Delta 12/2024

Pęk wiadomości o pękach okręgów

Łukasz Rajkowski
matematyka geometria planimetria

Opublikowany w niniejszym wydaniu Delty artykuł Stanisława Majchrzaka garściami czerpie z klasycznych pojęć geometrii elementarnej. Pojawia się w nim również hasło pęk okręgów, które może być obce nawet co bardziej zaawansowanym naśladowcom Euklidesa. Aby oszczędzić Czytelnikowi przeszukiwania Internetu (który zwłaszcza w polskojęzycznej odsłonie jest w tym zakresie dość ubogi w informacje), prezentujemy tutaj przegląd podstawowych informacji na temat tej wdzięcznej geometrycznej konfiguracji.

Tak jak zostało to już wspomniane w przytoczonym artykule, przykładem pęku okręgów jest rodzina wszystkich okręgów przechodzących przez ustalone dwa punkty X i Y. Wówczas prosta XY jest osią potęgową (patrz Deltoid w Δ123) dowolnej pary okręgów z tej rodziny, którą z tego względu nazywa się czasem okręgami współosiowymi. Oznaczmy ową rodzinę jako O, a jej wspólną oś potęgową jako k.

Wybierzmy na k dowolny punkt P. Poprowadźmy z P styczną do dowolnego okręgu o∈O i niech T będzie punktem styczności (rys. 1). Wówczas PT2=PX⋅PY (co wynika z definicji osi potęgowej). Oznacza to, że okrąg ω o środku P i promieniu PX⋅PY jest prostopadły do o, czyli styczne do tych okręgów w punkcie przecięcia są prostopadłe. Z dowolności wyboru o okrąg ω jest prostopadły do wszystkich okręgów z rodziny O. Rodzinę tak skonstruowanych okręgów ω dla różnych wyborów punktu P na prostej k oznaczmy przez Ω.

Można pokazać, że osią potęgową dowolnych dwóch okręgów z rodziny Ω jest symetralna l odcinka XY. Dlatego Ω również nazywana jest rodziną okręgów współosiowych lub też pękiem – tym razem jednak są to okręgi parami rozłączne i dlatego to drugie określenie może być odrobinę mylące. Ogólnie okręgami współosiowymi nazwiemy każdą rodzinę okręgów, dla której istnieje prosta będąca osią potęgową dowolnej pary okręgów z tej rodziny. Jeśli nie można jej powiększyć o żaden dodatkowy okrąg, mówimy o pęku okręgów.

Wybierzmy dowolny punkt Q i okrąg ω∈Ω. Poprowadźmy biegunową Q względem ω – definicja biegunowej pojawiła się już w artykule Stanisława Majchrzaka. Udowodnimy, że dla różnych wyborów okręgu ω utworzone w ten sposób proste przecinają się w jednym punkcie. W tym celu przypomnimy alternatywną definicję biegunowej (patrz KPO w Δ231) – jest to prosta prostopadła do odcinka łączącego dany punkt ze środkiem okręgu, przechodząca przez obraz inwersyjny tego punktu względem okręgu. Czytelnikom, którym obce jest pojęcie inwersji, a którzy mimo to pragną doczytać ten tekst do końca (co jest godne pochwały!), polecam Deltoid z numeru Δ135 oraz artykuł Michała Miśkiewicza z Δ147. Dla nas istotne będzie jedynie to, że inwersja względem okręgu κ o środku w punkcie K zachowuje półproste wychodzące z punktu K oraz okręgi prostopadłe do κ.

Narysujmy teraz okrąg oQ opisany na trójkącie XYQ. Oczywiście oQ∈O, zatem o jest prostopadły do wszystkich okręgów z Ω, w tym ω. Dlatego obraz inwersyjny Q względem ω to punkt R przecięcia o z półprostą ze środka ω do Q (rys. 2). Zaś odpowiednia biegunowa to prosta prostopadła do wspomnianej półprostej, przechodząca przez R. Oznacza to jednak, że biegunowa ta przechodzi przez punkt Q′, antypodalny do Q w okręgu oQ (gdyż kąt QRQ′ jest prosty). Udowodniliśmy w ten sposób, że biegunowe punktu Q względem okręgów z rodziny Ω przecinają się w punkcie Q′ (zależnym tylko od punktów X, Y i Q).

Udowodnimy teraz, że biegunowe Q względem okręgów z O również przecinają się w jednym punkcie. Pomysł jest dokładnie taki sam – wystarczy udowodnić, że istnieje okrąg ωQ należący do Ω, który przechodzi przez Q. Wówczas wszystkie rozważane biegunowe będą musiały przechodzić przez punkt Q″ antypodalny do Q w ωQ. Skonstruowanie okręgu ωQ nie jest trudne – potrzeba (i wystarcza), by był on prostopadły również do okręgu oQ. Dlatego środek szukanego okręgu ωQ leży na prostej stycznej do oQ w punkcie Q. Środek ten leży też na prostej k, co pozwala na jego wyznaczenie i w konsekwencji lokalizację punktu Q″, w którym przecinają się wszystkie biegunowe punktu Q względem okręgów z O.

Na zakończenie wybierzmy w pęku O dowolne dwa prostopadłe okręgi i dołączmy do nich dowolny okrąg z Ω. Dostaniemy trzy okręgi, z których każde dwa są prostopadłe – ciekawa własność jak na prostopadłość. A czy możliwa jest taka konfiguracja czterech okręgów?