Zadania

Odpowiedź: Tak.
Wielomian \[P(x)=(1-x)^{2026}-x^{2026}+\frac{1}{2}\] spełnia warunki zadania.

Udowodnimy przez indukcję, że istnieje dokładnie \(3^n\) liczb \(n\)-cyfrowych podzielnych przez \(2^{n},\) których cyfry należą do zbioru \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}.\)

Dla \(n=1\) teza jest jasna, w zbiorze \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) są tylko trzy liczby parzyste.

Załóżmy, że teza jest spełniona dla \(n.\) Liczbę spełniającą założenia stwierdzenia nazwijmy dobrą. Rozważmy \((n+1)\)-cyfrową liczbę dobrą i usuńmy jej pierwszą cyfrę. Otrzymana liczba \(n\)-cyfrowa jest również dobra, gdyż operacja usunięcia pierwszej cyfry \(x\) jest równoważna odjęciu liczby \(x\cdot 10^{n},\) która jest podzielna przez \(2^{n}.\)

Z drugiej strony, dopisując z lewej strony cyfrę \(x\) do dobrej liczby \(n\)-cyfrowej \(y\cdot 2^{n},\) dostajemy liczbę \[y\cdot 2^{n}+x\cdot 10^{n}=2^{n}(y+x\cdot 5^{n}).\] Uzyskana liczba jest \((n+1)\)-cyfrową liczbą podzielną przez \(2^{n},\) której cyfry należą do zbioru \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) i która jest podzielna przez \(2^{n+1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x+y\) jest parzyste. Zauważmy jednak, że dla parzystej liczby \(y\) jako \(x\) możemy przyjąć jedynie \(2,\) \(4\) lub \(6,\) a dla nieparzystego \(y\) jedynie \(3,\) \(5\) lub \(7.\) Oznacza to, że dobrych liczb \((n+1)\)-cyfrowych jest dokładnie \(3\) razy więcej niż dobrych liczb \(n\)-cyfrowych.

Odpowiedź: 10.
Rozważmy kwadraty \(A_1,\) \(A_3,\) \(\ldots,\) \(A_{9}\) o wymiarach, odpowiednio, \(1 \times 1,\) \(3 \times 3,\) \(\ldots,\) \(9 \times 9,\) których lewy dolny róg pokrywa się z lewym dolnym rogiem planszy. Dla każdego z kwadratów \(A_i\) \((i = 1, 3, 5,\ldots, 9)\) istnieje kostka domina \(X_i\) przecinająca jego bok (ponieważ kwadraty o nieparzystym wymiarze nie mogą zostać wypełnione kostkami domina). Łatwo zauważyć, że \(X_i\) leży wówczas wewnątrz kwadratu \(2\times 2\) z podziału. Dostaliśmy zatem 5 kostek domina wewnątrz kwadratów \(2\times 2.\)

Podobnie, biorąc pod uwagę kwadraty \(B_1,\) \(B_3,\) \(\ldots,\) \(B_{9}\) o wymiarach \(1 \times 1,\) \(3 \times 3,\) \(\ldots,\) \(9 \times 9,\) których prawy górny róg pokrywa się z prawym górnym rogiem planszy, znajdujemy kolejnych \(5\) kostek domina \(Y_j\) \((j = 1, 3, 5, \ldots, 9)\) o żądanej własności. Wobec tego najmniejsza możliwa liczba kostek domina spełniających warunki zadania jest nie mniejsza niż  \(10.\)

Następujący rysunek pokazuje, że liczbę \(10\) kostek domina jesteśmy w stanie zrealizować.

Powietrze jest mieszaniną gazów dwuatomowych: azotu (N \(_2\)) i tlenu (O \(_2\)). W podanych warunkach oba gazy doskonale spełniają równania gazu doskonałego. Ciśnienie  \(p\) w kontenerze jest sumą ich ciśnień cząstkowych, a więc spełnione jest równanie: \[p_0V = nRT_0,\] w którym \(n\) oznacza sumaryczną liczbę moli azotu i tlenu. Oba gazy mają takie samo molowe ciepło właściwe w przemianie w stałej objętości: \(c_V = \frac{5}{2}R.\) Podniesienie temperatury gazów w kontenerze do \(T=293\) K wymaga więc dostarczenia ciepła \(Q\) równego: \[Q = nc_V(T-T_0) = \frac{5p_0V(T-T_0)}{2T_0}.\] Liczbowo: \(Q = 185\) kJ.

Woda jest cieczą nieściśliwą, wobec tego prędkość opadania powierzhni wody \(v(h)\) i prędkość jej wypływu dolnym otworkiem \(v(0)\) związane są warunkiem wynikającym z prawa zachowania masy wody: \[\pi R^2v(h) = \pi r^2v(0).\] W opisanych warunkach możemy z dobrym przybliżeniem pominąć wpływ lepkości wody i posłużyć się równaniem Bernoulliego: \[\frac{v(h)^2}{2} + gh +\frac{p(h)}{\rho} = \frac{v(0)^2}{2} +\frac{p(0)}{\rho}.\] Przyjęliśmy, że \(h\) oznacza wysokość nad środkiem otworka, a  \(\rho\) jest gęstością wody (stałą w całym naczyniu), a  \(p(h)\) i  \(p(0)\) oznaczają ciśnienie na zewnątrz naczynia na wysokości  \(h\) i na poziomie otworka. Podstawiamy związek \(v(h)\) i  \(v:= v(0)\) wynikający z równania ciągłości do równania Bernoulliego i otrzymujemy: \[\frac{p(h) - p(0)}{\rho} + gh = \frac{1}{2}v^2\left(1-\frac{r^4}{R^4}\right).\] Ostatecznie otrzymujemy odpowiedź: \[v = \sqrt{\frac{2((p(h) - p(0))/\rho + gh)}{1 - r^4/R^4}}.\] Zwykle różnica ciśnień atmosferycznych na wysokości \(h\) jest zaniedbywalnie mała, i można ją pominąć. Stosunek czwartych potęg promieni też zwykle jest bardzo mały, i można go pominąć. Oba te przybliżenia prowadzą do znanego wzoru Torricellego: \(v = \sqrt{2gh}.\)
Uwaga: otrzymany wzór opisuje prędkość wypływu w środku otworka. W rzeczywistości prędkości wypływu zbiegają się nieco w kierunku środka otworka, co powoduje zmniejszenie strumienia wypływającej wody w stosunku do wartości \(\pi r^2 v\) o czynnik \(\alpha < 1\) zależny od kształtu otworka – i dla otworka kołowego ten czynnik wynosi \(\alpha \approx 0{,}62,\) co należałoby uwzgędnić w równaniu ciągłości.