkcji $f,$ o jakie pyta zadanie, wynosi 0, gdy $p$ ma postać $4k+1,$ oraz $2^{n+1}(2n-1)!!,$ gdy $p=4n+3.$

886. Gdy trójkąt $ABC$ jest ostrokątny, środek $O$ okręgu opisanego leży wewnątrz niego. Odległości punktu $O$ od boków $a,b,c$ oznaczmy przez $d_a,$ $d_b,$ $d_c.$ W trójkącie $OBC$ (równoramiennym) $d_a=R\cos \alpha$ jest wysokością, a jego pole wynosi $\frac{1}{2}a{d}_a.$ Analogicznie wyrażają się pola trójkątów $OCA$ i $OAB$; suma tych trzech pól to pole trójkąta $ABC,$ wyrażające się też jako iloczyn $\frac{1}{2}(a+b+c)r$  ($R$ i $r$ to promienie okręgów opisanego i wpisanego). Zatem $$\frac{1}{2}aR\cos \alpha +\frac{1}{2}bR\cos \beta +\frac{1}{2}cR\cos \gamma =\frac{1}{2}(a+b+c)r,$$czyli $${\displaystyle \frac{a\cos \alpha +b\cos \beta +c\cos \gamma }{a+b+c}=\frac{r}{R}.}$$ Ten wzór jest nadal słuszny, gdy trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny; np. $\alpha >{90}^{\circ }.$ Wtedy $\cos \alpha <0,$ odległość $d_a$ równa jest nie $R\cos \alpha ,$ lecz $-R\cos \alpha$; ale też trójkąt $OBC$ leży na zewnątrz trójkąta $ABC$ i jego pole należy odjąć od sumy pól trójkątów $OCA,$ $OAB,$ obliczając pole $ABC.$ Minusy się redukują, wynik $r/R$ pozostaje w mocy. [Można było od razu na starcie określić $d_a$ jako odległość opatrzoną znakiem (signed distance), wtedy rozważanie przypadków staje się zbędne].

Potencjał w środku odosobnionego pierścienia jest równy ${\phi }_O=\sum _{i}k{q}_i/a=kQ/a,$ stąd ładunek pierścienia $Q=a{\phi }_O/k.$ Potencjał uziemionej sfery oraz w jej wnętrzu wynosi zero i pochodzi od naładowanego pierścienia oraz ładunków indukowanych na sferze. Ładunki indukowane nie są rozłożone równomiernie, dlatego najłatwiej jest wyrazić potencjał w środku sfery: $$0=kQ/\sqrt{a^2+b^2}+k{Q}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}/b.$$ Szukany ładunek indukowany dany jest wzorem: $$Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}=-Qb/k\sqrt{a^2+b^2}=-4\pi {\epsilon }_{0}ab{\phi }_O/\sqrt{a^2+b^2.}$$

Będziemy zakładać, że ładunek $q$ jest dodatni, a pole magnetyczne skierowane w górę. Wprowadźmy układ współrzędnych, którego początek umieszczamy w punkcie zawieszenia, oś $z$ skierowana jest pionowo w górę, a osie $x$ i $y$ leżą w płaszczyźnie poziomej. Równanie ruchu kulki ma postać: $$m\mathit{a}=m\mathit{g}+\mathit{T}+{\mathit{F}}_L,$$ gdzie $\mathit{a}=d^2\mathit{r}/d{t}^2,$ $\mathit{r}=(x,y,z)$ jest wektorem położenia kulki, $\left|\mathit{r}\right|=l$ jest długością wahadła, siła naprężenia nici $\mathit{T}=-T\mathit{r}/l.$ Dla małych drgań $T\cong mg.$ W tym przybliżeniu kulka porusza się praktycznie w płaszczyźnie poziomej, a składowe siły Lorentza wynoszą (rys. 4): $$F_{Lx}=F_L\sin \beta =q{v}_y{B}_0,F_{Ly}=-F_L\cos \beta =-q{v}_x{B}_0,F_{Lz}=0.$$ Równanie ruchu w rzucie na osie $x,y$ ma postać: $$\begin{array}{}\text{(1)}& m{a}_x=-mgx/l+q{v}_y{B}_0,m{a}_y=-mgy/l-q{v}_x{B}_0.\end{array}$$ W nieobecności pola magnetycznego wahadło wykonuje drgania w jednej płaszczyźnie z częstością ${\omega }_0=\sqrt{g/l}.$ Gdy pole $B_0\ne 0,$ siła Lorentza zakrzywia tor kulki, ale ponieważ nie wykonuje pracy, maksymalne wychylenie nici z położenia równowagi pozostaje stałe. Z zasady zachowania energii $$\frac{m{(v_{max})}^2}{2=mgl(1-\cos {\alpha }_{max})=2mgl{\sin }^2\left(\frac{{\alpha }_{max}}{2}\right)=\frac{mgl{\left({\alpha }_{max}\right)}^2}{2},}$$ $$v_{max}={\alpha }_{max}\sqrt{gl.}$$ Ponieważ maksymalna siła Lorentza jest mała w porównaniu z maksymalną siłą zawracającą ${F_Z}_{max},$ $$\frac{{F_L}_{max}}{{F_Z}_{max}}=\frac{q{B}_0{v}_{max}}{mg{\alpha }_{max}}=\frac{q{B}_0}{m}\sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{{\omega }_B}{{\omega }_0}\ll 1,$$ gdzie ${\omega }_B=q{B}_0/m$ jest częstością ruchu obrotowego cząstki naładowanej, poruszającej się po okręgu w jednorodnym polu magnetycznym. W czasie półokresu drgań pole magnetyczne w niewielkim stopniu zakrzywia trajektorię kulki.

Korzystając z wprowadzonych oznaczeń, możemy przepisać równania $\text{(1)}$ w postaci: $$\begin{array}{}\text{(2)}& d^{2}x/d{t}^2=-{{\omega }_0}^{2}x+{\omega }_{B}dy/dt,d^{2}y/d{t}^2=-{{\omega }_0}^{2}y-{\omega }_{B}dx/dt.\end{array}$$ Równania $\text{(2)}$ są równaniami liniowymi, obowiązuje więc zasada superpozycji – dowolna kombinacja liniowa dwóch rozwiązań tych równań jest też rozwiązaniem.

Gdy nie ma pola magnetycznego, równania $\text{(2)}$ są niezwiązane. Dwa rozwiązania opisujące drgania w płaszczyznach $xz$ i $yz$ mają postać: $$\begin{array}{}\text{(3)}& x_1=A\cos \omega t,y_1=0\text{ oraz }{x}_2=0,y_2=A\sin \omega t,\text{ gdzie }\omega ={\omega }_0.\end{array}$$ Dodając i odejmując stronami te rozwiązania, otrzymujemy rozwiązania opisujące ruchy wahadła stożkowego w kierunkach przeciwnym i zgodnym ze wskazówkami zegara: $$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}& x_3=x_1+x_2=A\cos \omega t,y_3=y_1+y_2=A\sin \omega t;\\ & x_4=A\cos \omega t,y_4=-A\sin \omega t\end{array}\end{array}$$ i odwrotnie $x_1=(x_3+x_4)/2.$

W przypadku $B_0\ne 0$ rozwiązania $\text{(3)}$ nie spełniają już równań $\text{(2)}$, natomiast rozwiązania $\text{(4)}$ spełniają je, gdy ${\omega }^2={{\omega }_0}^2-{\omega }_B\omega ,$ stąd $$\omega =-{\omega }_B/2\pm \sqrt{{{\omega }_0}^2+{{\omega }_B}^2/4}\cong -{\omega }_B/2\pm {\omega }_0.$$ Zgodnie z zasadą superpozycji równania $\text{(2)}$ spełniają również rozwiązania: $$\begin{array}{rl}x& =\frac{(x_3+x_4)}{2}=A[\cos ({\omega }_0+\frac{{\omega }_B}{2})+\cos ({\omega }_0-\frac{{\omega }_B}{2})]\\ & =A\cos {\omega }_0\cos \left(\frac{{\omega }_B}{2}\right),\\ y& =\frac{(y_3+y_4)}{2}=A\sin {\omega }_0\sin \left(\frac{{\omega }_B}{2}\right).\end{array}$$ Równania opisują drgania wahadła z częstością ${\omega }_0$ w płaszczyźnie, która sama obraca się z częstością ${\omega }_B/2.$ Tor kulki w płaszczyźnie $xy$ ilustruje rys. 5.

Szukany czas obrotu płaszczyzny wahań o kąt 2$\pi$ wynosi: $$t=4\pi /{\omega }_B=4\pi m/\left|q{B}_0\right|.$$

Rys. 4

Rys. 5