Afiliacja: Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechnika Warszawska
Ostatnio bardzo popularne stały się dyfuzory zapachowe, które potrafią otulić naszą domową przestrzeń przyjemnymi wonnościami i wprawić nas w dobry nastrój. Ale czy zastanawialiście się kiedyś, w jaki sposób dochodzi do rozprzestrzeniania się zapachów w pomieszczeniu? W przypadku dyfuzorów zapachowych nośnikiem zapachu są patyczki ratanowe, zanurzone w szklanym pojemniku wypełnionym olejkiem eterycznym (rys. 1). Dzięki porowatej strukturze patyczków ciecz jest wchłaniana i przenoszona aż do ich wierzchołków, gdzie olejek zaczyna odparowywać z powierzchni. Następnie cząsteczki substancji zapachowej ulegają niezliczonym zderzeniom z cząsteczkami powietrza. To je napędza i sprawia, że rozpraszają się po pomieszczeniu, a my cieszymy się pięknym aromatem. Opisane zjawisko przemieszczania się substancji z obszaru o wyższym jej stężeniu do obszaru o niższej koncentracji nazywamy dyfuzją.
Rys. 1
Sprawdźmy, jak rachunek prawdopodobieństwa może nam pomóc dokładniej opisać proces dyfuzji. Wyobraźmy sobie, że mamy cząsteczkę perfum w punkcie \(x_0,\) która porusza się wzdłuż osi \(OX\) i w czasie \(\Delta t>0\) przemieszcza się o \(\Delta x > 0\) w prawo lub w lewo (rys. 2). Przyjmujemy, że prawdopodobieństwo pójścia w prawo/lewo w każdym kroku wynosi \(\frac{1}{2}.\) Jeśli \(n\) jest liczbą skoków, jakie wykonała cząsteczka, to \(n = n_{+}+n_{-},\) gdzie \(n_{+}\) to liczba skoków w prawo, a \(n_{-}\) to liczba skoków w lewo. Ponadto \(t = n\Delta t\) jest całkowitym czasem jej ruchu. Natomiast jeśli przez \(x\) oznaczymy przemieszczenie cząsteczki względem punktu \(x_0,\) to liczba \(m=\frac{x}{\Delta x}\) wyraża wielkość przemieszczenia w punktach kratowych i oczywiście \(m = n_{+}-n_{-}.\) Zatem liczby skoków w prawo/lewo możemy wyrazić wzorami: \[n_{-} = \frac{n - m}{2},\ \ \ n_{+} = \frac{n + m}{2}.\] Chcemy obliczyć \(P(m,n),\) czyli prawdopodobieństwo, że po \(n\) krokach cząsteczka przemieści się o \(m\) punktów kratowych względem położenia początkowego \(x_0.\) Przy każdym skoku mamy dwie równoprawdopodobne możliwości ruchu. Zatem wszystkich możliwych realizacji \(n\) kroków jest \(2^n\) i każda ma takie samo prawdopodobieństwo zaistnienia. Aby po \(n\) krokach znaleźć się w pozycji \(m,\) mamy \({ n \choose n_{+}}\) możliwości. Zatem \[P(m,n) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \frac{n!}{n_{+}!n_{-}!} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \frac{n!}{\left(\frac{n+m}{2}\right)!\left(\frac{n-m}{2}\right)!} .\] Na rysunku 3 możemy zobaczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że przemieścimy się o \(m\) punktów kratowych po 50 krokach dla parzystych \(m\) spełniających \(|m|\leq 20.\) Widzimy, że najbardziej prawdopodobne jest przemieszczenie się o zero punktów kratowych. Analizując analogiczne wykresy dla większych wartości \(n,\) odnieślibyśmy wrażenie, że podlegają one pewnej stabilizacji. Istotnie, matematycznie ta obserwacja wyraża się w następującym stwierdzeniu: \[P(m,n) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi n}}e^{-\frac{m^2}{2n}}\ \ \ \textrm{dla dużych $n$ i parzystych $m.$}\] Wykorzystując informację, że \(n = \frac{t}{\Delta t}\) i \(m = \frac{x}{\Delta x},\) otrzymujemy dyskretną funkcję rozkładu prawdopodobieństwa: \[P\left(\frac{x}{\Delta x},\frac{t}{\Delta t}\right) \approx\tilde{P}(x,t):= \sqrt{ \frac{(\Delta x)^2}{4 \pi D t} }\exp\left\{ - \frac{x^2}{4Dt} \right\}, \ \ \ \text{gdzie} \ D = \frac{(\Delta x)^2}{2 \Delta t}.\] Wprowadzona wyżej funkcja \(\tilde{P}(x,t)\) jest rozwiązaniem klasycznego równania dyfuzji: \[\frac{\partial \tilde{P}}{\partial t} = \Delta x D \frac{\partial^2 \tilde{P}}{\partial x^2}.\]
Rys. 2. Wykres prezentuje położenie cząsteczki (\(x\)) w zależności od czasu (\(t\))
O błądzeniu losowym można przeczytać również w tekście Michała Miśkiewicza Dyskretny wzór Itô z \(\Delta^{10}_{23}\) .
Rys. 3
Przedstawiona zależność może zostać wyprowadzona ze wzoru Stirlinga: \(n! \approx \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}.\)
(a)
(b)
Rys. 4. Na rysunku (b) kolorami wyróżniono fragmenty trajektorii przebyte w wybranych odcinkach czasu. Źródło: [1]
Rys. 5. Źródło: [1]
Choć powyższe równanie jest często wykorzystywane w modelowaniu matematycznym, nie wszystkie zjawiska dyfuzji można opisać w ten sposób. Do tej pory zakładaliśmy, że przeskok cząsteczki odbywa się w równych odstępach czasu oraz cząsteczka pokonuje zawsze tę samą odległość. Ponadto kolejne skoki są od siebie niezależne. Co, gdy któreś z tych założeń nie zostanie spełnione? Wówczas mówimy, że mamy do czynienia z dyfuzją anomalną. Dzieje się tak na przykład wtedy, gdy cząsteczka zatrzymuje się na pewien czas, zanim przeskoczy dalej. W takiej sytuacji cząsteczki rozprzestrzeniają się wolniej, niż zakłada to klasyczny opis dyfuzji – i mówimy, że mamy do czynienia z subdyfuzją. Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi takiej sytuacji.
Błona komórkowa oddziela wnętrze komórki od świata zewnętrznego oraz odpowiada za przekazywanie informacji ze środowiska do wnętrza komórki. Transport dyfuzyjny na błonie komórkowej pełni kluczowe funkcje w przekazywaniu sygnału i sposobie, w jaki komórki oddziałują ze swoim otoczeniem. Biorąc pod uwagę, że błona komórkowa jest płynna, można by oczekiwać, że cząsteczki białek będą szybko dyfundować przez błonę, tak aby odpowiednie reakcje mogły zachodzić jak najsprawniej. Nic bardziej mylnego.
Na początku 2005 roku na Uniwersytecie Nagoya w Japonii naukowcy przeprowadzili następujący eksperyment: śledzili pojedynczą cząsteczkę białka w błonie plazmatycznej żywych komórek. Obrazowanie wideo cząsteczek fluorescencyjnych ujawniło, że cząsteczki te spędzają stosunkowo długi czas uwięzione między przeszkodami o wielkości nanometrów w cytoszkielecie aktynowym komórki. Symulację trajektorii ruchu białka, które pokonuje przeszkodę o powierzchni \(120 \ \textrm{nm}^2,\) utworzoną przez cytoszkielet komórki, możemy zobaczyć na rysunku 4a. Eksperymentalne trajektorie białek w błonie plazmatycznej żywej komórki widoczne są z kolei na obrazku 4b.
Anomalna dyfuzja pojawia się też wtedy, gdy cząsteczka przez dość długi czas nie zmienia kierunku, w którym się porusza. Wtedy cząsteczki rozprzestrzeniają się szybciej, niż przewiduje to klasyczna dyfuzja. Zjawisko takie nazywamy superdyfuzją.
Na rysunku 5 przedstawiona została trajektoria ruchu małpki z rodzaju czepiaków w lesie na meksykańskim Półwyspie Jukatan. Jak widać, poszczególne skoki małpki są różnej długości. Taki proces dyfuzyjny zachodzi szybciej niż normalna dyfuzja – mamy do czynienia z superdyfuzją.
Literatura
[1] J. Klatfer, I.M Sokolov, Anomalous diffusion spreads its wings ; physicsweb.org, 2005.
[2] A. Tokmakoff, Notatki do kursu Concepts in Biophysical Chemistry, prowadzonego na University of Chicago (Brownian Motion) .
Subdyfuzja zachodzi również podczas przepływu elektronów w półprzewodnikach amorficznych w kserokopiarce. Z kolei za pomocą superdyfuzji można rozsądnie opisać trajektorię lotu albatrosów. Przykładów jest wiele, co prowadzi do jednego wniosku: anomalna dyfuzja w naturze jest normalna !