Elegancki dowód twierdzenia Ptolemeusza

Twierdzenie Ptolemeusza, udowodnione przez Klaudiusza Ptolemeusza (100 – około 168), ma następującą postać:

W czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych jest równy sumie iloczynów długości przeciwległych boków (patrz rysunek na marginesie).

Twierdzenie to ma wiele znanych dowodów, niektóre z nich można znaleźć w Wikipedii. Celem tej notki jest zaprezentowanie pięknego dowodu, autorstwa W. Derricka i J. Hersteina, który został przedstawiony jako ,,dowód bez słów”, zawierający jedynie dwa z poniższych rysunków: pierwszy i trzeci. Aby wyjaśnić szczegóły, dodaliśmy jeszcze jeden rysunek.

W dowodzie wykorzystujemy następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Kąty wpisane w okrąg oparte na tej samej cięciwie są równe.

Oznaczmy kąty jak na rysunku poniżej. Podwójne wystąpienia $\alpha ,\beta ,\gamma$ i $\delta$ są uzasadnione przez powyższe twierdzenie. Na przykład oba kąty wpisane oznaczone przez $\alpha$ są oparte na boku długości $a.$

Aby udowodnić twierdzenie Ptolemeusza, wybierzemy teraz z oryginalnego rysunku trzy trójkąty, które odpowiednio obrócimy.

Następnie przeskalujemy je odpowiednio przez $a,$ $f$ i $b,$ aby mogły być ułożone obok siebie i aby utworzyć poniższy rysunek, w którym ponownie wykorzystujemy oryginalne oznaczenia kątów.

Zauważmy, że $ac$ i $bd$ leżą na tej samej linii, ponieważ $\beta +\gamma +\delta +\alpha ={180}^{\circ },$ co wynika z tego, że suma kątów oryginalnego czworokąta to $2(\alpha +\beta +\gamma +\delta )={360}^{\circ }.$ Zatem powyższy rysunek przedstawia czworokąt.

Oznaczenia kątów również ujawniają, że pary przeciwległych kątów czworokąta są równe: oba są równe $\alpha +\delta$ lub $\beta +\gamma .$ Zatem ten czworokąt jest równoległobokiem. Jego przeciwległe boki są równej długości, zatem $ac+bd=ef.$

Ciekawą, prostą konsekwencją tego twierdzenia jest następująca obserwacja.

Twierdzenie. W pięciokącie foremnym z bokami o długości $a$ i przekątnymi o długości $b,$ zachodzi $\frac{b}{a}=\varphi ,$ gdzie $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ jest tzw. złotą liczbą.

Aby udowodnić to twierdzenie, przypomnijmy, że złota liczba $\varphi$ spełnia równanie $1+\varphi ={\varphi }^2,$ i rozważmy czworokąt z bokami $a,a,a,$ i $b$ (z przekątnymi $b$ i $b$). Z twierdzenia Ptolemeusza $a^2+ab=b^2.$ Dzieląc obie strony przez $a^2,$ otrzymujemy równanie: $$1+\frac{b}{a}=(\frac{b}{a}{)}^2.$$ To oznacza, że $\frac{b}{a}$ spełnia to samo równanie co złota liczba. Ponieważ to równanie kwadratowe ma tylko jedno dodatnie rozwiązanie, zachodzi $\frac{b}{a}=\varphi .$

Tekst oparty na załączniku 7 z książki: Krzysztof R. Apt, “A Brief History of Mathematics for Curious Minds”, World Scientific, 2024. Rysunki zostały stworzone przez Magdalenę Kycler i Piotra Sitka.