Afiliacja: Studium Matematyki, Uniwersytet Radomski im. Kazimierza Pułaskiego
Pochodzenie, dzieciństwo
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor urodził się 3 marca
1845 roku w Petersburgu jako najstarsze dziecko Marii Anny Böhm i Georga
Woldemara Cantora. Ojciec był zamożnym kupcem i finansistą. O jego
pochodzeniu, dzieciństwie i młodości wiadomo niewiele: urodził się
pomiędzy 1809 a 1814 rokiem, prawdopodobnie w Kopenhadze, do której
jego rodzice sprowadzili się z Hiszpanii lub Portugalii. Rodzina
Marii Anny wywodziła się z Austrii. Jej stryj, Joseph Böhm, był utalentowanym
i znanym muzykiem, dyrektorem wiedeńskiego konserwatorium.
Maria Anna i Georg Woldemar
pobrali się w 1842 roku w Petersburgu, w obrządku luterańskim. Maria
Anna była katoliczką, Georg Woldemar – luteraninem, i to bardzo pobożnym,
więc wybór zboru jako miejsca zawarcia związku małżeńskiego raczej
nie dziwi. Oddanie ewangelicyzmowi Georg Woldemar przekazał najstarszemu
synowi. Biografowie Georga juniora nie są zgodni co do liczby rodzeństwa
przyszłego wielkiego matematyka – w źródłach można znaleźć informacje
o czwórce lub szóstce dzieci Marii Anny i Georga Woldemara. Pewna
jest za to informacja o chorobie ojca rodziny, z którym młody
Georg był bardzo związany emocjonalnie. W połowie XIX wieku
gruźlica była nieuleczalna, łagodzono jedynie jej przebieg terapią
klimatyczną. Właśnie w poszukiwaniu bardziej sprzyjających warunków
klimatycznych Cantorowie opuścili Petersburg, i w 1856 roku przenieśli
się do Niemiec: najpierw do Wiesbaden, a później – do Frankfurtu.
Georg Cantor junior z nostalgią wspominał swoje rosyjskie dzieciństwo
–
w Niemczech, gdzie spędził resztę swojego życia, nigdy nie czuł się najlepiej.
Artykuł powstał na bazie wykładu pod tym samym tytułem, wygłoszonego podczas konferencji Kształcenie myślenia analitycznego a realizacja podstawy programowej, zorganizowanej przez Radomski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli i Stowarzyszenie Nauczycieli Matematyki 15 marca 2025 roku.
Młodość, małżeństwo, rozkwit kariery
Po ukończeniu szkół, w 1862 roku, Georg rozpoczął studia w Höhere Gewerbeschule Darmstadt (obecnie Uniwersytet
Techniczny w Darmstadt), by wkrótce przenieść się na Politechnikę Federalną
w Zurychu. Tam również długo nie zagrzał miejsca – w 1863 roku ponownie
zmienił uczelnię. Tym razem na Uniwersytet Berliński. Stało się
to już po śmierci ojca.
Odziedziczony spadek (pół miliona ówczesnych marek) umożliwiał skromnemu
profesorowi matematyki godne życie jeszcze wiele lat później.
Młody Georg Cantor
Podczas studiów w Berlinie Cantor słuchał wykładów takich sław, jak Leopold Kronecker, Karl Weierstass i Ernst Kummer, zaprzyjaźnił się z Karlem Schwarzem. Doktorat z teorii liczb obronił w 1867 roku, przy merytorycznym wsparciu Kroneckera i Kummera. Po ukończeniu studiów i krótkim, kilkumiesięcznym zatrudnieniu w berlińskiej szkole dla dziewcząt, przyjął posadę privatdozenta na Uniwersytecie w Halle, gdzie profesorem matematyki był Eduard Heine. Zachęcany przez niego Cantor zajął się teorią szeregów trygonometrycznych. W 1872 roku opublikował artykuł, w którym udowodnił, że ciągłość funkcji na przedziale implikuje jednoznaczność jej reprezentacji w postaci szeregu trygonometrycznego. W artykule znalazły się jednak pewne przemyślenia autora, które wskazywały, że skieruje swój umysł w inną stronę, mocno odległą od szeregów Fouriera. Także w 1872 roku (w wieku zaledwie 27 lat) Cantor uzyskał awans na stanowisko profesora nadzwyczajnego.
Privatdozent było to najniższe stanowisko akademickie na niemieckim uniwersytecie – otwierało możliwość prowadzenia badań pod afiliacją uczelni i zajęć ze studentami, ale bez prawa do wynagrodzenia.
Wiosną 1874 roku Georg zaręczył się z przyjaciółką siostry – Vally Guttmann. 8 sierpnia tego samego roku para wstąpiła w związek małżeński. Cantorowie doczekali się szóstki dzieci, (najmłodszy, Rudolf, urodził się w 1886 r.). Małżeństwo zawarte z miłości przetrwało wszystkie burze. Niebagatelny wpływ na szczęście rodzinne miał charakter Georga, który w domowym zaciszu był człowiekiem bardzo zgodnym i łagodnym.
W latach siedemdziesiątych Cantor intensywnie korespondował z Richardem Dedekindem, który zajmował się zagadnieniem continuum zbioru liczb rzeczywistych. Zainspirowany tą problematyką Cantor przesłał do Crelle’s Journal artykuł zawierający dosyć szokujący wniosek o istnieniu bijekcji z kwadratu na odcinek. Rezultat ten zirytował Kroneckera, który, jako redaktor czasopisma, wstrzymał publikację. Dopiero po interwencji Dedekinda, w 1878 roku artykuł mógł się ukazać. Sytuacja ta uwolniła potężną niechęć między Kroneckerem i Cantorem, który nigdy więcej niczego nie opublikował w Crelle’s Journal. Przyjaźń z Dedekindem także zakończyła się raczej gwałtownie. Po śmierci Heinego, w październiku 1881 roku, pojawił się vacat na stanowisku profesora matematyki w Halle. Cantor zaproponował na to stanowisko Dedekinda, Heinricha Webera i Franza Mertensa (kolejność nazwisk istotna). Wszyscy trzej odmówili. Ostatecznie nominację uzyskał Friedriech Wangerin. Cantor nigdy nie nawiązał z nim bliższych stosunków: ani towarzyskich, ani naukowych. Korespondencja z Dedekindem zakończyła się, i przyjaźń też.
Nowym przyjacielem i powiernikiem Cantora został wpływowy (i niezwykle bogaty) szwedzki matematyk Gösta Mittag-Leffler. Był on fundatorem i redaktorem prestiżowego czasopisma Acta Mathematica. Mittag-Leffler zaproponował Cantorowi publikację kilku jego wcześniejszych prac we francuskim tłumaczeniu, którym zajęli się studenci Charles’a Hermitte’a (między innymi Henri Poincare). Cykl ukazał się w pierwszej połowie 1883 roku, wraz z nowym, oryginalnym artykułem. Kolejne publikacje pojawiły się w 1884 i 1885 roku. Podtytuł tej drugiej – drugi komunikat – wywołał spore zamieszanie. Pierwszym komunikatem miała być inna praca, która powinna była ukazać się w tym samym numerze czasopisma, ale została przez Cantora wycofana po (raczej błędnych) sugestiach Mittag-Lefflera. W wyniku tego zamieszania zażyłość obu uczonych zanikła.
Journal für die reins und angewandte Mathematik założone przez Augusta Leopolda Crellego w 1826 roku (stąd popularna nazwa Crelle’s Journal) było w owym czasie najbardziej prestiżowym czasopismem matematycznym w Niemczech, a może i na świecie.
W XIX wieku w Niemczech na stanowiska profesorskie mianował właściwy minister. Procedura przewidywała zgłoszenie przez uniwersytet trzech kandydatur, a minister kolejno zwracał się do wymienionych z zapytaniem, czy są zainteresowani stanowiskiem.
Wielokrotnie dementowana plotka głosi, że Alfred Nobel nie ufundował swojej nagrody w dziedzinie matematyki z powodu romansowej natury Mittag-Lefflera. Inna, nosząca pewne znamiona prawdopodobieństwa, informacja wskazuje, że Mittag-Leffler przyczynił się do przyznania Nagrody Nobla Marii Skłodowskiej-Curie, przełamując opory niektórych członków Komitetu Noblowskiego przed przyznaniem wyróżnienia kobiecie.
Choroba. Konflikt z Kroneckerem
Podczas intensywnej pracy naukowej i wymiany korespondencji z Mittag-Lefflerem,
latem 1884 roku, Cantor przeżył załamanie nerwowe. Dzisiaj uważamy,
że był to pierwszy epizod choroby dwubiegunowej (zwanej do niedawna
psychozą maniakalno-depresyjną). Ze wspomnień córki Elsy wiadomo,
że początek choroby był gwałtowny i niespodziewany. Po około dwóch
miesiącach stan uczonego uległ pewnej poprawie, tak że mógł on wrócić
do swoich codziennych obowiązków. Ale odtąd życie Cantora naznaczały
epizody manii i depresji oraz kolejne pobyty w szpitalach psychiatrycznych.
Wielokrotnie podejmowane próby zmiany miejsca pracy – aplikował na
stanowiska profesorskie w Berlinie i Getyndze, bo Uniwersytet w Halle
postrzegany był jako prowincjonalny – kończyły się porażkami, prawdopodobnie
pod wpływem zakulisowych działań Kroneckera. Potwornym ciosem dla
wrażliwego matematyka–filozofa była śmierć syna Rudolfa w 1899 roku.
Napastliwe wystąpienie Juliusa Königa podczas III Kongresu Matematyków
w 1904 roku w Zurychu, mające w zamyśle autora podważyć teorie Cantora,
także poskutkowało nawrotem choroby, mimo że już następnego
dnia Ernst Zermelo obalił argumenty Königa.
Cantor był na szczęście leczony łagodnymi metodami (głównie ciepłymi kąpielami) w nowo wybudowanej, pięknej uniwersyteckiej klinice psychiatrycznej, gdzie, jako słynny już profesor Cantor, cieszył się specjalnymi względami – m.in. miał nawet swój gabinet.
,,Naukowy szarlatan”, ,,renegat”, ,,deprawator młodzieży” – Kronecker nie hamował języka w ocenach, nie tylko pracy, ale również osoby Cantora. Zajadłość, z jaką ten, wybitny przecież, matematyk atakował młodszego kolegę, może zadziwiać. Cantor przynajmniej dwukrotnie podejmował próby pojednania ze swoim dawnym nauczycielem. Po raz pierwszy wspomniał o tym w liście do Mittag-Lefflera z wakacji w górach Harzu, w 1884 roku. Ponownie spróbował w 1891 roku, gdy jako przewodniczący Niemieckiego Towarzystwa Matematycznego (wybrany mimo sprzeciwu Kroneckera) zaprosił swojego adwersarza do wygłoszenia wykładu na pierwszym zjeździe Towarzystwa. Ale Kronecker z tego zaproszenia skorzystać już nie mógł, gdyż czuwał przy łóżku umierającej żony, a kilka miesięcy po jej śmierci również odszedł z tego świata. Trudno przypisać wzajemną niechęć tych dwóch nietuzinkowych osobistości tylko różnicom w poglądach na filozoficzne podstawy matematyki. Wydaje się, że jej przyczyny musiały być bardziej złożone – możliwe, że także osobiste. Jedno jest chyba pewne – Kronecker wywarł ogromny wpływ na zdrowie i życie Cantora.
Leopold Kronecker
Schyłek
Georg Cantor w wieku dojrzałym
Dzieło
Badając szeregi trygonometryczne, Cantor przyjął Weierstrassowską koncepcję
liczby niewymiernej jako nieskończonego ciągu jej przybliżeń dziesiętnych.
Podejście to wywoływało sprzeciwy środowisk matematyków, filozofów,
a nawet teologów, bo wymagało zaangażowania tzw. nieskończoności
dokonanej. Problemu tego można było (przynajmniej częściowo) uniknąć,
stosując pojęcie granicy, które opierało się na nieskończoności
potencjalnej. Dedekind, szczegółowo analizując strukturę zbioru liczb
rzeczywistych \(\mathbb{R},\) zauważył, że oś liczbowa jest nieskończenie
bardziej złożona niż zbiór liczb wymiernych \(\mathbb{Q}.\) Złożoności
tej jednak nie sformalizował. Uczynił to dopiero Cantor w swoim artykule
z 1874 opublikowanym w pechowym dlań Crelle’s Journal. W pracy
tej Cantor wprowadził pojęcie równoliczności zbiorów, rozumianej jako
istnienie odwzorowania wzajemnie jednoznacznego (czyli bijekcji) jednego
zbioru na drugi.
Możliwość zdefiniowania odwzorowania wzajemnie jednoznacznego między
zbiorem i jego podzbiorem właściwym, uważana przez sławnych poprzedników
(np. przez Galileusza)
za paradoks, przez Cantora została uznana za immanentną cechę zbiorów
nieskończonych. Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych \(\mathbb{N}\)
Cantor nazwał przeliczalnymi i udowodnił, że zbiór liczb wymiernych
jest przeliczalny. W publikacji z 1891 roku natomiast pokazał ideę
metody przekątniowej, dzisiaj zwanej metodą przekątniową
Cantora, którą zastosował w dowodzie nieprzeliczalności \(\mathbb{R}.\)
Oznaczało to ni mniej ni więcej, że istnieją istotnie ,,różne”
nieskończoności: większe i mniejsze. Rozważając zależności między
nimi, Cantor najpierw wprowadził liczby porządkowe, a potem kardynalne
(moce zbiorów), wraz z całą ich arytmetyką. Nieco później oznaczył
liczbę kardynalną zbioru \(\mathbb{N}\) hebrajską literą \(\aleph_{0}\)
– tego symbolu używamy do dziś.
Równoliczność odwzorowuje bardzo pierwotną i intuicyjną ideę liczenia na palcach. Obrazowy przykład dotyczy kelnera rozkładającego sztućce na wielkim stole, na którym ktoś inny wystawił mnóstwo talerzy. Kelner nie musi liczyć talerzy, by położyć odpowiednią liczbę widelców. Wystarczy, by przy każdym talerzu położył jeden widelec.
Galileusz zauważył, że można jednoznacznie powiązać każdą liczbę naturalną z liczbą parzystą, chociaż zbiór liczb parzystych jest właściwym podzbiorem zbioru liczb naturalnych.
Kurt Gödel, podobnie jak Cantor, zajmował się podstawami matematyki – logiką, problemami aksjomatyzacji, ale także teorią względności. I również zmarł w szpitalu psychiatrycznym.
Bibliografia
Amir Aczel, ,,Tajemnica alefów”, Rebis, 2002.
Joseph Dauben, ,,Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory”, Scientific American, 248(6).
Ivor Grattan-Guinness, ,,Towards a Biography of Georg Cantor”, Annals of Science, 27(4).
Helena Rasiowa, ,,Wstęp do matematyki współczesnej”, PWN, 2012.
Fotografie pochodzą z domeny publicznej: commons.wikimedia.org
Z porównania mocy zbiorów \(\mathbb{N}\) i \(\mathbb{R}\) zrodziło się naturalne pytanie: czy istnieje zbiór, którego moc jest istotnie większa od \(\aleph_{0}\) i istotnie mniejsza od od mocy zbioru \(\mathbb{R},\) oznaczanej \(\mathfrak{c}\) (od continuum). Cantor wierzył, że nie. Dowód tego przypuszczenia, nazwanego hipotezą continuum, był źródłem niekończących się udręk Cantora. Można nawet zauważyć pewną korelację między intensywnością prac nad hipotezą i pobytami autora w szpitalach psychiatrycznych. Hipoteza continuum tak bardzo oddziaływała na umysły matematyków, że David Hilbert przedstawiając w 1900 roku listę najważniejszych nierozwiązanych problemów ówczesnej matematyki, umieścił ją na pierwszym miejscu. Hipoteza continuum doczekała się rozwiązania w 1964 roku. Paul Cohen, bazując na wcześniejszych wynikach Kurta Gödla, wykazał, że hipoteza continuum jest niezależna od pozostałych aksjomatów teorii mnogości.