Delta 11/2025

Zadania

Dominik Burek i Andrzej Majhofer
Zadanie M 1834

Okrąg podzielono na \(2n\) łuków o długości 1. Punkty podziału są połączone w pary, tworząc \(n\) cięciw. Każda cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki, a długość każdego z nich jest parzysta. Udowodnić, że \(n\) jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie
Pokolorujmy \(2n\) punktów podziału na przemian dwoma kolorami. Ponieważ dowolna cięciwa dzieli okrąg na dwa parzyste łuki, jej końce muszą mieć ten sam kolor. Ponieważ mamy \(n\) końców każdego koloru, \(n\) musi być parzyste.
Zadanie M 1835

Punkt na płaszczyźnie nazywamy kratowym, jeśli obie jego współrzędne są liczbami całkowitymi. Rozważmy trójkąt o wierzchołkach w punktach kratowych, zawierający we wnętrzu dokładnie dwa punkty kratowe. Udowodnić, że prosta łącząca te dwa punkty kratowe przechodzi przez wierzchołek trójkąta lub jest równoległa do jednego z jego boków.

Rozwiązanie
W dowodzie wykorzystamy wzór Picka (patrz \(\Delta^{12}_{24}\)):

Trójkąt o wierzchołkach w punktach kratowych ma pole równe \(w+b/2-1,\) gdzie \(w\) i \(b\) oznaczają liczby punktów kratowych, odpowiednio, we wnętrzu i na brzegu trójkąta.

Rozważmy trójkąt \(ABC\) o wierzchołkach w punktach kratowych, mający w swoim wnętrzu dokładnie dwa punkty kratowe \(X\) i \(Y.\) Załóżmy, że prosta \(XY\) nie przechodzi przez żaden z wierzchołków \(ABC.\) Istnieje więc bok trójkąta (niech to będzie \(BC\)), którego prosta \(XY\) nie przecina. Wówczas trójkąty \(XBC\) i \(YBC\) mają tyle samo punktów kratowych wewnątrz (tj. nie mają żadnego) oraz na brzegu. Ze wzoru Picka wynika zatem, że pola tych trójkątów są równe. Wobec tego wysokości tych trójkątów opuszczone na prostą \(BC\) są równe, a zatem prosta \(XY\) jest równoległa do boku \(BC.\)

Zadanie M 1836

Liczby rzeczywiste \(0 < a, b, c, d < 1\) są takie, że \[abcd = (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d).\] Udowodnić, że \[(a + b + c + d) -(a + c)(b + d) \ge 1.\]

Rozwiązanie
Równość z założenia zadania oznacza, że \[\frac{(1-a)(1-c)}{ac}=\frac{bd}{(1-b)(1-d)}.\] Wobec tego \[\begin{aligned} \frac{1-a-c}{ac}&=\frac{(1-a)(1-c)}{ac}-1\\&=\frac{bd}{(1-b)(1-d)}-1=\frac{b+d-1}{(1-b)(1-d)}. \end{aligned}\] Zatem liczby \(1-a-c\) oraz \(b+d-1\) mają ten sam znak, więc \[(1-a-c)(b+d-1)\ge 0.\] Po przekształceniach dostajemy \[(a + b + c + d) -(a + c)(b + d) \ge 1.\]
Zadanie F 1131

Samochód napędzany jest silnikiem wysokoprężnym (Diesla), w którym wtrysk paliwa poprzedzony jest 20-krotnym sprężeniem powietrza w cylindrze – tzn. w wyniku sprężania objętość powietrza zassanego z otoczenia (atmosfery) zmniejszona jest do 1/20 jej wartości początkowej. Jaką temperaturę osiąga powietrze w cylindrze w chwili wtrysku paliwa? Przyjmij, że silnik zasysa powietrze z otoczenia o temperaturze \(t = 20\)C.

Rozwiązanie
Sprężanie powietrza w silniku wysokoprężnym jest, w dobrym przybliżeniu, procesem adiabatycznym. Podczas przemiany adiabatycznej gazu doskonałego związek temperatury bezwzględnej gazu \(T\) i jego objętości opisuje zależność: \[TV^{\kappa -1} = \rm const ,\] w której \(\kappa\) jest stosunkiem wartości \(c_p\) – molowego ciepła właściwego pod stałym ciśnieniem do \(c_V\) – molowego ciepła właściwego w stałej objętości: \({\kappa = c_p/c_V}.\) Powietrze jest mieszaniną gazów dwuatomowych: azotu (N\(_2\)) i tlenu (O\(_2\)) z bardzo niewielkimi domieszkami innych gazów. Dla gazu dwuatomowego \(\kappa = 7/5.\) Warunki podane w treści zadania odpowiadają temperaturze początkowej \(T_0 = 293\) K i stosunkowi objętości początkowej \(V_0\) do objętości końcowej \(V_1\) równemu \(V_0/V_1 = 20.\) Mamy: \[T_0 V_0^{\kappa - 1} = T_1V_1^{\kappa -1}, \ \ \ \text{czyli}\ \ \ T_1 = T_0\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\kappa - 1}.\] Liczbowo: \({T_1 = 293\cdot(20)^{0,4}\rm~K \approx 961~K = 688^{\circ} C}.\) Samozapłon oleju napędowego następuje w temperaturze około 210C. Model użyty w zadaniu jest znacznie uproszczony, na przykład już podczas zasysania powietrze ogrzewa się od rozgrzanych części silnika, ale odpowiada zasadzie działania silnika wysokoprężnego.
Zadanie F 1132

Gaz doskonały jest poddawany przemianie, w której jego ciśnienie \(p\) i objętość \(V\) spełniają związek: \[p^{\alpha}V = {\rm const} ; \ \ \alpha > 1.\] Czy poczas rozprężania gazu jego temperatura \(T\) rośnie, czy maleje? Jakie jest molowe ciepło przemiany?

Rozwiązanie
Równanie stanu jednego mola gazu doskonałego ma postać: \(pV = RT\); \(R\) oznacza stałą gazową. Oznacza to, że \(p = RT/V.\) Po podstawieniu tego związku do równania przemiany otrzymujemy, że podczas tej przemiany: \[\frac{T^{\alpha}}{V^{\alpha - 1}} = {\rm const}.\] Oznaczmy tę stałą jako \(B,\) mamy: \[T^{\alpha} = BV^{\alpha - 1},\] a więc dla \(\alpha > 1\) rozprężaniu gazu (zwiększaniu jego objętości) towarzyszy wzrost temperatury. Do obliczenia ciepła przemiany skorzystamy ze związku ciepła dostarczanego podczas przemiany, \(dQ_{\rm przem},\) ze zmianami energii wewnętrznej gazu, \(dU,\) oraz pracą wykonaną przez gaz, \(dW = -pdV\): \[dQ_{\rm przem} = dU + pdV = c_VdT + pdV,\] \(c_V\) oznacza molowe ciepło w stałej objętości. Otrzymujemy dla molowego ciepła przemiany \(c_{\rm przem}\): \[c_{\rm przem} = \frac{dQ_{\rm przem}}{dT} = c_V + p\frac{dV}{dT}.\] Pochodną objętości względem temperatury obliczamy na podstawie związku \(V\) i \(T\) podczas przemiany. Ostatecznie otrzymujemy: \[c_{\rm przem} = c_V + \frac{\alpha}{\alpha -1}R.\]