Don’t know much about geography
Don’t know much trigonometry
Don’t know much about algebra
Don’t know what a slide rule is for
“Wonderful world”, Sam Cooke
Od powstania piosenki Sama Cooke’a minęły 64 lata. Wśród dziedzin wiedzy, które jej bohater wymienia jako swoje słabe strony, jedna w międzyczasie wypadła z programów nauczania.
Mianowicie, młodszy Czytelnik ma pełne prawo nie wiedzieć, do czego służy suwak logarytmiczny (slide rule). Warto ten stan zmienić. W Delcie można już było o suwaku przeczytać w
Do czego zatem służy suwak logarytmiczny?
Otóż do tego, by zamiast działania mnożenia można było wykonywać dodawanie. No dobrze, a dlaczego miałoby nam na tym zależeć (pomijając żarty o rozmnażaniu żmij)? Jako odpowiedź przytoczmy szkolne ,,działania pod kreską”, dla przykładu przedstawione na marginesie dla liczb
Jak mnożyć, dodając?
Ta trudność dała się we znaki astronomom XVI wieku ze względu na ilość i dokładność obliczeń koniecznych w ich pracy. Dla jej pokonania opracowali metodę o nazwie prosthaphaeresis, od greckich słów oznaczających dodawanie i odejmowanie. Opierała się na tożsamościach trygonometrycznych, takich jak
Odnajdujemy w tablicy nasze czynniki jako wartości cosinusa. Ze zrozumiałych względów nie znajdziemy tam
i ale i już tak – odpowiadają one w przybliżeniu kątom iWykonujemy dodawanie i odejmowanie (stąd wzięła się nazwa metody):
Odczytujemy przybliżone wartości cosinusa tych kątów:
a na koniec bierzemy średnią: Ostateczny wynik wymaga jeszcze przesunięcia przecinka:
Otrzymaliśmy w ten sposób
Niedługo później wymyślono tablice logarytmiczne,
niejako szyte na miarę rozważanego przez nas problemu. Jako bezpośredniego przodka takich tablic możemy wskazać tablicę potęg dwójki (na marginesie). Umożliwia ona szybkie mnożenie liczb z drugiego wiersza tablicy.
Przykładowo, iloczyn
Krótka historia logarytmu.
Problem ten rozwiązali niezależnie John Napier (1550–1617) i Jost Bürgi (1552–1632), jednak ze względu na pierwszeństwo publikacji (1614 vs. 1620) to ten pierwszy wpłynął na dalsze losy matematyki. Pomysł jest prosty: aby liczby z drugiego wiersza były gęściej (i równiej) rozmieszczone, należy jako podstawę wziąć liczbę bliższą jedynki, na przykład
Wróćmy na chwilę do zagadnienia większej dokładności. Jeśli w którymś miejscu po prawej stronie widzimy liczbę
Warto tu napomknąć,
że ów naturalny logarytm pochodzi od samego Napiera.
Chociaż swoją tablicę wyznaczył on poprzez potęgowanie konkretnej liczby bliskiej jedynce, to jako definicję logarytmu podał następujący opis kinematyczny, poniżej nieco tylko uwspółcześniony. W chwili
Z opisu tego rzeczywiście wynika, że
Dygresja o teorii Eulera.
Obecnie typowy wykład analizy matematycznej nie odzwierciedla historycznego rozwoju tej dziedziny, a zamiast tego referuje dokonania Leonharda Eulera (1707–1783). Wprowadził on funkcję wykładniczą zadaną szeregiem
Powrót do suwaka.
Zestawiając razem dwie zwyczajne linijki, otrzymujemy prosty przyrząd do dodawania. By dodać na nim liczby
Pod każdą etykietą na obu linijkach dopisaliśmy dwójkę, w ten sposób podmieniając ciąg arytmetyczny
Bohater piosenki Sama Cooke’a miał silne, choć trudne do wyrażenia w słowach przekonanie, że umiejętność dodawania jest wystarczająca. Wystarczająca nie tylko do tego, by mnożyć, ale też by spełnić marzenie o odwzajemnionej miłości. Lubię więc myśleć, że co nieco jednak wiedział o naturze suwaka logarytmicznego. Posłuchajmy sami:
But I do know one and one is two
And if this one could be with you
What a wonderful world this would be
“Wonderful world”, Sam Cooke
Afiliacja: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski
Źródło: Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, 1991. Interesująca nas historia jest na str. 307–315.
Poniższy żart pokazuje, że mnożenie może się okazać trudniejsze od dodawania.
Noah sent his animals to “go forth and multiply”, but a pair of snakes told him “we can’t multiply, we’re adders!”.
Rys. 1. Dodawanie i mnożenie ,,pod kreską” liczb
i Drugi z algorytmów ma zauważalnie większą złożoność
Oprócz wzoru na iloczyn cosinusów zamianie mnożenia na prostsze operacje może służyć tożsamość
Oparta na niej metoda (quarter square multiplication) stała się jednak popularna dopiero dużo później. Znając stosunek bohatera piosenki do trygonometrii i algebry, można mieć niemal pewność, że nie byłby on zadowolony z żadnego z tych wzorów.
Rys. 2. Przodek tablic logarytmicznych: tablica kolejnych potęg dwójki. Podobne ciągi są obecne w pracach Archimedesa, były też regularnie publikowane w XVI wieku, np. w Arithmetica integra Michaela Stifela (1544)
Rys. 3. Tablica logarytmiczna podobna do oryginalnej tablicy Bürgiego. Napier jako podstawę przyjął
a więc liczbę mniejszą od jedynki
We współczesnym języku kinematyczny opis Napiera sprowadza się do równań różniczkowych
Otrzymujemy z nich a więc po uwzględnieniu warunków początkowych
We wzorze
za liczbę można przyjąć dowolną liczbę zespoloną, a tożsamość (tzw. prawo grupowe) nadal pozostaje w mocy. Funkcję cosinus można zdefiniować (i tak się zazwyczaj robi!) jako Wzór na iloczyn cosinusów nie jest wtedy twierdzeniem geometrycznym, ale banalną konsekwencją prawa grupowego: obie strony okazują się równe