Magia rytmu

Afiliacja: Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechnika Warszawska

Paradiddle Nørgårda

Podręczniki do nauki gry na perkusji zawierają serie ćwiczeń z nutami podpisanymi literami \(\mathtt{P}\) i \(\mathtt{L}.\) Oznaczają one uderzenia odpowiednio prawą i lewą ręką. Są to tak zwane paradiddle – rutynowe ćwiczenia perkusisty stanowiące element codziennego treningu niezbędnego do osiągnięcia odpowiedniej sprawności technicznej.

Paradiddle

W rzeczywistości Per Nørgård wymyślił najpierw ciąg liczbowy: \(\definecolor{cyan}{rgb}{0.0, 0.678, 0.937}\color{cyan}0\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}1\color{black},\color{cyan}-1\color{black}, \textcolor{var(--primary-color)}2\color{black},\color{cyan}1\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}0\color{black},\color{cyan}-2\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}3\color{black},\color{cyan}-1\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}2\color{black},\color{cyan}0\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}1\color{black},\color{cyan}2\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}-1\color{black},\ldots,\) będący splotem dwóch ciągów, które są prostymi przekształceniami wyjściowego ciągu. Pierwszy powstaje przez inwersję , czyli zastąpienie wyrazów wyjściowego ciągu elementami do nich przeciwnymi: \(\color{cyan}0\color{black},\color{cyan}-1\color{black},\color{cyan}1\color{black},\color{cyan}-2\color{black},\color{cyan}-1\color{black},\color{cyan}0\color{black},\color{cyan}2\color{black},\color{cyan}-3\color{black},\ldots,\) drugi zaś powstaje w wyniku działania translacji , czyli przez dodanie \(1\) do każdej z pierwotnych liczb: \(\textcolor{var(--primary-color)}1\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}2\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}0\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}3\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}2\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}1\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}-1\color{black},\textcolor{var(--primary-color)}4\color{black},\ldots\) Kopie te przeplatają się naprzemiennie, tworząc oryginalny ciąg. Nie był on znany wcześniej w matematyce. Kompozytor stosuje go często w swoich utworach jako linię melodyczną, ale także jako hierarchiczną strukturę harmoniczną. Paradiddle \(N\) powstaje przez zastąpienie liczb parzystych literą \(\mathtt{P},\) a nieparzystych literą \(\mathtt{L}.\)

Jedno z najbardziej wyrafinowanych paradiddle wynalazł duński kompozytor Per Nørgård w latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku. Jest to właściwie cała kolekcja coraz dłuższych ciągów prowadzących do jednego nieskończonego paradiddle. Kolejny wyraz kolekcji powstaje przez sklejenie wyrazu poprzedniego z jego „lustrzaną” kopią, w której litery \(\mathtt{P}\) i \(\mathtt{L}\) zamieniły się wzajemnie miejscami, niczym ręce perkusistki ćwiczącej przed lustrem: \[\mathtt{P, PL, PLLP, PLLPLPPL, PLLPLPPLLPPLPLLP,}\ldots\] Na przykład czwarty wyraz kolekcji \(\mathtt{\color{cyan}{PLLP}\textcolor{var(--primary-color)}{LPPL}}\) składa się z wyrazu poprzedniego, \(\color{cyan}\mathtt{PLLP},\) i jego lustrzanej kopii, \(\mathtt{\textcolor{var(--primary-color)}{LPPL}}.\) Można go także otrzymać poprzez naprzemienne przetasowanie tych kopii: \(\mathtt{\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}}.\) Nieskończone paradidle Nørgårda stanowi zatem rodzaj rytmicznego fraktala będącego naprzemiennym splotem dwóch kopii samego siebie – wiernej i lustrzanej: \[N=\mathtt{\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{L}\textcolor{var(--primary-color)}{P}\color{cyan}{P}\textcolor{var(--primary-color)}{L}}\ldots\]

Swój wynalazek Per Nørgård stosował w wielu kompozycjach, z których najsławniejszą jest chyba suita I Ching na perkusję solo, dedykowana duńskiemu wirtuozowi tego instrumentu Gertowi Mortensenowi. Nie jest to zatem tylko wprawka dla perkusistów, lecz złożona struktura rytmiczna, której muzyczna realizacja wymaga nie lada kunsztu. Jej psychodeliczny urok fascynuje zresztą nie tylko muzyków.

Twierdzenia Thuego

W istocie ciąg \(N\) pojawił się w matematyce już w połowie dziewiętnastego stulecia w pracy francuskiego matematyka Eugène’a Prouheta, która traktowała o pewnym problemie rozkładania liczb naturalnych na sumy potęg. Jako osobny obiekt studiów matematycznych został na nowo odkryty na początku dwudziestego wieku przez norweskiego matematyka Axela Thuego. Ten wybitny specjalista teorii liczb dostrzegł czysto kombinatoryczne piękno ciągu \(N\) przejawiające się w takiej oto niesamowitej własności: żadne dwa nakładające się segmenty ciągu  \(N\) nie są identyczne. Na przykład zaznaczone poniżej segmenty, \(\mathtt{PPLLPP}\) i \(\mathtt{PPLPLL},\) różnią się na trzech ostatnich pozycjach: \[N=\mathtt{PLLPL\underline{PPLL\overline{PP}}\overline{LPLL}PLPPLPLLPPLLPLPPL}\ldots\]

Dla zilustrowania twierdzenia Prouheta spójrzmy na czwarty ciąg kolekcji, \(\mathtt{PLLPLPPL}.\) Wyznacza on dwa zbiory liczb odpowiadające pozycjom dwóch liter, \(P=\{1,4,6,7\}\) i \(L=\{2,3,5,8\}.\) Zbiory te mają nie tylko równe sumy: \(1+4+6+7=2+3+5+8,\) ale także równe sumy kwadratów: \(1^2+4^2+6^2+7^2=2^2+3^2+5^2+8^2.\) Dla następnego ciągu analogiczne zbiory mają nie tylko równe sumy i równe sumy kwadratów, ale także równe sumy sześcianów! I tak dalej…

Dowód twierdzenia Thuego nie jest trudny. Można go przeprowadzić, wykorzystując fraktalne samopodobieństwo ciągu \(N.\) Zauważmy, że hipotetyczna nakładająca się para identycznych segmentów musiałaby zawierać na początku segment postaci \(S=xAxAx,\) gdzie \(A\) jest segmentem, a  \(x\)  pojedynczą literą. Zakładając, że \(S\)  jest najkrótszym takim segmentem występującym w  \(N,\) wystarczy rozważyć dwa przypadki odpowiadające różnym parzystościom długości segmentu  \(A.\) Oba prowadzą szybko do sprzeczności.

Konsekwencją tej własności jest to, że żadne trzy sąsiadujące segmenty w ciągu \(N\) nie mogą być identyczne: \[N=\mathtt{PLLPLPPLLPP\textcolor{var(--primary-color)}{LPL}\color{cyan}{LPL}\color{orange}{PPL}\color{black}{PLLPPLLPLPPL}}\ldots\] Ciąg \(N\) jest zatem wielce „niepowtarzalny” – po wystąpieniu obok siebie dwóch identycznych segmentów następny jest zawsze inny. Prawdziwy koszmar perkusistów… 

Nasuwa się naturalne pytanie: czy istnieje nieskończone paradiddle, w którym dwa sąsiadujące segmenty są zawsze różne? Zauważmy, że każdy ciąg długości cztery zbudowany z dwóch liter albo zawiera bezpośrednie powtórzenie pojedynczej litery, \(\mathtt{PP}\) lub \(\mathtt{LL},\) albo ma postać \(\mathtt{PLPL}\) lub \(\mathtt{LPLP}.\) A zatem jeżeli chcemy uniknąć powtarzających się obok siebie segmentów, to musimy powiększyć zasób liter stanowiących budulec ciągu. Na szczęście w grze na perkusji używa się nie tylko rąk, ale i nóg. W bardziej zaawansowanych paradiddle występuje wraz z literami \(\mathtt{P}\) i \(\mathtt{L}\) także litera \(\mathtt{S},\) oznaczająca uderzenie w wielki bęben wykonane za pomocą stopy.

Już w roku 1906 Thue skonstruował z trzech liter nieskończony ciąg, w którym żadne dwa sąsiadujące segmenty nie są identyczne . Można go otrzymać z ciągu \(N,\) odczytując liczbę wystąpień litery \(\mathtt{L}\) pomiędzy kolejnymi literami \(\mathtt{P}\) : \[N=\mathtt{P\underbrace{\mathtt{LL}}_2P\underbrace{\mathtt{L}}_1P\underbrace{}_0P\underbrace{\mathtt{LL}}_2P\underbrace{}_0P\underbrace{\mathtt{L}}_1P\underbrace{\mathtt{LL}}_2P\underbrace{\mathtt{L}}_1P\underbrace{}_0P\underbrace{\mathtt{L}}_1P\underbrace{\mathtt{LL}}_2P}\ldots\] Podstawiając \(2=\mathtt{P},\) \(1=\mathtt{L}\) i \(0=\mathtt{S},\) dostajemy paradiddle na dwie ręce i stopę, w którym żaden segment nie powtarza się dwa razy z rzędu: \[T=\mathtt{PLSPSLPL\color{green}{SLPSPLSP}\color{cyan}{SLPSPLSL}\color{black}{PLSPSLPLSLPSPLSLPLSPS\ldots}}\] Ta własność ciągu \(T\) wynika wprost z tego, że w ciągu \(N\) nie ma nakładających się identycznych segmentów. Na przykład zaznaczone powyżej segmenty w ciągu  \(T\) nie są identyczne, choć różnią się jedynie na ostatniej pozycji.

Ciąg składający się z sąsiadujących powtórzeń tego samego segmentu nazywamy repetycją . Liczba tych segmentów to krotność repetycji. Na przykład ciągi \(\mathtt{PP, PLPL, LPPLPP, PLPSPLPS}\) to repetycje dwukrotne, \(\mathtt{PPP, PSPSPS, LLSLLSLLS}\) to repetycje trzykrotne, natomiast \(\mathtt{PPLSPPLSPPLSPPLS}\) to repetycja czterokrotna. Nieskończony ciąg okresowy to oczywiście repetycja o krotności nieskończonej. Twierdzenia Thuego orzekają zatem, że istnieje nieskończony ciąg binarny bez repetycji trzykrotnych (ciąg \(N\)) oraz nieskończony ciąg ternarny bez repetycji dwukrotnych, a tym samym bez żadnych repetycji (ciąg \(T\)).

Twierdzenia Thuego zostały opublikowane w dwóch pracach, w roku 1906 i 1912, w mało znanym czasopiśmie. Przez wiele lat pozostawały niezauważone. Były zresztą odkrywane niezależnie przez wielu badaczy w rozmaitych kontekstach (układy dynamiczne, teoria grup, turnieje szachowe, zagadnienia sprawiedliwego podziału etc.). Obecnie uznaje się je za początek kombinatoryki na słowach – obszernej dziedziny o licznych zastosowaniach i powiązaniach z różnymi działami matematyki i informatyki, a także biologii obliczeniowej.

Odkrycia Thuego, wzmocnione doznaniami muzycznymi, wciąż ekscytują badaczy. Pojawiają się rozmaite warianty, uogólnienia, nowe problemy otwarte. Oto próbka zawartości tego „rogu obfitości”.

Ciągi z list

Problem 1. Niech dany będzie nieskończony ciąg zbiorów trójelementowych \(A_1,A_2,A_3,\ldots\) Czy z każdego z nich można wybrać element \(a_i\in A_i\) tak, aby nieskończony ciąg \(a_1a_2a_3\ldots\) nie zawierał żadnych repetycji?

Twierdzenie Thuego odpowiada przypadkowi, kiedy wszystkie zbiory są identyczne. Jeżeli choć dwa zbiory \(A_i\) są różne, to mamy w sumie więcej różnych liter do dyspozycji i wydaje się, że utworzenie ciągu bez repetycji powinno być nawet łatwiejsze. Jednakże nikt jak dotąd nie podał rozwiązania problemu 1 w pełnej ogólności. Znaleziono natomiast rozwiązania pewnych szczególnych przypadków. Wiadomo, że odpowiedź jest pozytywna, jeżeli wszystkie zbiory  \(A_i\) są czteroelementowe, a także jeżeli są trójelementowymi podzbiorami tego samego zbioru czteroelementowego. Ostatnio podjęta próba sprowadza problem do komputerowego sprawdzenia skończonej liczby przypadków, która wszakże jest na tyle duża, że na ostateczny efekt przyjdzie jeszcze poczekać.

W listowym kolorowaniu grafu dzieją się rzeczy dziwne. Przypuśćmy, że graf \(G\) da się poprawnie pokolorować dwoma kolorami. Ktoś przydzielił wierzchołkom palety kolorów, po sto w każdej. Czy możemy mieć pewność, że uda nam się poprawnie pokolorować graf \(G,\) wybierając każdemu wierzchołkowi kolor z jego palety? Okazuje się, że w wielu przypadkach odpowiedź jest negatywna – istnieją rozmieszczenia palet (z dowolnie dużą liczbą kolorów) tak złośliwe, że jest to niewykonalne!

Wybierzmy zbiór punktów na płaszczyźnie, a następnie połączmy niektóre pary punktów odcinkami tak, aby żadne dwa odcinki nie krzyżowały się, czyli aby ich wnętrza były rozłączne. Klasa tak uzyskanych grafów to grafy planarne znane ze słynnego problemu czterech barw. Inną elegancką interpretację geometryczną grafów planarnych dostaniemy, rysując na płaszczyźnie koła o dowolnych promieniach i parami rozłącznych wnętrzach, ale mogące stykać się na brzegach. Wierzchołki grafu umieszczamy w środkach tych kół, łącząc krawędziami te pary środków, które odpowiadają kołom stycznym. Każdy taki graf jest oczywiście planarny, ale zaskakujące jest to, że każdy graf planarny można w ten sposób uzyskać.

Powyższy problem jest analogiem listowego kolorowania grafu. W zwykłym kolorowaniu grafu każdy wierzchołek dostaje kolor z jednej wspólnej palety kolorów. W kolorowaniu listowym każdy wierzchołek ma z góry określoną własną paletę kolorów (listę) i tylko z niej można wybierać kolor, którym zostanie pomalowany. Zachodzi pozorny paradoks – przy różnych paletach mamy w sumie więcej kolorów do dyspozycji, wydaje się zatem, że kolorowanie grafu tym łatwiej powinno się udać. Jednak rozmieszczenie palet narzuca pewne ograniczenia, które mogą skutkować zaskakującymi trudnościami. Znane są przykłady grafów planarnych z tak podstępnym rozmieszczeniem palet – z czterema kolorami każda, że poprawne kolorowanie nie istnieje, choć, jak wiadomo, w tradycyjnej wersji cztery kolory wystarczają.

Repetycje anagramowe

Anagramem słowa (ciągu) jest słowo powstałe z niego w wyniku dowolnego przestawienia liter. Na przykład \(\mathtt{BAROK}\) i \(\mathtt{KORBA}\) są nawzajem swoimi anagramami. Ciąg będący sklejeniem dwóch anagramów tego samego słowa nazywamy repetycją anagramową . Innymi słowy jest to taki ciąg, który można rozciąć jednym cięciem na dwie części, z których każda ma tyle samo wystąpień każdej litery, na przykład \(\textcolor{var(--primary-color)}{\mathtt{PLLSSS}}\color{cyan}\mathtt{PLSSLS}.\) Repetycje anagramowe wielokrotne definiujemy analogicznie do zwykłych repetycji, jako sklejenie wielu anagramów tego samego słowa. Na przykład \(\mathtt{KTOTOKKOT}\) jest trzykrotną repetycją anagramową.

Słynny matematyk Paul Erdős zainspirowany twierdzeniami Thuego zadał takie oto pytanie: Czy istnieje nieskończony ciąg bez repetycji anagramowych zbudowany z czterech liter?

Można sprawdzić, że najdłuższy ciąg bez repetycji anagramowych utworzony z trzech liter ma długość dwanaście. Udowodniono natomiast, że trzy litery wystarczą do konstrukcji nieskończonego ciągu bez trzykrotnych repetycji anagramowych, a także że istnieją nieskończone ciągi bez czterokrotnych repetycji anagramowych zbudowane tylko z dwóch liter.

Pytanie Erdősa pozostawało bez odpowiedzi przez wiele lat, aż w końcu i ono znalazło pozytywne rozstrzygnięcie. Konstrukcję odpowiedniego ciągu podał Veikko Kearänen w roku 1992. Jest ona podobna w duchu do konstrukcji Thuego, lecz bardziej skomplikowana technicznie (nie obyło się raczej bez użycia komputera). Właściwie ciąg Keränena również można zinterpretować jako paradiddle, tym razem angażujące obie ręce i obie nogi perkusistki: \[K\!=\!{\mathtt{SPSHSLSHSPHSHL\color{green}{HPLPSPL}\color{cyan}{PHLPLSL}\color{black}{HLSLPSLSHSPSLPLH\dots }}}\] Litera \(\mathtt{H}\) oznacza hi-hat – instrument perkusyjny składający się z dwóch talerzy zamocowanych poziomo na statywie, które uderzają o siebie niczym klaszczące dłonie na skutek przyciskania lewą stopą pedału w statywie. Jeżeli poprzednie paradiddle \(T\) i \(N\) były wielce „niepowtarzalne”, to co powiedzieć o tym? W ciągu \(K\) każde dwa sąsiadujące segmenty są nie tylko różne, ale pozostają różne nawet po dowolnym przestawieniu wyrazów w jednym z nich… 

Gdyby w roli liter obsadzić liczby pierwsze, to w ciągu mającym własność Erdősa iloczyny wyrazów dwóch sąsiednich segmentów nigdy nie będą równe. Nie oznacza to jednak, że iloczyn liczb w żadnym segmencie nie będzie kwadratem. Można wykazać, że każdy dostatecznie długi ciąg zbudowany ze skończonej liczby liter-liczb zawiera segment o kwadratowym iloczynie wyrazów. Natomiast w ciągu liczb naturalnych, \(1,2,3,4,5,6,7,8,\ldots ,\) nie ma żadnego segmentu (długości co najmniej dwa), którego iloczyn wyrazów jest kwadratem, sześcianem czy też jakąkolwiek wyższą potęgą.

Natomiast ciągle bez odpowiedzi pozostaje poniższe pytanie.

Problem 2. Niech dany będzie nieskończony ciąg zbiorów czteroelementowych \(A_1,A_2,A_3,\ldots\) Czy z każdego z nich można wybrać element \(a_i\in A_i\) tak, aby nieskończony ciąg \(a_1a_2a_3\ldots\) nie zawierał żadnych repetycji anagramowych?

Tym razem nie wiadomo, czy odpowiedź jest pozytywna, nawet jeżeli powiększymy rozmiar zbiorów  \(A_i\) do dowolnej skończonej stałej \(k.\)

Repetycje sumacyjne

Ciąg liczbowy nazywamy repetycją sumacyjną, jeżeli jest sklejeniem dwóch ciągów o równej liczbie wyrazów i równych sumach. Na przykład ciąg \(\color{cyan}{124}\textcolor{var(--primary-color)}{232}\) nie jest repetycją zwykłą ani repetycją anagramową, ale jest repetycją sumacyjną. Repetycje sumacyjne wielokrotne definiujemy podobnie jak poprzednio.

Problem 3. Czy dla jakiejś liczby naturalnej \(k\) istnieje nieskończony ciąg bez repetycji sumacyjnych o wyrazach ze zbioru \(\{0,1,2,\ldots,k\}\) ?

Zauważmy, że ciąg o wyrazach \(\{0,1\}\) jest repetycją sumacyjną wtedy i tylko wtedy, gdy jest repetycją anagramową. Wiemy zatem, że istnieje nieskończony ciąg binarny bez repetycji sumacyjnych czterokrotnych. Udowodniono także, że istnieje nieskończony ciąg bez trzykrotnych repetycji sumacyjnych o wyrazach \(\{0,1,5\}.\)

Repetycje na grafach

Ciąg wierzchołków \(v_1v_2\ldots v_k\) grafu \(G\) nazywamy ścieżką, jeżeli żadne dwa jego wyrazy nie są identyczne, a każde dwa kolejne wyrazy są połączone krawędzią. Kolorowanie wierzchołków grafu \(G\) nazywamy niepowtarzalnym , jeżeli ciąg kolorów na żadnej ścieżce nie zawiera repetycji. Najmniejszą liczbę kolorów potrzebnych do niepowtarzalnego pokolorowania grafu  \(G\) oznaczamy przez \(\pi(G).\) Twierdzenie Thuego orzeka na przykład, że \({\pi(P)=3},\) gdzie \(P\) oznacza dowolną ścieżkę o co najmniej czterech wierzchołkach. Ile kolorów potrzeba do niepowtarzalnego pokolorowania grafów planarnych?

Problem 4. Ile wynosi minimalne \(k\) takie, że nierówność \(\pi(G)\leqslant k\) zachodzi dla każdego grafu planarnego \(G\) ?

Problem ten został postawiony dwadzieścia pięć lat temu. Przez dwadzieścia lat nie było nawet wiadomo, czy odpowiedź jest liczbą skończoną. Przełom nastąpił pięć lat temu, kiedy to udowodniono, że każdy graf planarny spełnia nierówność \(\pi(G)\leqslant 768.\) Z pewnością nie jest to optymalne oszacowanie.

Dowód tego, że liczba \(\pi(G)\) ma skończone ograniczenie w klasie grafów planarnych, jest dość prostą konsekwencją zaskakującej strukturalnej własności, pozwalającej zanurzać je w produkty znacznie prostszych grafów, podobnych do drzew. Te prostsze grafy dają się już względnie łatwo kolorować w stylu Thuego. Ostateczne kolorowanie dostajemy zatem jako „produkt” niepowtarzalnych kolorowań prostszych składników. Stąd ograniczenie na liczbę kolorów \(768=3\cdot 4\cdot 64.\) Więcej szczegółów można znaleźć w artykule: doi.org/10.19086/aic.12100 .

Łamanie rytmu na grafie

Niech \(k\) będzie liczbą naturalną i niech \(\pi_k(G)\) oznacza najmniejszą liczbę kolorów w kolorowaniu wierzchołków grafu \(G\) bez \(k\) -krotnych repetycji na ścieżkach. Oczywiście \(\pi_2(G)\) to ten sam parametr co \(\pi(G).\) Twierdzenie Thuego orzeka zaś, że \(\pi_3(P)=2\) dla dowolnej ścieżki \(P\) o co najmniej trzech wierzchołkach.

Hipoteza. Każdy graf planarny \(G\) spełnia nierówność \(\pi_{2025}(G)\leqslant 4.\)

Jeżeli to prawda, to każdy graf planarny można tak pokolorować czterema kolorami, że wędrując wzdłuż dowolnej ścieżki, być może natrafimy na \(2024\) identyczne segmenty z rzędu, ale na pewno nie na \(2025.\) Jest to nieco łagodniejsza wersja hipotezy z roku \(2000,\) która postulowała silniejszą nierówność \(\pi_{2000}(G)\leqslant 4.\) W przyszłym roku, a także prawdopodobnie w wielu kolejnych latach, ulegnie ona kolejnym osłabieniom. Obecnie nie wiadomo nawet, czy ma szansę być kiedykolwiek prawdziwa, to znaczy, czy nierówność \(\pi_k(G)\leqslant 4\) może zachodzić, przy pewnym skończonym  \(k,\) dla wszystkich grafów planarnych \(G.\) Być może liczba  \(4\) w tej nierówności jest zbyt mała, wiadomo jednak, że nie można jej już obniżyć, istnieją bowiem grafy planarne, w których pojawiają się dowolnie długie jednobarwne ścieżki przy dowolnych kolorowaniach trzema kolorami. Jeżeli cztery kolory nie wystarczą do uniknięcia repetycji o dowolnie dużej krotności na grafach planarnych, to może trzeba użyć w tym celu pięciu, sześciu, trzynastu albo sześciuset sześćdziesięciu sześciu kolorów…? Dla pewnej liczby \(r\leqslant 768\) hipoteza musi być prawdziwa przy być może gigantycznym, ale skończonym \(k.\) Chciałoby się poznać najmniejsze takie  \(r,\) a zaraz potem najmniejsze takie \(k,\) chociaż właściwie nie wiadomo po co…