Delta 11/2024

Tożsamości algebraiczne

Bartłomiej Bzdęga

matematyka algebra szkoła

Tożsamość algebraiczna to równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Najbardziej znanymi przykładami tożsamości algebraicznych są wzory skróconego mnożenia. O pewnych szczególnych tożsamościach algebraicznych, związanych z sumą trzech sześcianów, pisałem już w kąciku nr 13 w $Δ_{20}^{1}$ .

Znanymi przykładami są również: tożsamość Diofantosa (znana też jako tożsamość Brahmagupty–Fibonacciego) $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2}$ oraz tożsamość Sophie Germain $x^{4} + 4 y^{4} = (x^{2} - 2 x y + 2 y^{2}) (x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}) .$ Obu tym tożsamościom poświęcono artykuły w gazetce Kwadrat, w numerach, odpowiednio, 2 i 16.

W niektórych zadaniach, jakie tu przedstawiam, wystarczy skorzystać z gotowej, mniej lub bardziej znanej tożsamości. W innych – trzeba taką tożsamość odkryć.

Przykład 1. Liczby wymierne $x, y, z \neq 0$ spełniają równość $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0.$ Wykazać, że $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ jest kwadratem liczby wymiernej.

Rozwiązanie. Mnożąc równość $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ przez $x y z,$ otrzymujemy $x y + y z + z x = 0 .$ W takim razie $x^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 z x = (x + y + z)^{2} .$

Przykład 2. Dowieść, że iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych powiększony o $1$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie. Chcemy udowodnić, że dla pewnego całkowitego $k$ zachodzi równość $n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = k^{2} .$ Ponieważ $k^{2} - 1 = (k - 1) (k + 1),$ musimy zapisać $n (n + 1) (n + 2) (n + 3)$ jako iloczyn dwóch liczb różniących się o $2.$ Po chwili odkrywamy, że $n (n + 3) = n^{2} + 3 n$ oraz $(n + 1) (n + 2) = n^{2} + 3 n + 2.$

Zadania

1. Dane są takie liczby rzeczywiste $x$ i $y,$ że liczby $x + y$ i $x^{2} + y^{2}$ są wymierne. Udowodnić, że dla każdego całkowitego dodatniego $n$ liczba $x^{n} + y^{n}$ jest wymierna.

Wskazówka

$x^{n + 1} + y^{n + 1} = (x + y) (x^{n} + y^{n}) - x y (x^{n - 1} + y^{n - 1}) .$

2. Liczby rzeczywiste $x,$ $y,$ $z$ spełniają równość $x y^{2} + y z^{2} + z x^{2} = x^{2} y + y^{2} z + z^{2} x .$ Wykazać, że pewne dwie spośród liczb $x,$ $y,$ $z$ są równe.

Wskazówka

$x y^{2} + y z^{2} + z x^{2} - x^{2} y - y^{2} z - z^{2} x = (x - y) (y - z) (z - x) .$

3. Niech $a,$ $b,$ $c$ będą trzema różnymi liczbami rzeczywistymi. Wykazać, że jeśli pewne dwie spośród liczb $\frac{a + b}{a^{2} + a b + b^{2}}, \frac{b + c}{b^{2} + b c + c^{2}}, \frac{c + a}{c^{2} + c a + a^{2}}$ są równe, to wszystkie te trzy liczby są równe (68 OM).

Wskazówka

$\frac{a + b}{a^{2} + a b + b^{2}} = \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{3} - b^{3}},$ podobnie pozostałe. Teraz wystarczy skorzystać z faktu, że jeśli $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = z,$ to $\frac{x_{1} + x_{2}}{y_{1} + y_{2}} = z .$

4. Liczby całkowite $a,$ $b,$ $c$ mają sumę równą $0.$ Udowodnić, że $5 a b c ∣ a^{5} + b^{5} + c^{5} .$

Wskazówka

$a^{5} + b^{5} - (a + b)^{5} = - 5 a b (a + b) (a^{2} + a b + b^{2}) .$

5. Dane są liczby całkowite $a,$ $b,$ $c$ oraz liczba pierwsza $p \neq 5,$ dzieląca $a + b + c$ oraz $a^{5} + b^{5} + c^{5} .$ Udowodnić, że co najmniej jedna z liczb: $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ lub $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ dzieli się przez $p$ (61 OM).

Wskazówka

$5 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{3} + b^{3} + c^{3}) =$ $6 (a^{5} + b^{5} + c^{5}) - (a^{3} + b^{3} + c^{3} - 2 a^{2} b - 2 a b^{2} - 2 b^{2} c - 2 b c^{2} - 2 c^{2} a - 2 c a^{2} + 6 a b c) (a + b + c)^{2}$

6. Niech $n \geq 2$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Udowodnić, że $2^{4 n + 2} + 1 = a b c$ dla pewnych liczb naturalnych $a, b, c > 1.$

Wskazówka

Wykazać, np. za pomocą kongruencji, że $5 ∣ 2^{4 n + 2} + 1.$ Ponadto $2^{4 n + 2} + 1 = 1^{4} + 4 (2^{n})^{4},$ więc można użyć tożsamości Sophie Germain.

7. Niech $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ oraz $\frac{1}{(x + a_{1}) (x + a_{2}) \dots (x + a_{n})} = \frac{A_{1}}{x + a_{1}} + \frac{A_{2}}{x + a_{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{x + a_{n}} .$ Dowieść, że liczby $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ są kolejno, na zmianę, dodatnie i ujemne.

Wskazówka

Można użyć indukcji oraz równości $\frac{1}{(x + a_{1}) \dots (x + a_{n - 1})} - \frac{1}{(x + a_{2}) \dots (x + a_{n})} = \frac{a_{n} - a_{1}}{(x + a_{1}) (x + a_{2}) \dots (x + a_{n})} .$