Afiliacja: Uniwersytet im. A. Mickiewicza w Poznaniu
Tożsamość algebraiczna to równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Najbardziej znanymi przykładami tożsamości algebraicznych są wzory skróconego mnożenia. O pewnych szczególnych tożsamościach algebraicznych, związanych z sumą trzech sześcianów, pisałem już w kąciku nr 13 w \(\Delta_{20}^1\).
Znanymi przykładami są również: tożsamość Diofantosa (znana też jako tożsamość Brahmagupty–Fibonacciego) \[(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2+(ad-bc)^2\] oraz tożsamość Sophie Germain \[x^4+4y^4 = (x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2).\] Obu tym tożsamościom poświęcono artykuły w gazetce Kwadrat, w numerach, odpowiednio, 2 i 16.
W niektórych zadaniach, jakie tu przedstawiam, wystarczy skorzystać z gotowej, mniej lub bardziej znanej tożsamości. W innych – trzeba taką tożsamość odkryć.
Przykład 1. Liczby wymierne \(x,y,z\neq0\) spełniają równość \(\frac1x+\frac1y+\frac1z=0.\) Wykazać, że \(x^2+y^2+z^2\) jest kwadratem liczby wymiernej.
Rozwiązanie. Mnożąc równość \(\frac1x+\frac1y+\frac1z=0\) przez \(xyz,\) otrzymujemy \({xy+yz+zx=0}.\) W takim razie \[x^2+y^2+z^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx = (x+y+z)^2.\]
Przykład 2. Dowieść, że iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych powiększony o \(1\) jest kwadratem liczby całkowitej.
Rozwiązanie. Chcemy udowodnić, że dla pewnego całkowitego \(k\) zachodzi równość \[n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = k^2.\] Ponieważ \(k^2-1=(k-1)(k+1),\) musimy zapisać \({n(n+1)(n+2)(n+3)}\) jako iloczyn dwóch liczb różniących się o \(2.\) Po chwili odkrywamy, że \({n(n+3)=n^2+3n}\) oraz \((n+1)(n+2)=n^2+3n+2.\)
Zadania
1. Dane są takie liczby rzeczywiste \(x\) i \(y,\) że liczby \(x+y\) i \(x^2+y^2\) są wymierne. Udowodnić, że dla każdego całkowitego dodatniego \(n\) liczba \(x^n+y^n\) jest wymierna.
\(x^{n+1}+y^{n+1} = (x+y)(x^n+y^n) - xy(x^{n-1}+y^{n-1}).\)
2. Liczby rzeczywiste \(x,\) \(y,\) \(z\) spełniają równość \(xy^2+yz^2+zx^2=x^2y+y^2z+z^2x.\) Wykazać, że pewne dwie spośród liczb \(x,\) \(y,\) \(z\) są równe.
\(xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x = (x-y)(y-z)(z-x).\)
3. Niech \(a,\) \(b,\) \(c\) będą trzema różnymi liczbami rzeczywistymi. Wykazać, że jeśli pewne dwie spośród liczb \[\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}, \ \ \ \frac{b+c}{b^2+bc+c^2}, \ \ \ \frac{c+a}{c^2+ca+a^2}\] są równe, to wszystkie te trzy liczby są równe (68 OM).
\(\dfrac{a+b}{a^2+ab+b^2} = \dfrac{a^2-b^2}{a^3-b^3},\) podobnie pozostałe. Teraz wystarczy skorzystać z faktu, że jeśli \(\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=z,\) to \(\dfrac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=z.\)
4. Liczby całkowite \(a,\) \(b,\) \(c\) mają sumę równą \(0.\) Udowodnić, że \(5abc\mid a^5+b^5+c^5.\)
\(a^5+b^5-(a+b)^5 = -5ab(a+b)(a^2+ab+b^2).\)
5. Dane są liczby całkowite \(a,\) \(b,\) \(c\) oraz liczba pierwsza \(p\neq5,\) dzieląca \(a+b+c\) oraz \(a^5+b^5+c^5.\) Udowodnić, że co najmniej jedna z liczb: \(a^2+b^2+c^2\) lub \(a^3+b^3+c^3\) dzieli się przez \(p\) (61 OM).
\(5(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) = \)\(6(a^5+b^5+c^5) -(a^3+b^3+c^3-2a^2b-2ab^2-2b^2c-2bc^2-2c^2a-2ca^2+6abc)(a+b+c)^2\)
6. Niech \(n\ge2\) będzie liczbą całkowitą dodatnią. Udowodnić, że \(2^{4n+2}+1=abc\) dla pewnych liczb naturalnych \(a,b,c>1.\)
Wykazać, np. za pomocą kongruencji, że \(5\mid2^{4n+2}+1.\) Ponadto \(2^{4n+2}+1 = 1^4+4(2^n)^4,\) więc można użyć tożsamości Sophie Germain.
7. Niech \(a_1<a_2<\ldots<a_n\) oraz \[\frac1{(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_n)} = \frac{A_1}{x+a_1}+\frac{A_2}{x+a_2}+\ldots+\frac{A_n}{x+a_n}.\] Dowieść, że liczby \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) są kolejno, na zmianę, dodatnie i ujemne.
Można użyć indukcji oraz równości \(\dfrac1{(x+a_1)\ldots(x+a_{n-1})} - \dfrac1{(x+a_2)\ldots(x+a_n)} = \dfrac{a_n-a_1}{(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_n)}.\)