Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechnika Warszawska
Ilustracje zdobiące niniejszy artykuł to tzw. kaustyki Wignera oraz zbiory środka symetrii zamkniętej, gładkiej krzywej płaskiej. Od lat 70. XX wieku aż po dziś dzień obiekty te znajdują zastosowanie w rozmaitych dziedzinach, takich jak semiklasyczna fizyka kwantowa, teoria osobliwości czy geometria różniczkowa. Można je interpretować jako obwiednie (za moment wytłumaczymy, czym są) specjalnych rodzin prostych, co nadaje im nie tylko głębokie znaczenie geometryczne, lecz także wybitną wartość artystyczną, odzwierciedlającą piękno i harmonię matematyki.
Opiszmy najpierw pokrótce, czym jest wspomniana już obwiednia. Obwiednią rodziny krzywych nazywamy zbiór styczny do każdej z tych krzywych, którego każdy punkt stanowi punkt styczności do jednej z krzywych. Intuicyjnie można ją sobie wyobrazić tak, że każdy punkt obwiedni to punkt przecięcia dwóch „nieskończenie bliskich” krzywych z badanej rodziny. Na przykład, jeśli wyobrazimy sobie rodzinę okręgów o promieniu \(1\) i o środkach leżących na osi OX, obwiednią będą dwie proste: \(y=1\) oraz \(y=-1\) (rys. 1).
Rys. 1. Rodzina okręgów i ich obwiednia
Mając krzywą płaską \(\gamma,\) parę różnych punktów \(a,b\) leżących na tej krzywej nazywamy parą równoległą, jeśli styczne do tej krzywej w tych dwóch punktach są prostymi równoległymi (piszemy wtedy \(a\| b\)). Przykładowo, gdy \(\gamma\) jest okręgiem, to każda para punktów antypodycznych (czyli takich, które są końcami pewnej średnicy tego okręgu) jest parą równoległą.
Przystąpmy do definicji osobliwych zbiorów przytoczonych we wstępie artykułu. Ustalmy na początku krzywą płaską \(\gamma\) oraz liczbę rzeczywistą \(\lambda.\) Zbiorem afinicznie \(\lambda\) -równoodległym nazywamy zbiór \[\text{E}_{\lambda}(\gamma):=\{\lambda a+(1-\lambda )b\colon a,b\in\gamma, a\| b\}.\] Innymi słowy (w przypadku \(\lambda\in(0,1)\)), gdy mamy odcinek o końcach w parze równoległej, to punkt dzielący ten odcinek w stosunku \(\lambda\) należy do \(\text{E}_{\lambda}(\gamma).\) Kaustyką Wignera krzywej \(\gamma\) nazywamy zbiór \(\text{E}_{0{,}5}(\gamma).\) Początek rozważań nad kaustyką Wignera zawdzięczamy sir Michaelowi Berremu oraz Nándorowi Balázsowi [1], którzy badali fazowo-przestrzenną reprezentację Wignera stanów kwantowych. Zbiór \(\text{E}_{\lambda}(\gamma)\) można również reprezentować jako obwiednię rodziny swoich stycznych (rys. 2 (b)). Już za chwilkę zdefiniujemy ostatni zbiór, nazywany zbiorem środka symetrii, który po raz pierwszy, w trochę innych terminach geometrycznych, zdefiniował Stanisław Janeczko [3]. Afiniczną cięciwą krzywej \(\gamma\) nazywamy prostą przechodzącą przez parę równoległą krzywej \(\gamma.\) Zbiór środka symetrii jest obwiednią rodziny wszystkich cięciw afinicznych naszej początkowej krzywej (rys. 2 (f)); będziemy go oznaczać \(\text{CSS}(\gamma).\) Okazuje się, że zbiór środka symetrii krzywej \(\gamma\) jest również zbiorem wszystkich punktów osobliwych (najczęściej ostrzy) rodziny wszystkich zbiorów afinicznie \(\lambda\) -równoodległych krzywej \(\gamma\) (rys. 2 (c,d)).
Rys. 2. Osobliwe zbiory krzywej
\(\gamma\):
(a) Zbiór
\(\text{E}_{0{,}5}(\gamma)\); (b) Zbiór
\(\text{E}_{0{,}5}(\gamma)\)
jako obwiednia prostych; (c) Zbiory afinicznie
\(\lambda\)
-równoodległe krzywej
\(\gamma\); (d) Zbiory afinicznie
\(\lambda\)
-równoodległe krzywej
\(\gamma\)
oraz
\(\text{CSS}(\gamma)\); (e) Zbiór
\(\text{CSS}(\gamma)\); (f)
\(\text{CSS}(\gamma)\)
jako obwiednia cięciw afinicznych;
Zbiory omówione w niniejszym artykule charakteryzują się wieloma interesującymi własnościami geometrycznymi, których pełny opis wykracza poza ramy tego tekstu. Dziedziny nauki zajmujące się tymi strukturami dynamicznie się rozwijają, a na ich temat regularnie publikowane są nowe prace naukowe. Znaczna część wiedzy dotyczy lokalnych własności tych zbiorów w przestrzeniach \(n\) -wymiarowych. Natomiast w przypadku ich własności globalnych, takich jak liczba punktów osobliwych, obecny stan wiedzy pozwala na formułowanie precyzyjnych twierdzeń jedynie w odniesieniu do krzywych. Więcej na temat geometrycznych własności oraz literatury tego przedmiotu można przeczytać w [2].
Dzięki możliwości opisania rozważanych zbiorów za pomocą obwiedni rodziny prostych otwiera się przed nami przestrzeń do ich graficznej prezentacji. Autorzy niniejszego artykułu, wspólnie z Dominiką Sterczewską, wykorzystali oprogramowanie Mathematica, aby stworzyć artystyczne wizualizacje – różnorodne, niebanalne, otwarte na rozmaite interpretacje. Te niepowtarzalne i osobliwe obrazy stanowią wyjątkowe połączenie matematycznej precyzji i kreatywnego piękna. Refleksje o ich unikatowym charakterze można było usłyszeć wśród uczestników miniwystawy zorganizowanej z okazji obchodów XXV-lecia Wydziału Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (28.11.2024 r.), za co autorzy są bardzo wdzięczni Organizatorom tego wydarzenia. Szczegółowy opis tworzenia wizualizacji, wraz z przykładowym kodem w programie Mathematica, znajduje się w [2]. Na rysunkach powyżej prezentujemy wybrane wizualizacje. Mamy szczerą i serdeczną nadzieję, że te obrazy przypadną do gustu Czytelnikom Delty i zainspirują ich do zgłębiania piękna osobliwej geometrii różniczkowej. Być może niektórzy z Państwa skorzystają z przykładowego kodu napisanego w programie Mathematica, zamieszczonego w [2], i sami podejmą próbę stworzenia własnych, niezwykłych wizualizacji tych tajemniczych geometrycznych zbiorów, odkrywając jednocześnie magię, jaką jest matematyka.
Literatura
[1] M.V. Berry, N.L. Balazs, Evolution of Semiclassical Quantum States in Phase Space, J. Phys. A Math. Gen. 12 (1979), 625–642
[2] I. Danielewska, D. Poławski, D. Sterczewska, M. Zwierzyński, Artistic Aspects of the Wigner Caustic and the Centre Symmetry Set , arXiv:2409.04443
[3] S. Janeczko, Bifurcations of the Center of Symmetry, Geom. Dedicata 60 (1996), 9–16
