Kąt Otwarty: 14 = 2·7

Kilka lat temu matematyka rekreacyjna trafiła pod zaśnieżone strzechy dzięki pewnej zabawnej własności liczby $2020$ – mianowicie pierwsza cyfra tej liczby określa liczbę wystąpień cyfry $0$ w jej zapisie dziesiętnym, druga cyfra – liczbę wystąpień cyfry $1,$ a trzecia i czwarta – liczby wystąpień cyfr $2$ i $3,$ odpowiednio . Liczby o wynikającej z tego opisu własności nazywamy autobiograficznymi. Oczywiście liczba liczb autobiograficznych jest skończona – są to liczby co najwyżej dziesięciocyfrowe. Istnieje dokładnie siedem liczb autobiograficznych, a największa z nich to $6210001000.$

Przyjrzymy się liczbom, które również w pewnym sensie same się opisują, ale metoda ich autodeskrypcji jest poniekąd subtelniejsza. Najpierw przypomnijmy sobie początkowe dziewięć liczb pierwszych: $$p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,p_5=11,p_6=13,p_7=17,p_8=19\text{ oraz }{p}_9=23.$$

Rozkład liczby $14$ na czynniki to $14=2\cdot 7.$ Zauważmy, że $2$ jest pierwszą , a  $7$  –  czwartą liczbą pierwszą. Zatem mamy $$14=2\cdot 7=p_1\cdot p_4.$$ Wśród liczb niezawierających cyfry $0$ są znane jeszcze trzy, których każda cyfra w zapisie dziesiętnym odpowiada pojedynczemu elementowi iloczynu w rozkładzie na czynniki pierwsze: $$\begin{array}{rl}154=& 2\cdot 11\cdot 7=p_1\cdot p_5\cdot p_4,\\ 1196=& 2\cdot 2\cdot 23\cdot 13=p_1\cdot p_1\cdot p_9\cdot p_6,\\ 279174=& 3\cdot 17\cdot 23\cdot 2\cdot 17\cdot 7=p_2\cdot p_7\cdot p_9\cdot p_1\cdot p_7\cdot p_4.\end{array}$$ W przeciwieństwie do klasycznych liczb autobiograficznych, tutaj nie mamy naturalnego ograniczenia górnego na rozmiar szukanych liczb – mnożąc przez siebie $n$ liczb pierwszych, można otrzymać liczbę $n$ -cyfrową. Czy zatem istnieje więcej liczb o rozpatrywanej własności? Czy istnieje ich nieskończenie wiele, czy może jest jeszcze chociaż jedna? Obecnie nie wiadomo – a szkoda, bo bardzo chciałbym to wiedzieć.