Mało przekątnych – duży problem

Ile przekątnych może mieć wielościan wypukły?

Może ich nie mieć wcale. Na przykład ostrosłup nie ma przekątnych. Jeśli natomiast do jednej ściany bocznej ostrosłupa $(n+2)$-kątnego tak dokleimy czworościan, aby otrzymany wielościan był wypukły i miał $n+5$ ścian, to ten wielościan będzie miał $n$ przekątnych. Tak możemy w szczególności otrzymać wielościan z jedną przekątną oraz wielościan z dwiema przekątnymi.

Czy istnieją inne wielościany wypukłe z jedną przekątną? A z dwiema przekątnymi?

Wiemy, że istnieją co najmniej 3 wielościany wypukłe z jedną przekątną oraz co najmniej 8 wielościanów z dwiema przekątnymi. Poniżej podajemy ich opis. Wszystkie prezentowane wielościany otrzymujemy z graniastosłupa trójkątnego po odcięciu od niego jednego lub dwóch czworościanów.

Prawdopodobnie są to już wszystkie takie wielościany. Nie znamy dowodu, że nie ma ich więcej.

Podanie opisu wszystkich wielościanów z jedną i wszystkich wielościanów z dwiema przekątnymi wraz z dowodem, że to są rzeczywiście wszystkie takie wielościany, mogłoby być treścią ciekawej pracy, godnej zgłoszenia na Konkurs Uczniowskich Prac z Matematyki, którego 46. edycja zapowiadana jest na tylnej okładce niniejszego wydania Delty.

Wielościany wypukłe z jedną przekątną

Przykład 1
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościany $CDKF$ i $BDKE$. Przekątna to $AK$.

Uwaga: Na wielościan ten można także patrzeć jak na dwa czworościany, $BCDA$ i $BCDK$, o wspólnej ścianie $BCD$.

Przykład 2
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościan $CDKF$.

Przekątna to $AK$.

Przykład 3
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościan $MDKF$.

Przekątna to $AK$.

Przyjmujemy oznaczenia:
$k$: liczba krawędzi wielościanu,
$w$: liczba wierzchołków,
$w_n$: liczba wierzchołków, w których schodzi się $n$ krawędzi,
$s$: liczba ścian,
$s_n$: liczba ścian $n$-kątnych.

Zestawienie parametrów trzech wielościanów wypukłych z jedną przekątną.

Wielościany wypukłe z dwiema przekątnymi

Przykład 4
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościan $CKLF$.

Przekątne to $KE$ i $LD$.

Przykład 5
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościan $CKLM$.

Przekątne to $KE$ i $LD$.

Przykład 6
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościany $CALF$ i $DBEK$. Przekątne to $KA$ i $LD$.

Przykład 7
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościany $CALF$ i $DMEK$. Przekątne to $KA$ i $LD$.

Przykład 8
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościany $CALN$ i $DMEK$. Przekątne to $KA$ i $LD$.

Przykład 9
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościany $CDLF$ i $DBEK$. Przekątne to $KA$ i $LA$.

Przykład 10
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościany $CDLF$ i $DMEK$. Przekątne to $KA$ i $LA$.

Przykład 11
Od graniastosłupa trójkątnego odcinamy czworościany $NDLF$ i $DMEK$. Przekątne to $KA$ i $LA$.

Poniżej zestawienie parametrów ośmiu wielościanów wypukłych z dwiema przekątnymi.

Typ X to taki wielościan, że dwie jego przekątne nie mają wspólnego wierzchołka, typ V to taki wielościan, że dwie jego przekątne mają wspólny wierzchołek.