Dla jakich 𝑛 istnieje. . . ?

Zajmiemy się tu zadaniami, w których należy wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n,$ dla których istnieje pewien zadany obiekt. Trzeba pamiętać, że rozwiązanie takiego zadania składa się z dwóch części:

• w przypadku tych $n,$ dla których dany obiekt istnieje, wystarczy podać jego konstrukcję albo (co się zdarza w trudniejszych zadaniach) udowodnić jego istnienie metodami pośrednimi, takimi jak na przykład zasada szufladkowa;

• dla tych $n,$ dla których nie istnieje dany obiekt, trzeba przeprowadzić dowód jego nieistnienia, najczęściej metodą nie wprost – przez założenie istnienia i doprowadzenie do sprzeczności.

Zwykle jedna z tych dwu części jest łatwiejsza. Pozwala to postawić odpowiednią hipotezę, co często ułatwia rozwiązanie trudniejszej części, ponieważ wiemy już, co chcemy wykazać.

 Jako przykład rozwiążemy następujące zadanie z VII Wielkopolskiej Ligi Matematycznej.

 Przykład. Nazwijmy grubym prostokąt o bokach $x$ i $y$ spełniających warunek $\frac{1}{2}x<y<2x.$ Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n,$ dla których z kafelków o wymiarach $1\times 1,1\times 2,\dots ,1\times n$ można ułożyć gruby prostokąt (każdy z kafelków musi być użyty dokładnie jeden raz).

 Rozwiązanie. Pole takiego prostokąta jest równe $\frac{1}{2}n(n+1),$ dodatkowo jeden z boków ma długość co najmniej $n.$ W takim razie drugi bok ma długość co najwyżej $\lfloor \frac{1}{2}(n+1)\rfloor ,$ co jest równe $\frac{1}{2}n$ dla $n$ parzystych. Ale wówczas otrzymany prostokąt nie jest gruby. Udowodniliśmy zatem, że dla parzystych $n$ taki prostokąt nie istnieje.

 Widoczny tu motyw parzystości często pojawia się w tego typu zadaniach.

Zadania

1. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n\ge 4,$ dla których istnieje $n$-kąt, którego każdy kąt wewętrzny ma ${90}^{\circ }$ lub ${270}^{\circ }.$

   Wskazówka

   Każde dwa sąsiednie boki są prostopadłe, więc $n\ge 4$ musi być parzyste.

2. Dla jakich liczb całkowitych dodatnich $n$ zbiór $\{1,2,3,\dots ,2n\}$ można rozbić na dwa rozłączne $n$-elementowe podzbiory o jednakowych sumach?

   Wskazówka

   Liczba $1+2+\dots +2n=n(2n+1)$ musi być parzysta, więc liczba $n$ również.

3. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n,$ dla których istnieje $n$-ścian wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi trójkątami.

   Wskazówka

   Liczba krawędzi takiego wielościanu jest równa $\frac{3}{2}n,$ więc $n$ musi być parzyste. Dla $n=4$ mamy czworościan foremny, a dla parzystych $n>4$ można skleić podstawami dwa przystające prawidłowe ostrosłupy $(n/2)$-kątne.

4. Niech $n$ będzie liczbą nieparzystą. Z $\frac{n^3-1}{2}$ niebieskich prostopadłościanów o wymiarach $1\times 1\times 2$ i jednego zielonego o wymiarach $1\times 1\times 1$ chcemy zbudować sześcian o krawędzi $n,$ ale środek powstałego sześcianu ma leżeć w środku zielonego klocka. Wyznaczyć wszystkie $n,$ dla których jest to możliwe.

   Wskazówka

   Zauważmy, że analogiczna konstrukcja na płaszczyźnie jest wykonalna dla każdego nieparzystego $n.$ Jeśli $n=4k+1,$ to jako środkową warstwę sześcianu bierzemy konstrukcję z płaszczyzny, a dodatkowo z góry i z dołu dokładamy prostopadłościany $n\times n\times 2k.$ W przypadku $n=4k+3$ kolorujemy sześciany jednostkowe sześcianu $n\times n\times n$ w czarno-białą szachownicę. Niech środkowy sześcianik będzie czarny – wśród pozostałych jest wtedy więcej białych niż czarnych, z czego można wywnioskować, że konstrukcja jest niewykonalna.

5. Znaleźć wszystkie całkowite dodatnie $n,$ dla których istnieje ciąg $(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ o następujących własnościach: $x_0=0,$ $x_1+x_2+\dots +x_n=0$ oraz $|x_k|=|x_{k-1}+1|$ dla każdego $k=1,2,\dots ,n.$ (LII OM, zmodyfikowane)

   Wskazówka

   Niech $s_k=x_1+x_2+\dots +x_k.$ Po podniesieniu danej w zadaniu równości obustronnie do kwadratu, zsumowaniu stronami dla $k=1,2,\dots ,n$ i prostych przekształceniach otrzymamy $2s_n+n+1=(x_n+1{)}^2,$ więc $s_n=0⟺|x_n+1|=\sqrt{n+1}.$ Wnioskujemy stąd, że $n=m^2-1$ dla pewnego naturalnego $m.$ Osiągalności dowodzimy indukcyjnie, rozważając wszystkie możliwe wartości $x_n.$

6. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$ o następującej własności: z $n$ prostokątów o wymiarach $1\times n,2\times n,\dots ,n\times n$ można ułożyć kwadrat. (LXXV OM) 

   Wskazówka

   Liczba $\frac{1}{2}{n}^2(n+1)$ musi być kwadratem, więc $n=2k^2-1$ dla pewnej liczby całkowitej $k,$ a stąd bok kwadratu ma długość $kn.$ W celu wykonania konstrukcji można ułożyć $k^2$ kwadratów $n\times n.$

 Problem otwarty

7. Na płaszczyźnie znaduje się $n$ punktów czerwonych, $n$ zielonych i $n$ niebieskich. Każda prosta przechodzi albo przez co najwyżej jeden z tych punktów, albo przez dwa punkty jednakowego koloru, albo przez trzy punkty różnych kolorów. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości $n.$ (Problem autorski, częściowe rozwiązanie w Matematycznym Kalendarzu Adwentowym 2021).

   Wskazówka

   Znana jest mi konstrukcja dla $n=1,2,3,4$ i nic więcej.