Kilku muszkieterów

Ten artykuł jest niezamierzoną trzecią częścią mimowolnej trylogii o punktach kratowych. Jak wiadomo, muszkieterowie, aby dobrze współdziałać, muszą się wzajemnie bacznie i nieustannie obserwować. Żyją oni na kracie całkowitoliczbowej w punktach $(m_1^{(j)},m_2^{(j)})$ dla $j=1,2,\dots ,k,$ gdzie $k\ge 2$ jest liczbą muszkieterów. Muszkieterowie o numerach $j_1,$ $j_2$ widzą się wtedy i tylko wtedy, gdy na odcinku między nimi nie ma żadnego punktu kratowego (rys. 1), to znaczy, gdy NWD$(m_1^{(j_2)}-m_1^{(j_1)},m_2^{(j_2)}-m_2^{(j_1)})=1.$ Dla $k=2$ możemy mówić o muszkieterze i muszkieterce, co czyni całą sytuację dodatkowo romantyczną.

W artykule Nigdy Cię nie zobaczę (${\mathrm{\Delta }}_{20}^{12}$) rozpatrzyliśmy dokładnie ten przypadek i naszkicowaliśmy rozumowanie prowadzące do obliczenia liczby $6/{\pi }^2$ jako prawdopodobieństwa (jakże pozytywnego!) zdarzenia, że nasi bohaterowie mają kontakt wzrokowy.

Wykażemy teraz, że nie może być pięciu muszkieterów. (Zrobimy to tylko dlatego, że jesteśmy matematykami i nie możemy żyć bez wykazywania, bo czy ktoś słyszał w ogóle o pięciu muszkieterach?) Załóżmy, że dla $j=1,2,3,4,5$ dany jest punkt $(m_1^{(j)},m_2^{(j)})\in {\mathbb{Z}}^2.$ Każdej liczbie całkowitej $m$ przyporządkujmy resztę $0,$ gdy $m$ jest parzysta, albo resztę $1,$ gdy $m$ jest nieparzysta. Ponieważ są cztery możliwe pary reszt, więc istnieją $j_1\ne j_2$ takie, że odpowiadają im te same układy reszt. Zatem obie liczby $m_1^{(j_2)}-m_1^{(j_1)},m_2^{(j_2)}-m_2^{(j_1)}$ są parzyste, czyli osoby $j_1$ oraz $j_2$ nie widzą się.

Teraz rozważymy ważny literacko przypadek $k=4.$ Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z muszkieterów ma na oku wszystkich pozostałych? Możemy założyć, że $DAR=(0,0),$ natomiast $AT,PO,AR$ to trzy losowe punkty $(m_1^{(j)},m_2^{(j)})\in {\mathbb{Z}}^2$ dla $j=1,2,3.$ Jeśli wszyscy się widzą, to dla każdej liczby pierwszej $p$ żaden z wektorów: $$(m_1^{(1)},m_2^{(1)}),(m_1^{(2)},m_2^{(2)}),(m_1^{(3)},m_2^{(3)}),$$ $$(m_1^{(2)}-m_1^{(1)},m_2^{(2)}-m_2^{(1)}),(m_1^{(3)}-m_1^{(2)},m_2^{(3)}-m_2^{(2)}),(m_1^{(3)}-m_1^{(1)},m_2^{(3)}-m_2^{(1)})$$ nie składa się z obu liczb podzielnych przez $p$ (gdyż wtedy odpowiedni największy wspólny dzielnik byłby $\ge p$). Oznacza to dokładnie tyle, że wektory $$(m_1^{(1)},m_2^{(1)}),(m_1^{(2)},m_2^{(2)}),(m_1^{(3)},m_2^{(3)})$$ są różne od $(0,0)$ mod $p$ oraz są parami różne mod $p.$ Zatem dla ustalonej liczby pierwszej $p$ rzeczone prawdopodobieństwo, że wszyscy się ,,$p$-widzą”, wynosi $$\frac{(p^2-1)(p^2-2)(p^2-3)}{p^6}.$$ Ponieważ dla różnych $p$ te zdarzenia są jakby niezależne (choć nie potrafimy tego sformalizować dla żadnej liczby muszkieterów $>2$), więc prawdopodobieństwo, że wszyscy się widzą, powinno wynosić tyle: $$\prod _p\frac{(p^2-1)(p^2-2)(p^2-3)}{p^6}\approx \mathrm{0,024}6,$$ gdzie iloczyn nieskończony jest po wszystkich liczbach pierwszych $p,$ a przedstawiona przybliżona wartość została wyznaczona na podstawie początkowych ${10}^4$ liczb pierwszych. Użyliśmy programu Mathematica do wygenerowania ${10}^6$ czworokątów, przy czym każdorazowo $m_k^{(j)}$ dla $k=1,2$; $j=1,2,3$ jest wybierana z rozkładu jednostajnego na zbiorze $\{1,2,3,\dots ,{10}^6\}.$ Wypadło $24862$ czworokątów takich, że wszyscy się widzą.

Dla Czytelników, którym nieobca jest algebra liniowa, zaznaczmy jeszcze, że każda macierz $M$ wymiaru $2\times 2$ o wyrazach całkowitych i wyznaczniku 1 opisuje pewien układ czterech muszkieterów, którzy się wzajemnie widzą. Jeśli bowiem $k_1,k_2\in {\mathbb{Z}}^2$ są kolumnami macierzy $M,$ to możemy przyjąć: $$DAR=(0,0),AT=k_1,PO=k_2,AR=k_1+k_2.$$ Z warunku $detM=1$ oraz podstawowych własności wyznaczników wynika, że odpowiednie NWD są równe $1.$

Odnośnie prawdopodobieństwa, że losowy układ trzech punktów kratowych to trzej muszkieterowie, to podobnie jak dla $k=4$ przewidujemy, że wynosi ono $$\prod _p\frac{(p^2-1)(p^2-2)}{p^4}\approx \mathrm{0,196},$$ i znowu eksperymenty numeryczne to potwierdzają. Nie potrafimy jednak udowodnić nawet tego, że dla $k=3,4$ rzeczone prawdopodobieństwa istnieją.

To, że w pozornie nieskomplikowanym świecie ${\mathbb{Z}}^2$ dzieje się wiele ciekawych rzeczy, zauważył już klasyk gatunku Wacław Sierpiński w swojej popularnej książeczce O stu prostych, ale trudnych zagadnieniach arytmetyki. Z pogranicza geometrii i arytmetyki (Warszawa 1959). Nasza skromna kontrybucja jest zaledwie wyrazem szczerego zachwytu i fascynacji.