Autor: Nauczyciel, Warszawa
W niniejszym tekście zapoznamy się z sytuacjami, w których interesującą rolę odgrywa wiedza lub niewiedza pojawiających się postaci. Istotna może być też ich wiedza o niewiedzy innych itd. Prezentowane scenariusze to właściwie zagadki, w związku z tym najwięcej radości można uzyskać, próbując rozwiązać je samodzielnie przed przeczytaniem wyjaśnienia.
Geniusze
Dwóm geniuszom wręczono – w wielkiej tajemnicy – po jednej liczbie naturalnej, przy czym wiadomo było, że są to liczby różniące się dokładnie o 1. Geniusze siedzą naprzeciwko siebie i na zmianę zadają sobie nawzajem pytanie: ,,Czy znasz moją liczbę?”. Uzasadnij, że prędzej czy później padnie odpowiedź twierdząca.
Wyjaśnienie. Geniusza, który jako pierwszy zadaje pytanie, nazwijmy Alojzem, a drugiego – Bernardem. Gdyby Bernard miał liczbę 0, to znałby liczbę Alojza. Istotnie, jedyną liczbą naturalną sąsiadującą z zerem jest \(1.\) Zatem, odpowiadając negatywnie, Bernard podaje do publicznej informacji, że jego liczbą nie jest \(0.\) Podobnie zapytany wówczas Alojz, jeśli nie odpowie twierdząco, to ujawnia informację, iż jego liczba nie jest równa \(0.\) Analogicznie, kolejne dwie negatywne odpowiedzi wykluczają u obu geniuszy liczbę \(1,\) a jeszcze kolejne – liczbę \(2\) itd. Ogólnie, po \(2n\) pytaniach jest wiadomo, że nie jest możliwa żadna liczba mniejsza niż \(n.\) Jeżeli więc geniuszom wręczono liczby \(n\) oraz \(n+1,\) to nie później niż w tym momencie geniusz z mniejszą liczbą musi odpowiedzieć twierdząco. Istotnie, od początku wiedział, że drugi geniusz ma albo liczbę \(n-1,\) albo \(n+1,\) a pierwsza z nich została już wykluczona.
W przekonaniu autora, a więc i w tekście, 0 zalicza się do liczb naturalnych.
Niedzielni Wikingowie
Na odległej wyspie mieszkało dwustu Wikingów, o których powszechnie wiadomo, co następuje.
1) Każdy Wiking jest mistrzem logiki.
2) Każdy z nich jest bohaterem albo tchórzem. Te dwa rodzaje Wikingów będziemy określać typami, a samą cechę – dzielnością.
3) Żaden z nich nie zna swojego typu. (Z własnej perspektywy nawet paniczna ucieczka może przypominać błyskotliwe natarcie, a zeznania kolegów nie muszą być wiarygodne).
4) Każdy zna typ każdego z pozostałych. (Patrząc trzeźwo, da się odróżnić paniczną ucieczkę od błyskotliwego natarcia).
5) Wiking, który w jakiś sposób wywnioskuje, że jest tchórzem, przy najbliższym zachodzie słońca odpłynie samotnie, by zdobywać chwałę w nieznanych krainach.
Pewnego dnia, kiedy wszyscy Wikingowie przebywali w sali biesiadnej, ukazał się tam Godny Zaufania Odyn, który oznajmił im, że nie wszyscy są bohaterami. Przez pewien czas skutki objawienia nie ujawniały się, dopiero setnego dnia grupa zhańbionych Wikingów odpłynęła w siną dal. Ilu bohaterów mieszkało na wyspie?
W wyniku omawianych zdarzeń żaden z Wikingów nie doznał uszczerbku na zdrowiu. Każdy prędko wrócił ze swojej wyprawy, bo czegoś się tam przestraszył.
Wyjaśnienie. Rozwiązanie tej zagadki okazuje się zaskakująco podobne do poprzedniego.
Przypuśćmy, że na wyspie żył tylko jeden tchórz. Taki Wiking wiedziałby, że wszyscy pozostali są bohaterami, a więc z informacji od Odyna wywnioskowałby swój typ i odpłynął. W takim razie już drugiego dnia (tzn. nazajutrz od objawienia) staje się powszechnie wiadomym, że tchórzy na wyspie jest co najmniej dwóch. Ogólnie, jeżeli dnia \(n\)-tego było wiadomo, że tchórzy jest co najmniej \(n,\) to musi zdarzyć się jedna z dwóch rzeczy.
A) Jeśli tchórzy jest dokładnie \(n,\) to każdy z nich wie o \(n-1\) tchórzach wśród pozostałych Wikingów. Potrafi więc wywnioskować, że sam jest tchórzem, i uda się na wyprawę. Dotyczy to każdego Wikinga tchórzliwego typu, skąd wynika, że numer dnia jest równy liczbie tchórzy.
Również bohaterowie mogą odetchnąć z ulgą dopiero w dniu masowego wypłynięcia mniej dzielnych Wikingów.
B) Jeżeli tchórzy jest więcej niż \(n,\) to nikt nie może ustalić swojego typu, więc nie wyrusza na wyprawę. Wobec A) oznacza to jednak, że dnia \(n+1\) wszyscy już wiedzą, że liczba tchórzy wynosi co najmniej \(n+1.\)
Widzimy więc, że na wyspie musiało żyć dokładnie stu tchórzy, a więc także stu bohaterów… oczywiście zakładając, że informacja przekazana przez Odyna była zgodna z prawdą. Uzupełnienie tej luki stanowi treść jednego z zadań.
Historia ta jest o tyle intrygująca, że Odyn na pozór nie podał Wikingom żadnej nowej informacji. Każdy przecież dobrze wiedział, że w ich gronie są tchórze. Jest to pewien paradoks, który, zdaniem autora, można jednak rozwiązać.
Żeby lepiej zrozumieć istotę tego niecodziennego zjawiska, wyobraźmy sobie wyspę, na której mieszkało tylko dwóch tchórzy. Wówczas rzeczywiście każdy wie o obecności tchórzy, ale pierwszy tchórz nie wie, że drugi wie! I właśnie tego dowiedziałby się dzięki objawieniu. Jeżeli tchórzy byłoby trzech, powiedzmy Alaf, Belaf i Celaf, to np. Alaf wie, że Belaf wie o obecności tchórzy, ale nie ma podstaw sądzić, że Belaf wie, że Celaf wie. Istotnie, Alaf, nie znając swojego typu, musi się liczyć z możliwością, że jedynymi tchórzami są Belaf i Celaf (a wówczas Belaf nie wiedziałby, że Celaf wie). Analogicznie uzasadniamy, że choć początkowo każdy wiedział o obecności tchórzliwych Wikingów, to dopiero po objawieniu stało się to wiedzą powszechną. To znaczy, że nie tylko każdy o tym wie, ale też każdy wie, że każdy wie, oraz każdy wie, że każdy wie, że każdy wie, i tak dalej… Ponadto każdy wie, w której chwili się ta wiedza upowszechniła. Dzięki temu możliwe jest przeprowadzenie przez mieszkańców wyspy całego opisanego powyżej rozumowania.
Omówiona tu sytuacja jest nieco zawiła, ale wierzymy w Czytelnika.
Zauważmy jeszcze, że do uruchomienia przedstawionej reakcji łańcuchowej wystarczyłoby podanie do publicznej wiadomości prostego wniosku ze stwierdzenia ,,są wśród nas tchórze i od teraz powszechnie o tym wiadomo”, mianowicie: ,,jeśli wśród nas jest tylko jeden tchórz, to odpłynie dziś”. Jest on wart wypowiedzenia, bo eksponuje znaczenie czasu i rozumowania nie wprost.
Córki
Rozmowa dawnych przyjaciół w autobusie:
– Kiedy ostatnio się widzieliśmy, byłeś krótko po ślubie. Doczekałeś się już dzieci?
– Owszem, mam trzy córki.
– Wspaniale! W jakim wieku?
– Iloczyn ich wieków, w latach, wynosi 36, a suma ich wieków jest równa liczbie pasażerów tego autobusu.
– Rozumiem, ale nadal nie wiem, ile mają lat.
– Najstarsza gra na pianinie.
– OK, teraz już wiem!
Ile lat mają rzeczone córki?
Wyjaśnienie. Liczba 36 jest iloczynem trzech liczb naturalnych na zaledwie kilka sposobów. Wypiszmy je, notując od razu sumy owych czynników.
\(36=1\cdot 1\cdot 36,\) suma 38
\(36=1\cdot 2\cdot 18,\) suma 21
\(36=1\cdot 3\cdot 12,\) suma 16
\(36=1\cdot 4\cdot 9,\) suma 14
\(36=1\cdot 6\cdot 6,\) suma 13
\(36=2\cdot 2\cdot 9,\) suma 13
\(36=2\cdot 3\cdot 6,\) suma 11
\(36=3\cdot 3\cdot 4,\) suma 10
Zauważmy, że dla uczestników rozmowy liczba pasażerów jest znana. Mimo to ustalenie wieków córek nie było od razu możliwe. Oznacza to, że pasażerów musiało być 13, ponieważ każda inna suma odpowiada tylko jednemu rozkładowi liczby 36 na czynniki.
Przy okazji, kiedy ci dwaj przyjaciele widzieli się poprzednim razem?
Biorąc to pod uwagę, rozumiemy już, w jaki sposób wtręt dotyczący gry na pianinie pozwolił ustalić wiek każdej z córek: istnienie najstarszej wyklucza rozkład \(1\cdot 6\cdot 6,\) pozostawiając tylko \(2\cdot 2\cdot 9.\)
A ty wiesz?
1. Popraw rozumowanie przedstawione w wyjaśnieniu zadania ,,Geniusze”, aby uzasadnić, że twierdząca odpowiedź musi paść nie później niż w \((n+2)\)-gim pytaniu (\(n\) nadal jest mniejszą z tajemniczych liczb).
Dziękuję Wojciechowi Przybyszewskiemu za zwrócenie mojej uwagi na fakt opisany w zadaniu 1.
Przyjrzyjmy się dokładniej wnioskom z drugiej negatywnej odpowiedzi. Otóż skoro Bernard nie ma liczby \(0\) (i już wie, że Alojz już o tym wie), to po odpowiedzi Alojza może wywnioskować nie tylko, że ten nie ma liczby \(0,\) ale też \(1.\) Istotnie, gdyby Alojz miał \(1,\) to Bernard musiałby mieć \(2.\) Rozumując analogicznie dla kolejnych etapów zabawy, dochodzimy do wniosku, że jeśli w pytaniu \(k\)-tym padła odpowiedź negatywna, to żaden z geniuszy nie może mieć liczby \(k-2\) ani mniejszej; w szczególności gdyby padło \(k=n+2\) przeczących odpowiedzi, to żaden nie mógłby mieć liczby \(k-2=n.\)
2. Dwóm geniuszom wręczono – w wielkiej tajemnicy – po jednej liczbie naturalnej, przy czym wiadomo, że są to liczby różniące się o: a) co najwyżej 3; b) dokładnie 3. Geniusze siedzą naprzeciwko siebie i na zmianę zadają sobie nawzajem pytanie: ,,Czy znasz moją liczbę?”. Czy jest pewne, że w końcu padnie twierdząca odpowiedź?
a) Nie. Ponieważ każda liczba (w tym 0, co kluczowe) może być sparowana z więcej niż jedną, więc pierwsza negatywna odpowiedź nie dostarcza żadnej nowej informacji. Wobec tego stan wiedzy każdego geniusza po pierwszym pytaniu jest dokładnie taki jak przed nim. Ten sam argument można więc zastosować do drugiego, trzeciego i każdego kolejnego pytania.
b) Tak! Odpowiedzi twierdzącej należy spodziewać się nawet wcześniej niż w oryginalnym scenariuszu. Bernard znałby liczbę Alojza, gdyby sam miał \(0, 1\) lub \(2.\) Zatem jeśli odpowie ,,nie”, to wiadomo już, że ma co najmniej 3. Dalszy ciąg argumentu jest analogiczny jak w głównym tekście artykułu.
3. Przypomnijmy sobie scenariusz zadania ,,Niedzielni Wikingowie”. Nadal jawnie obowiązują zasady 1)–5), a ponadto wiadomo, że grupa Wikingów wypłynęła setnego dnia po objawieniu. Uzasadnij, że deklaracja Odyna była zgodna z prawdą.
Otóż gdyby Odyn kłamał, znaczyłoby to, że na wyspie są sami bohaterowie. Każdy z nich widziałby poza sobą tylko bohaterów, zatem ufając Odynowi musiałby uznać siebie samego za tchórza. To oznacza, że gdyby Odyn kłamał, to wszyscy Wikingowie odpłynęliby już w dniu objawienia, a nie setnego dnia.
4. Przypomnijmy sobie scenariusz zadania ,,Niedzielni Wikingowie”. Jak zmieniłby się przebieg wydarzeń, gdyby któregoś dnia trzech Wikingów wybrało się na niezwiązaną z hańbą wyprawę trwającą trzy tygodnie? Ustal, jak odpowiedź zależy od numeru dnia i liczby tchórzy w owej trójce.
5. Podaj przykład liczby, którą można by zastąpić 36 w zadaniu ,,Córki”.
Naiwne poszukiwania nie są tu, niestety, zbyt owocne. Autor bezpośrednio (choć z pomocą komputera) sprawdził, że wśród liczb poniżej 100 dwa rozkłady na trzy czynniki o równej sumie mają jedynie \(40=1\cdot 5\cdot 8=2\cdot 2\cdot 10,\) \(90=1\cdot 9\cdot 10=2\cdot 3\cdot 15\) oraz \(96=1\cdot 8\cdot 12=2\cdot 3\cdot 16.\) Można także zauważyć, że szukana liczba nie może być pierwsza, nie może być też potęgą liczby pierwszej ani iloczynem dokładnie dwóch liczb pierwszych. Uzasadnienie tych wniosków nie jest trudne i zostawiamy je Czytelnikowi.
Spróbujmy więc dokładniej odtworzyć sytuację, która wystąpiła w zadaniu. (Nie twierdząc, że inna jest niemożliwa). Okazało się tam, że \(1\cdot 6\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 9\) oraz \(1+6+6=2+2+9.\) Spróbujmy więc znaleźć takie liczby \(a, b,\) że \({1+ab+ab=a+a+b^2}\) (równość \(1\cdot ab \cdot ab= a\cdot a\cdot b^2\) jest oczywista). Przekształcając, otrzymujemy \(2a(b-1)=b^2-1\) i w konsekwencji \(2a=b+1.\) Przykład w zadaniu otrzymujemy, kładąc \(a=2.\) Natomiast \(a=3\) prowadzi do liczby 225. Bezpośrednio można sprawdzić, że z liczbą \(225\) w miejscu \(36\) zadanie ,,Córki” nadal jest sensowne, a jego rozwiązanie przebiega analogicznie do przedstawionego w artykule. Otrzymane wyniki są też w granicach wiarygodności jako wiek człowieka.
6. Na niewielkiej wyspie mieszka \(n=\text{wiele}\) racjonalnych i genialnych lwów. Lew nigdy nie zje innego lwa i jest w stanie przeżyć, jedząc drobne wyspiarskie zwierzątka. Najsmaczniejsza jest jednak zaczarowana koza, która jako stworzenie bezbronne i pozbawione instynktu samozachowawczego znakomicie nadaje się na przystawkę. Kłopot w tym, że lew, który pożarłby zaczarowaną kozę, sam się w nią zamieni. Lwy nie mają nic przeciwko byciu kozą, natomiast bycie szybko zjedzoną kozą nie jest perspektywą ani trochę atrakcyjną. Znajdź wszystkie wartości liczby \(n,\) dla których koza zostanie zjedzona.
Gdyby na wyspie nie było lwów, koza byłaby bezpieczna. Oznacza to, że samotny lew może ją zjeść bez obawy o swój los (bo stanie się wtedy samotną, a więc bezpieczną, kozą). Jeśli więc na wyspie żyją dwa lwy, to koza jest bezpieczna: lew, który by ją zjadł, zostałby kozą na wyspie z jednym lwem, czyli kozą zjedzoną. Rozumując tak dalej, wnioskujemy, że koza jest bezpieczna, gdy liczba lwów \(n\) jest parzysta, a zjedzona, gdy \(n\) jest liczbą nieparzystą.
7. Lolek i Tola napisali na karteczkach po liczbie naturalnej, po czym przekazali je w tajemnicy Bolkowi. Bolek wziął dwie karteczki, na jednej z nich napisał sumę, a na drugiej – iloczyn otrzymanych liczb. Następnie zjadł obie otrzymane karteczki i jedną ze swoich, a pozostałą pokazał Lolkowi i Toli. Widniała na niej liczba 1282. ,,Nie wiem, jaką liczbę przekazałeś Bolkowi” – powiedziała Tola do Lolka. ,,Nie wiem, jaką liczbę przekazałaś Bolkowi” – powiedział Lolek do Toli. Jaką liczbę przekazał Bolkowi Lolek?
Oznaczmy liczbę Toli literą \(t,\) a Lolka – \(l.\) Skoro Tola nie znała \(l,\) to znaczy, że \(t\) jest dzielnikiem liczby 1282. Istotnie, w przeciwnym razie nie mogłaby zachodzić równość \(1282=t\cdot l,\) zatem mielibyśmy \(1282=t+l\) i stąd \(l=1282-t\) – o czym wiedziałaby Tola. Podobnie jak \(t,\) także \(l\) musi być dzielnikiem liczby 1282. Ponadto \(t\geq 1282/2,\) gdyż gdyby było \(t<1282/2\) i \(t+l=1282,\) to \(l>1282/2.\) Jedynym dzielnikiem liczby naturalnej większym od jej połowy jest ona sama, zatem Lolek wiedziałby, że \(t=1282.\) Nie może też mieć liczby 1282, bo wówczas wiedziałby, że \(t=1.\) Liczba Lolka musi więc być równa \(1282/2=641.\) W tym zadaniu kuszące jest wypisanie dzielników liczby 1282. Okazuje się jednak, że nie jest to czynność niezbędna; istotnie, powyższy argument pozostaje skuteczny po zastąpieniu liczby 1282 dowolną inną liczbą parzystą, niezależnie od jej dzielników.