Poszukiwanie odpowiedzi na trudne pytania może prowadzić do narodzin nowej teorii. Oto dwa odkrycia, które miały wpływ na powstanie teorii szeregów.
Nicole Oresme około 1350 roku zauważył, że skoro dla to
Wykazał więc, że suma jest nieskończona.
Trudno to przewidzieć, obliczając sumy początkowych wyrazów,
bo dopiero dla
A co można powiedzieć o sumie ?
Problem wyznaczenia jej wartości okazał się trudny.
Na odpowiedź przyszło nam czekać do drugiej
połowy XVII wieku. Można jej upatrywać w pracach Johannesa Hudda (1656),
Izaaka Newtona (1665), Nikolausa Mercatora,
Johna Wallisa i Jamesa Gregory’ego (1668) nad kwadraturą
hiperboli, tj. obliczaniem pola między osią a wykresem funkcji
gdy (gdy zastosujemy współczesne
oznaczenia i nazewnictwo).
Przedstawimy teraz elementarny dowód tego,
że
Niech
dla Oczywiście
Ponadto
co wykażemy za pomocą nierówności Jacoba Bernoulliego (1689): dla i naturalnego
(znanej już Newtonowi czy René-François de Sluse). Mamy bowiem
Stwierdzenia i gwarantują istnienie granic ciągów i
Ponieważ więc granice te są równe – ich
wspólną wartość oznaczymy jako (jest to słynna liczba Eulera).
Ponownie powołując się na i , wnioskujemy, że
czyli
Zauważmy teraz, że
Z własności funkcji wykładniczej mamy
zatem z nierówności
otrzymujemy oszacowanie gdzie
Zatem
Powyższa nierówność dowodzi, że
Określenie logarytmu naturalnego i ciągłość funkcji wykładniczej ()
zapewniają, że Ponieważ,
gdy
więc
co kończy dowód.
Do wyznaczenia przybliżonej wartości warto użyć szybciej zbieżnego
rozwinięcia. James Gregory (1668) do
obliczania logarytmów stosował równość
Zatem
Suma pierwszych trzech składników daje przybliżenie z błędem
względnym równym około Aby osiągnąć taką dokładność,
potrzebowalibyśmy zsumować ponad 3000 pierwszych składników sumy
.
Rachunek całkowy, sformułowany w czasach, o których
piszemy, pozwalał otrzymywać ogólniejsze rezultaty. Dla
Całkując to wyrażenie wyraz po wyrazie, mamy
Jeśli
to gdy
a wtedy
Przyjmując otrzymujemy .
Z notatek znalezionych po śmierci Newtona wynika, że około 1665 roku znał on już
rozwinięcie
i w elegancki
sposób obliczył wartości do 57 miejsca po
przecinku. Uzyskane wyniki zachował jednak w tajemnicy.
Podane rozwinięcie daje dobre rezultaty dla małych wartości dodatnich lub ujemnych, więc Newton obliczył
przybliżone wartości dla
a następnie wykorzystał równości
Chapeau bas!