Klub 44

Każdy element \({x\in{M}}\) ma w zbiorze \(M\) dokładnie jeden element odwrotny (mod \(p\)), który będziemy oznaczać \(x^{-1}\); tj. taki, że \({xx^{-1}\equiv1}\) (mod \(p\)). Dany w zadaniu warunek przepisujemy jako równanie \[ff(x)=x^{-1}\ \ \ \ \hbox{dla wszystkich}\ x\in{M} \tag{1}\] (notacja ,,oszczędna”: \({f\circ{f}=ff}\)). Gdy funkcja \(f\) spełnia równanie (1), wówczas \({ffff(x)=x},\) skąd wniosek, że \(f\) jest bijekcją zbioru \(M\) na \(M\) – czyli jest permutacją zbioru \(M\) – który wobec tego rozpada się na rozłączne cykle tej permutacji. Skoro \(ffff\) jest identycznością, długość cyklu może wynosić jedynie 1, 2 lub 4.

Gdy \(x\) wchodzi do cyklu długości 1 lub 2, to \({ff(x)=x},\) więc zgodnie z (1) \({x=x^{-1}},\) co oznacza, że \({x=1}\) lub \({x=p{-}1}.\) Działanie funkcji \(f\) w obrębie zbioru \(\{1,p{-}1\}\) może mieć jedną z dwóch postaci: \[[\,1\mapsto1,\;p{-}1\mapsto p{-}1\,] \ \ \ \hbox{lub}\ \ \ [\,1\mapsto p{-}1\mapsto1\,]. \tag{2}\] Pozostała część zbioru \(M,\) czyli zbiór \({L=\{2,\ldots,p{-}2\}}\) musi być już sumą cykli długości 4. Tak więc \({p\equiv3}\) (mod 4); dla \({p\equiv1}\) (mod 4) nie istnieje ani jedna funkcja \(f\) o badanej własności.

Dalej przyjmijmy, że \({p=4n+3}\) (dla pewnego \({n\in{\bf N}}\)); więc \(L\) to suma \(n\) cykli długości 4.

Z każdej pary \(\{x,x^{-1}\}\) wybierzmy jeden element – np. mniejszą liczbę. Wybrane elementy utworzą zbiór (mocy \(2n\)), który nazwiemy \(K\) (przykładowo, dla \({p=11}\) zbiór \({K=\{2,3,5,7\}}\)). Każdy 4-cykl zawiera dwa elementy \({a,b\in{K}}\) oraz ich odwrotności; przy tym działanie \(f\) w takiej czwórce ma jedną z dwóch postaci: \[ [\,a\mapsto{b}\mapsto{a^{-1}}\mapsto{b^{-1}}\mapsto{a}\,] \ \hbox{lub}\ [\,a\mapsto{b^{-1}}\mapsto{a^{-1}}\mapsto{b}\mapsto{a}\,]. \tag{3}\] Możliwe rozbicia zbioru \(L\) na \(n\) dopuszczalnych czwórek odpowiadają rozbiciom \(K\) na \(n\) par \(\{a,b\}.\) Jest \({(2n-1)!!}\) takich rozbić. [Uzasadnienie: bierzemy najmniejszą liczbę \({a\in{K}}\) i łączymy ją w parę z dowolnym innym elementem \({b\in{K}}\) (\({2n-1}\) możliwości); bierzemy najmniejszą liczbę różną od \(a,\) \(b\) i łączymy ją w parę z dowolnym niewykorzystanym elementem (\({2n-3}\) możliwości) itd.]. Uzyskaną wartość mnożymy przez \(2^n\) (by uwzględnić swobodę wyboru jednej z opcji (3) w każdej z \(n\) czwórek). To daje liczbę dopuszczalnych permutacji w obrębie zbioru \(L.\) Jeszcze jedno pomnożenie przez 2 (uwzględniające wybór (2) w zbiorze \(\{1,p{-}1\}\)) daje ostateczny wynik: liczba funkcji \(f,\) o jakie pyta zadanie, wynosi 0, gdy \(p\) ma postać \({4k+1},\) oraz \({2^{n+1}(2n-1)!!},\) gdy \({p=4n+3}.\)

886. Gdy trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny, środek \(O\) okręgu opisanego leży wewnątrz niego. Odległości punktu \(O\) od boków \(a,b,c\) oznaczmy przez \(d_a,\) \(d_b,\) \(d_c.\) W trójkącie \(OBC\) (równoramiennym) \({d_a=R\cos\alpha}\) jest wysokością, a jego pole wynosi \({1\over 2}ad_a.\) Analogicznie wyrażają się pola trójkątów \(OCA\) i \(OAB\); suma tych trzech pól to pole trójkąta \(ABC,\) wyrażające się też jako iloczyn \({{1\over 2}(a+b+c)r}\)  (\(R\) i \(r\) to promienie okręgów opisanego i wpisanego). Zatem \[\textstyle {1\over 2}aR\cos\alpha+{1\over 2}bR\cos\beta+{1\over 2}cR\cos\gamma={1\over 2}(a+b+c)r,\]czyli \[\displaystyle {a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma\over a+b+c}={r\over R}\,.\] Ten wzór jest nadal słuszny, gdy trójkąt \(ABC\) jest rozwartokątny; np. \({\alpha>90^\circ}.\) Wtedy \({\cos \alpha<0},\) odległość \(d_a\) równa jest nie \(R\cos \alpha,\) lecz \(-R\cos \alpha\); ale też trójkąt \(OBC\) leży na zewnątrz trójkąta \(ABC\) i jego pole należy odjąć od sumy pól trójkątów \(OCA,\) \(OAB,\) obliczając pole \(ABC.\) Minusy się redukują, wynik \({{r}/{R}}\) pozostaje w mocy. [Można było od razu na starcie określić \(d_a\) jako odległość opatrzoną znakiem (signed distance), wtedy rozważanie przypadków staje się zbędne].

Potencjał w środku odosobnionego pierścienia jest równy \(\varphi _O=\sum_i{{kq_i}/{a}}={kQ/a},\) stąd ładunek pierścienia \(Q= {a{\varphi }_O}/{k.}\) Potencjał uziemionej sfery oraz w jej wnętrzu wynosi zero i pochodzi od naładowanego pierścienia oraz ładunków indukowanych na sferze. Ładunki indukowane nie są rozłożone równomiernie, dlatego najłatwiej jest wyrazić potencjał w środku sfery: \[0=k{Q}/{\sqrt{a^2+b^2}}+k{Q_{\rm ind}}/{b.}\] Szukany ładunek indukowany dany jest wzorem: \[Q_{\rm ind}=-Q{b}/{k\sqrt{a^2+b^2}}=-4\pi {\varepsilon }_0ab{{\varphi }_O}/{\sqrt{a^2+b^2.}}\]

Będziemy zakładać, że ładunek \(q\) jest dodatni, a pole magnetyczne skierowane w górę. Wprowadźmy układ współrzędnych, którego początek umieszczamy w punkcie zawieszenia, oś \(z\) skierowana jest pionowo w górę, a osie \(x\) i \(y\) leżą w płaszczyźnie poziomej. Równanie ruchu kulki ma postać: \[m\boldsymbol{a}=m\boldsymbol{g}+\boldsymbol{T}+{\boldsymbol{F}}_L,\] gdzie \(\boldsymbol{a}={d^2\boldsymbol{r}}/{dt^2},\) \(\boldsymbol{r}=(x,y,z)\) jest wektorem położenia kulki, \(\left|\boldsymbol{r}\right|=l\) jest długością wahadła, siła naprężenia nici \(\boldsymbol{T}=-T{\boldsymbol{r}}/{l}.\) Dla małych drgań \(T\cong mg.\) W tym przybliżeniu kulka porusza się praktycznie w płaszczyźnie poziomej, a składowe siły Lorentza wynoszą (rys. 4): \[F_{Lx}=F_L\sin \beta =qv_yB_0, F_{Ly}=-F_L\cos \beta =-qv_xB_0, F_{Lz}=0.\] Równanie ruchu w rzucie na osie \(x,y\) ma postać: \[\tag{1} \label{GrindEQ__1_} ma_x=-mg{x}/{l}+qv_yB_0, ma_y=-mg{y}/{l}-qv_xB_0.\] W nieobecności pola magnetycznego wahadło wykonuje drgania w jednej płaszczyźnie z częstością \({\omega }_0=\sqrt{{g}/{l}}.\) Gdy pole \(B_0\neq 0,\) siła Lorentza zakrzywia tor kulki, ale ponieważ nie wykonuje pracy, maksymalne wychylenie nici z położenia równowagi pozostaje stałe. Z zasady zachowania energii \[m{(v_{\max})}^2\over 2=mgl\left(1-\cos \alpha _{\max}\right)=2mgl\sin^2\left({{\alpha }_{\max}\over 2}\right)={mgl{\left({\alpha }_{\max}\right)}^2\over 2},\] \[v_{\max}={\alpha }_{\max}\sqrt{gl.}\] Ponieważ maksymalna siła Lorentza jest mała w porównaniu z maksymalną siłą zawracającą \({F_Z}_{\max},\) \[{{F_L}_{\max}\over{F_Z}_{\max}}={qB_0v_{\max}\over mg{\alpha }_{\max}}={qB_0\over m}\sqrt{{l\over g}}={{\omega }_B\over{\omega }_0}\ll 1,\] gdzie \({\omega }_B={qB_0}/{m}\) jest częstością ruchu obrotowego cząstki naładowanej, poruszającej się po okręgu w jednorodnym polu magnetycznym. W czasie półokresu drgań pole magnetyczne w niewielkim stopniu zakrzywia trajektorię kulki.

Korzystając z wprowadzonych oznaczeń, możemy przepisać równania \(\eqref{GrindEQ__1_}\) w postaci: \[\tag{2} \label{GrindEQ__2_} {d^2x}/{dt^2}=-{{\omega }_0}^2x+{\omega }_B{dy}/{dt}, \ \ \ {d^2y}/{dt^2}=-{{\omega }_0}^2y-{\omega }_B{dx}/{dt}.\] Równania \(\eqref{GrindEQ__2_}\) są równaniami liniowymi, obowiązuje więc zasada superpozycji – dowolna kombinacja liniowa dwóch rozwiązań tych równań jest też rozwiązaniem.

Gdy nie ma pola magnetycznego, równania \(\eqref{GrindEQ__2_}\) są niezwiązane. Dwa rozwiązania opisujące drgania w płaszczyznach \(xz\) i \(yz\) mają postać: \[\tag{3} \label{GrindEQ__3_}x_1=A\cos \omega t,\ y_1=0\text{ oraz }x_2=0,\ y_2=A\sin\omega t,\text{ gdzie }\omega ={\omega }_0.\] Dodając i odejmując stronami te rozwiązania, otrzymujemy rozwiązania opisujące ruchy wahadła stożkowego w kierunkach przeciwnym i zgodnym ze wskazówkami zegara: \[\tag{4} \label{GrindEQ__4_} \begin{aligned} & x_3=x_1+x_2=A\cos \omega t,\ y_3=y_1+y_2=A\sin \omega t;\\& x_4=A\cos \omega t,\ y_4=-A\sin\omega t \end{aligned}\] i odwrotnie \(x_1={\left(x_3+x_4\right)}/{2}.\)

W przypadku \(B_0\neq 0\) rozwiązania \(\eqref{GrindEQ__3_}\) nie spełniają już równań \(\eqref{GrindEQ__2_}\), natomiast rozwiązania \(\eqref{GrindEQ__4_}\) spełniają je, gdy \({\omega }^2={{\omega }_0}^2-{\omega }_B\omega ,\) stąd \[\omega =-{{\omega }_B}/{2}\pm \sqrt{{{\omega }_0}^2+{{{\omega }_B}^2}/{4}}\cong -{{\omega }_B}/{2}\pm {\omega }_0.\] Zgodnie z zasadą superpozycji równania \(\eqref{GrindEQ__2_}\) spełniają również rozwiązania: \[\begin{aligned} x&={\left(x_3+x_4\right)\over 2}=A\left[\cos \left({\omega }_0+{{\omega }_B\over 2}\right)+\cos \left({\omega }_0-{{\omega }_B\over 2}\right)\right]\\&=A\cos {\omega }_0\cos \left({{\omega }_B\over 2}\right),\\ y&={\left(y_3+y_4\right)\over 2}=A\sin {\omega }_0\sin \left({{\omega }_B\over 2}\right). \end{aligned}\] Równania opisują drgania wahadła z częstością \({\omega }_0\) w płaszczyźnie, która sama obraca się z częstością \({{\omega }_B}/{2}.\) Tor kulki w płaszczyźnie \(xy\ \) ilustruje rys. 5.

Szukany czas obrotu płaszczyzny wahań o kąt 2\(\pi\) wynosi: \[t={4\pi }/{{\omega }_B}={4\pi m}/{\left|qB_0\right|}.\]

Rys. 4

Rys. 5