O konstruowaniu środka okręgu linijką

W artykule Prosto w środek z ${\mathrm{\Delta }}_{15}^8$ autor, Łukasz Rajkowski, pokazał, dlaczego środka okręgu nie można skonstruować przy użyciu wyłącznie linijki. Nie musi to być jednak prawdą, jeśli na kartce oprócz okręgu dane są jeszcze inne figury. Poniżej podamy sposób na skonstruowanie środka okręgu linijką w kilku takich sytuacjach. Wcześniej musimy jednak przedstawić pewne konstrukcje pomocnicze. W każdej z nich będziemy posługiwać się wyłącznie linijką.

Niech tymi punktami będą $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E.$ Przecinamy $AB$ i $CD$ w $P,$ $AC$ i $BE$ w $Q$ oraz $PQ$ i $DE$ w $R.$ Wówczas prosta $AR$ jest szukaną styczną (rys. 1).

Podkreślmy, że do przeprowadzenia powyższej konstrukcji nie potrzebowaliśmy mieć narysowanego całego okręgu $\omega$ – wystarczyło tylko pięć znajdujących się na nim punktów. Uzasadnienie poprawności wymaga znajomości twierdzenia Pascala (patrz Deltoid z ${\mathrm{\Delta }}_{14}^9$). Zostawiamy je Czytelnikowi, podobnie jak rozwiązanie następującego problemu:

W przypadku problemów ze znalezieniem rozwiązania polecam poszukać go w ${\mathrm{\Delta }}_{17}^6.$ Jesteśmy już gotowi do znalezienia środka okręgu samą linijką, jeśli mamy do dyspozycji jeszcze jeden, przecinający go okrąg.

Oznaczmy te okręgi przez ${\omega }_1$ i ${\omega }_2,$ a ich punkty przecięcia przez $A$ i $B.$ Korzystając z konstrukcji 1, konstruujemy styczną do ${\omega }_1$ w punkcie $B$ i przecinamy z ${\omega }_2$ w $C.$ Przez $A$ rysujemy prostą, która przecina ${\omega }_1$ w $D,$ a ${\omega }_2$ w $E.$ Oznaczmy przez $F$ drugi punkt przecięcia prostej $BD$ z ${\omega }_2.$ Na koniec niech $P$ będzie przecięciem $BC$ i $EF,$ a $Q$ przecięciem $BE$ i $CF.$ Wówczas $$\measuredangle EFB=\measuredangle BAD={180}^{\circ }-\measuredangle DBA-\measuredangle ADB={180}^{\circ }-\measuredangle DBA-\measuredangle ABC=\measuredangle CBF.$$ Oznacza to, że $EB=CF,$ a prosta $PQ$ zawiera średnicę ${\omega }_2$ (rys. 2). Po wybraniu innej prostej przechodzącej przez $A$ skonstruujemy inną średnicę, i w konsekwencji środek ${\omega }_2.$

Czytelnik z pewnością sam bez problemu wymyśli konstrukcje środka okręgu przy zadanych dwóch okręgach stycznych, a także przy zadanych dwóch okręgach współśrodkowych.

W kolejnych konstrukcjach przyda się kilka pojęć.

Rozważmy okrąg $\omega$ i dowolny punkt $P$ nieleżący na tym okręgu. Przez punkt $P$ poprowadźmy dwie sieczne, które przecinają $\omega$ w $A$ i $B$ oraz $C$ i $D.$ Niech proste $AD$ i $BC$ przecinają się w $Q,$ a $AC$ i $BD$ przecinają się w $R.$ Prostą $QR$ będziemy nazywać biegunową punktu $P$ względem okręgu $\omega$ (rys. 3). Zauważmy, że może ona być wyznaczona wyłącznie przy użyciu linijki, nawet jeśli okrąg $\omega$ dany jest tylko w pięciu punktach (w takim przypadku korzystamy z konstrukcji 2).

Biegunowe mają liczne i użyteczne własności. Na przykład jeśli $P$ leży na zewnątrz $\omega ,$ to biegunowa $P$ przechodzi przez punkty styczności prostych stycznych do $\omega$ przechodzących przez $P.$ Stąd dla punktów leżących na okręgu przyjmujemy, że biegunową jest styczna w tym punkcie. Zatem, wyznaczając biegunową, możemy skonstruować styczną do okręgu przechodzącą przez punkt na nim nieleżący.

Inną użyteczną własnością jest fakt, że każda sieczna okręgu $\omega$ przechodząca przez $P$ przecina $\omega$ w takich punktach $A,$ $B$ oraz biegunową $P$ w takim $Q,$ że $AB$ dzieli harmonicznie $PQ,$ tzn. $\frac{AP}{BP}=\frac{AQ}{BQ}.$ Czytelnik może spróbować wymyślić, jak podzielić harmonicznie odcinek przy użyciu wyłącznie linijki (podpowiedź: warto przypomnieć sobie twierdzenia Cevy i Menelaosa).

Kolejnym przydatnym obiektem będzie pęk okręgów. Jest to rodzina okręgów, którą jednoznacznie wyznaczają dwa niewspółśrodkowe okręgi. Pęki okręgów mają taką własność, że jeśli dwa okręgi należące do pęku przecinają się w dwóch punktach, to każdy okrąg z tego pęku przechodzi przez te dwa punkty (rys. 4), jeśli są styczne, to wszystkie są do siebie styczne w tym samym punkcie, oraz jeśli się nie przecinają, to żadne dwa się nie przecinają (rys. 5). Na potrzeby tego artykułu potraktujmy pęki okręgów jako ,,czarną skrzynkę”, zainteresowanych szczegółami odsyłam do krótkiego tekstu w tym wydaniu Delty (s. 20), który jest im poświęcony.

Zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Biegunowe dowolnego punktu $P$ względem okręgów należących do jednego pęku są współpękowe.

Punkt ten będziemy nazywali biegunowo sprzężonym do punktu $P$ względem odpowiedniego pęku. Ponieważ pęk jest wyznaczony przez dwa okręgi, możemy też mówić o dwóch punktach sprzężonych względem pary okręgów. Powyższe twierdzenie wykorzystamy w kolejnych konstrukcjach. Ponieważ linijka nie pozwala na narysowanie okręgu, przez wyrażenie ,,skonstruować okrąg” będziemy określać wyznaczenie dowolnie wielu jego punktów.

Niech $A$ leży na zewnątrz okręgu $\lambda .$ Z punktu $A$ skonstruujmy styczną do $\lambda$ w punkcie $B.$ Następnie niech $C$ będzie punktem biegunowo sprzężonym do punktu $B$ względem $\lambda$ i $\mu$ (zauważmy, że leży na $AB$). Konstruujemy teraz taki punkt $D,$ że $AD$ dzieli harmonicznie $BC.$ Punkt $D$ jest drugim obok $A$ punktem szukanego okręgu (rys. 6). Gdyby okazało się, że $D=C=A$ (tzn. gdyby $AB$ było styczne do konstruowanego okręgu), to na początku konstrukcji powinniśmy wziąć ,,drugą styczną” z $A$ do $\lambda .$ Całą procedurę możemy teraz powtórzyć, biorąc $D$ jako punkt startowy (i oczywiście punkt styczności do $\lambda$ różny od $B$).

W tym przypadku wyznaczamy punkt $B,$ biegunowo sprzężony do $A.$ Punkt ten leży na zewnątrz okręgów $\lambda$ i $\mu ,$ zatem możemy skonstruować dowolną liczbę punktów okręgu $\beta$ przechodzącego przez $B$ i należącego do pęku wyznaczanego przez te dwa okręgi (konstrukcja 4). Punkt $A$ leży na zewnątrz $\beta .$ Pokażemy, jak wykorzystać ten ,,dziurkowany” okrąg do odtworzenia konstrukcji 4.

Problematyczny jest tylko pierwszy krok, czyli konstrukcja stycznej do $\beta .$ Aby ją wyznaczyć, postępujemy następująco. Niech $C$ będzie różnym od $B$ punktem okręgu $\beta .$ Wyznaczmy punkt $D$ przecięcia prostej $AC$ z okręgiem $\beta$ (korzystamy z konstrukcji 2). Dalej konstruujemy taki $E$ na $AC,$ że $AE$ dzieli harmonicznie $CD.$ Prosta $BE$ jest biegunową punktu $A$ względem $\beta ,$ więc jej drugi punkt przecięcia z $\beta$ to taki punkt $F$ (rys. 7), że $AF$ jest styczna do $\beta$ (ponownie skorzystaliśmy z konstrukcji 2). Teraz na $AF$ możemy wyznaczyć drugi obok $A$ punkt szukanego okręgu i powtórzyć procedurę, rozpoczynając od tego punktu.

Oznaczmy dane okręgi przez $\kappa ,$ $\lambda ,$ $\mu ,$ $\nu .$ Zakładamy, że żadne dwa z nich nie mają punktów wspólnych ani nie są współśrodkowe.

Wybierzmy punkt $A$ na $\kappa .$ Konstruujemy okręgi $\alpha$ i $\beta$ przechodzące przez $A$ oraz należące do pęków wyznaczonych odpowiednio przez $\lambda$ i $\mu$ oraz $\mu$ i $\nu .$ Następnie wybieramy taki punkt $B$ na $\alpha ,$ że skonstruowana styczna w $B$ do $\alpha$ przecina okrąg $\kappa .$ Niech $C$ będzie tym punktem przecięcia. Niech ponadto $D$ i $F$ będą punktami biegunowo sprzężonymi do punktów odpowiednio $B$ i $C$ względem pęku wyznaczonego przez okręgi $\alpha$ i $\beta$ (rys. 8).

Zauważmy, że $E$ taki, że $CE$ dzieli harmonicznie $BD,$ leży na okręgu $\gamma$ należącym do pęku wyznaczonego przez $\alpha$ i $\beta$ oraz przechodzącym przez $C$ (rozważamy ten okrąg, ale go nie konstruujemy). Ponadto prosta $CF$ jest styczna do $\gamma .$ Czytelnik, analizując ponownie rysunek 2, przekona się, że mamy wystarczająco danych, aby zastosować konstrukcję 3 dla okręgów $\gamma$ i $\kappa$ i uzyskać średnicę $\kappa .$ Drugą średnicę konstruujemy, zaczynając od innego punktu $A.$

Odnotujmy, że konstrukcję da się powtórzyć, jeśli jeden z okręgów (u nas okrąg $\mu$) jest dany tylko w pięciu punktach. Wynika to z możliwości wykonania konstrukcji, gdy okrąg $\mu$ jest dany tylko w 5 punktach, co z kolei jest konsekwencją poczynionej wcześniej uwagi o konstruowalności biegunowych.

Oznaczmy te okręgi przez $\kappa ,$ $\lambda ,$ $\mu .$ Wybieramy punkt $A$ na $\kappa$ i konstruujemy okrąg $\alpha$ należący do pęku wyznaczanego przez okręgi $\lambda$ i $\mu$ oraz przechodzący przez $A.$ Na okręgach $\kappa$ i  $\alpha$ wybieramy odpowiednio punkty $B$ i $C.$ Następnie prowadzimy dowolną prostą przez $A$ i oznaczamy jej punkty przecięcia z $\kappa$ i  $\alpha$ przez $P$ i $Q,$ odpowiednio. Zauważmy, że jeśli prosta $PQ$ będzie obracać się wokół punktu $A,$ to punkt przecięcia $R$ prostych $PB$ i $QC$ będzie zakreślał okrąg (jest to okrąg opisany na trójkącie, którego wierzchołkami są punkty $B,$ $C$ i różny od $A$ punkt przecięcia $\alpha$ i $\kappa$). Oznaczmy go przez $\nu .$ Rysując zatem kolejne położenia prostej $PQ,$ będziemy mogli konstruować kolejne punkty okręgu $\nu$ (rys. 9). Żadne trzy spośród $\kappa ,$ $\lambda ,$ $\mu ,$ $\nu$ nie należą do jednego pęku. Stąd po skonstruowaniu pięciu punktów $\nu$ możemy powtórzyć konstrukcję 6.

Czytelnikowi zastanawiającemu się, co z przypadkiem rozłącznych okręgów należących do jednego pęku, odpowiem, że wówczas środka okręgu nie da się skonstruować. Omówienie tego zagadnienia byłoby jednak zbyt długie, aby można je było zawrzeć w tym artykule.