Zadania z matematyki nr 927, 928
Termin nadsyłania rozwiązań: 31 XII 2026
Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 M
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
917 (\(WT = 1{,}48\)) i 918 (\(WT = 2{,}78\))
z numeru 3/2026
Janusz Olszewski Warszawa 45,79 Krzysztof Kamiński Pabianice 44,14 Jędrzej Biedrzycki Wrocław 43,54 Roksana Słowik 43,23 Marian Łupieżowiec Gliwice 40,52 Janusz Fiett Warszawa 39,70 Tomasz Wietecha Tarnów 38,46 Paweł Najman Kraków 34,11 Paweł Kubit Kraków 34,03 Piotr Kumor Olsztyn 33,66 Marek Spychała Warszawa 33,42 Piotr Wiśniewski Warszawa 33,12 Łukasz Merta 33,02 Andrzej Kurach Ryjewo 30,65 Pan Janusz Olszewski niestrudzony (i wciąż nieznudzony): 26 rund. Weteran Krzysztof Kamiński też pięknie: czwarte okrążenie to obiecujący zadatek na kolejną normę weterańską!
Redaguje Marcin E. KUCZMA
927. Dla liczby naturalnej \({n\ge2}\) niech \(M_n\) będzie zbiorem wszystkich par uporządkowanych \((x,y),\) których elementy są liczbami naturalnymi \(x,y\) względnie pierwszymi, spełniającymi warunki \({0<x<y\le{n}},\) \({x+y>n}.\) Obliczyć (w zależności od \(n\)) sumę odwrotności iloczynów \(xy\) utworzonych z par \({(x,y)\in{M_n}}.\)
928. Niech \(j(k)\) oznacza liczbę jedynek w rozwinięciu dwójkowym liczby naturalnej \(k.\) Dla danych liczb naturalnych \(a,b\) rozważamy ciąg określony wzorem \[j(na)-j(nb),\ \ \ n=1,2,3,\ldots.\] Udowodnić, że ten ciąg jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz \(a/{b}\) jest potęgą dwójki o wykładniku całkowitym.
Zadanie 928 zaproponował pan Michał Adamaszek z Kopenhagi.
Rozwiązania zadań z numeru 6/2026
Przypominamy treść zadań:
923. Wyznaczyć wszystkie pary liczb naturalnych \(k,m\) takie, że \({k!(k!+6)=3m!}.\)
924. Niech \(n\) będzie ustaloną liczbą naturalną; \({n\ge2}.\) Funkcje \(f,\) \(g\) są określone wzorami: \({f(x)=x^n-x},\) \({g(x)=x^{2n}-x}.\) Liczby rzeczywiste \(a,\) \(b\) spełniają warunki: \({f(a)=1},\) \({g(b)=3a}.\) Ustalić (w zależności od \(n\)), która z liczb \(a,\) \(b\) jest większa.
923.
Obliczając wartości lewej strony dla niewielkich \(k,\) znajdujemy dwie pary \((k,m)\) o wymaganej własności: \((3,4)\) oraz \((5,7).\) Wykażemy, że innych nie ma. Przypuśćmy, że istnieje taka para, w której \({k\ge6}.\) Jasne, że \({k<m}.\) Zadane równanie przepisujemy w postaci
\[k!+6=3\biggl(\prod_{j=k+1}^n j\biggr).\]
Jeśli \({m\ge k+3},\) to iloczyn ujęty w nawias dzieli się przez 3, czyli prawa strona napisanej równości dzieli się przez 9, a lewa nie (bo gdy \({k\ge6},\) to \(k!\) dzieli się przez 9). Stąd wniosek, że \({m=k+1}\) lub \({m=k+2}.\) Badane równanie sprowadza się do alternatywy
\[k!+6=3(k+1)\ \ \ \ \hbox{lub}\ \ \ \ k!+6=3(k+1)(k+2);\]
po prostym przekształceniu:
\[k(k-2)!=3\ \ \ \ \hbox{lub}\ \ \ \ (k-1)!=3(k+3).\]
Pierwszy wariant daje sprzeczność natychmiast (rozważamy \({k\ge6}\)). Drugi – też, bo dla \({k\ge6}\) zachodzi nie równość, lecz nierówność
\({(k-1)!>3(k+3)}\) (dla \({k=6}\) prawda, a dalej banalna indukcja).
Stąd odpowiedź: istnieją dwie pary \((k,m),\) o jakie chodzi \((3,4)\) i \((5,7).\)
924. Zaczniemy od wykazania, że \({a\ge1}.\) Przydatne będą własności: \[\begin{aligned} & (1)\quad 0\ge f(x),g(x)>-1\;\;\hbox{dla}\;\;x\in[0,1); \\%&(1)\cr & (2)\quad \hbox{funkcje}\;\;f,\;g\;\;\hbox{są ściśle}\;\;\hbox{rosnące w~przedziale}\;[1,\infty); \\%&(2)\cr & (3)\quad f(x),\;g(x)\ge0\;\;\hbox{dla}\;\;x\in[1,\infty); % \end{aligned}\] własność (1) wynika z tego, że \({0\le x^{2n}\le x^n\le x<1}\) dla \({x\in[0,1)}\); własność (2) jest widoczna z przedstawień \({f(x)=x(x^{n-1}-1)},\) \({g(x)=x(x^{2n-1}-1)}\); zaś (3) to wniosek z (2). Liczba \(a,\) dla której \({f(a)=1},\) nie leży więc w przedziale \([0,1).\)
Przypuśćmy wobec tego, że \({a<0}.\) Wówczas \({b=b^{2n}-g(b)=b^{2n}-3a>0}.\) Stąd (wobec (1) i (3)) \({g(b)>-1},\) czyli \({a=\frac13g(b)\in(-\frac13,0)}.\) Jeśli \(n\) jest liczbą parzystą, to \({a^n<\frac19},\) więc \({f(a)=a^n-a<\frac19+\frac13},\) wbrew temu, że \({f(a)=1}.\) Jeśli natomiast \(n\) jest liczbą nieparzystą, to funkcja \(f\) jest nieparzysta, zatem \({f(-a)=-f(a)=-1}\); ale \({-a\in(0,\frac13)}\) i mamy sprzeczność z własnością (1).
Tak więc (niezależnie od \(n\)) \({a\ge1}\); przy tym \({a\ne1}\) (bo \({f(1)\ne1}\)). Rozważmy przypadek, gdy również \({b\ge1}.\) Skoro \({f(a)=1},\) czyli \({a^n=a+1},\) zatem \[g(a)=a^{2n}-a=(a+1)^2-a=3a+(a-1)^2>3a=g(b).\] Wobec własności (2), \({a>b}.\) W pozostałym przypadku, czyli gdy \({b<1},\) tym bardziej \({a>b}.\) Stąd odpowiedź: niezależnie od \(n,\) liczba \(a\) jest większa od \(b.\)
Uwaga. Rozwiązanie zadania 921 (\(\Delta^9_{26}\)) nie jest poprawne. Wariant poprawiony zostanie pokazany (z komentarzem) w następnym numerze. Za niedopatrzenie przepraszamy.
Zadania z fizyki nr 824, 825
Termin nadsyłania rozwiązań: 31 XII 2026
Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA
824. Przez dwa nieruchome bloki, odległe od siebie o \(2l,\) przerzucona została bardzo długa nieważka nić, na której końcach zawieszono jednakowe ciężarki o danych masach \(m\) (rys. 1). Rozmiary bloków są małe w porównaniu z odległością między nimi. W środku, między blokami, wisi na nici ciężarek o masie \(M,\) którego punkt zawieszenia \(O\) utrzymywany jest początkowo na wysokości bloków, a następnie zostaje oswobodzony.
Jaki warunek musi spełniać masa \(M,\) aby środkowy ciężarek ciągle się opuszczał? Jaką maksymalną prędkość może on wtedy osiągnąć?
Jeżeli pierwszy warunek nie jest spełniony, to przy jakiej wartości kąta \(\alpha\) między nachylonymi odcinkami nici a pionem środkowy ciężarek zatrzyma się i zacznie się podnosić?
825. Rozważmy wiązkę jednakowych jąder, które lecą równolegle do siebie z prędkościami \(v_0.\) Jądra rozpadają się samorzutnie na dwa identyczne fragmenty. Te fragmenty, które lecą w tym samym kierunku co jądra, mają wartość prędkości \(v_1.\)
Znaleźć prędkość fragmentów, które poruszają się w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu jąder, gdy \(v_1 > 2v_0.\)
Znaleźć maksymalny możliwy kąt między wektorami prędkości jednego z fragmentów i kierunkiem ruchu jąder, gdy \(v_1 < 2v_0.\)
Rys. 1
Rys. 2
Rys. 3
Rys. 4
Rys. 5
Rozwiązania zadań z numeru 6/2026
Przypominamy treść zadań:
820. Punktowe źródło światła monochromatycznego, \(S,\) o długości fali \({\lambda=6000}\)Å umieszczono między dwoma nieruchomymi równoległymi zwierciadłami płaskimi, odległymi od siebie o \(b=3\) cm (rys. 2). W dużej odległości \(l=1\) m od źródła umieszczono ekran \(E_{1},\) na którym powstaje obraz interferencyjny, utworzony przez dwie wiązki światła odbite od zwierciadeł. Bezpośredni strumień światła od źródła zasłonięty jest ekranem \(E_{2}.\) W płaszczyźnie ekranu \(E_{1}\) na osi symetrii układu \(AA'\) umieszczony jest odbiornik \(O,\) który rejestruje sygnał proporcjonalny do natężenia padającego na niego światła. Rozmiar odbiornika jest mały w porównaniu z szerokością pasm interferencyjnych na ekranie \(E_{1}.\) Uwzględniając tylko jednokrotne odbicia światła od zwierciadeł, znaleźć częstotliwość zmiennego sygnału rejestrowanego przez odbiornik podczas ruchu źródła w kierunku prostopadłym do zwierciadeł z prędkością \(v=0,\)1 mm/s.
821. Okrągłą płytkę o średnicy \(d=40\) mm i grubości \(a=0,\)5 mm położono ostrożnie na powierzchni wody. Dzięki napięciu powierzchniowemu płytka nie utonęła, a w miejscu zetknięcia jej górnej powierzchni z powierzchnią wody kąt między nimi okazał się równy 90\(^{\circ}\) (rys. 3). Wyznaczyć gęstość materiału płytki. Współczynnik napięcia powierzchniowego wody \(\sigma=0,\)073 N/m.
820. Rozważmy sytuację, gdy źródło znajduje się na osi symetrii układu. Obserwujemy interferencję od dwóch źródeł pozornych \(S_{1}\) i \(S_{2}\), będących obrazami źródła w zwierciadłach 1 i 2. Odległość między nimi wynosi \(2b\) i jest dużo mniejsza od odległości między źródłem a ekranem \(E_{1}\). Możemy więc stosować przybliżenie małych kątów, a szerokość pasma interferencyjnego, czyli odległość między sąsiednimi maksimami, jest stała i wynosi \[\Delta y = y_{k + 1} - y_{k} = l{\lambda}/(2b).\] Gdy źródło znajduje się w odległości \(\Delta x\) od osi symetrii \(AA'\) (rys. 4), odległość między obrazami \[\left| S_{1}S_{2} \right| = 2\left( {b}/{2} - \Delta x \right) + 2\left( {b}/{2} + \Delta x \right) = 2b\] pozostaje niezmieniona. Oś symetrii tego układu jest przesunięta o \(\Delta x\) względem osi \(AA'\). Gdy \(\Delta x = \Delta y\), odbiornik w punkcie \(O\ \)rejestruje maksimum sygnału i w odstępach czasu \(\Delta t = {\Delta x}/{v}\) następne (\(v \ll c)\). Szukana częstotliwość wynosi \[\nu = {v}/(\Delta y) = {2bv}/(\lambda l) = 10\ \rm Hz .\]
821. Warunek równowagi sił działających na płytkę w kierunku pionowym ma postać: \[mg - \Delta pS - F = 0 ,\] gdzie \(mg\) jest siłą ciężkości, \(\Delta p\) różnicą ciśnień na płytkę z dołu i z góry, \(F\) siłą napięcia powierzchniowego. Masa płytki wyraża się przez jej szukaną gęstość \(\rho\) wzorem \[m = \rho ga{\pi d^{2}}/{4 }.\] Siła napięcia powierzchniowego działająca na płytkę ze strony wody wynosi \[F = \sigma\pi d.\] Siła związana z różnicą ciśnień wywołaną obniżeniem poziomu wody pod płytką ma postać \[\Delta pS = \rho_{w}g(H + a)\pi d^{2},\] gdzie \(\rho_{w}\) jest gęstością wody, \(H\) głębokością zanurzenia górnej powierzchni płytki. Wielkość \(H\) wyznaczymy z warunku równowagi sił w kierunku poziomym na wydzielony na rysunku 5 element objętości wody o szerokości \(\Delta y \ll d\) i wysokości \(H\): \[\sigma\Delta y = p_{\text{śr}}\Delta S = \rho_{w}g\left( {H}/{2} \right)H\Delta y,\] stąd \(H = \sqrt{{2\sigma}/(\rho_{w}g)}\).
Po skorzystaniu z równań (2)–(5) równanie równowagi płytki (1) przybiera postać: \[\frac{\rho ag \pi d^{2}}4 - \rho_{w}g\left( \sqrt{\frac{2\sigma}{\rho_{w}g}} + a\right)\frac{\pi d^{2}}{4} - \sigma\pi d = 0 ,\] a stąd gęstość materiału płytki: \[\rho = \rho_{w} + \frac{\sqrt{{2\sigma\rho_{w}}/{g}}}{a} + \frac{4\sigma}{adg} \approx 10^{4}\,\rm\frac{kg}{m^{3}}.\]