Afiliacja: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski
Gdy ktoś zaczepi Was na ulicy i zapyta: Co daje minus razy minus?, to w zależności od nastroju odpowiecie bardzo krótko: To nic nie daje albo też krótko: To daje bardzo dodatni plus. Dlatego najpierw przypomnimy fragmenty teorii ogólnej, niezależnej od koniunktury.
Niech \(p\) będzie nieparzystą liczbą pierwszą i niech \(\mathbb{F}_p=\{0,\ldots,p-1\}\) będzie zbiorem reszt z dzielenia przez \(p.\) Wówczas dla niektórych reszt \(r\neq 0\) istnieją dwie reszty \(x\) spełniające równanie \[x^2\equiv r\pmod{p},\] a dla pozostałych niezerowych \(r\) nie ma w ogóle takich reszt \(x.\) W pierwszym przypadku mówimy, że \(r\) jest resztą kwadratową modulo \(p\), a w drugim, że \(r\) jest nieresztą kwadratową modulo \(p\). I tak na przykład z poniższej tabelki dla \(p=11\)
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 |
wynika, że \(1,3,4,5,9\) to reszty kwadratowe modulo \(11,\) a \(2,6,7,8,10\) to niereszty kwadratowe modulo \(11.\) To, że wiersz \(x^2\) powyższej tabelki jest środkowo symetryczny, ma charakter ogólny, gdyż zawsze \((p-x)^2\equiv x^2\pmod{p}.\) Zatem reszty z dzielenia przez \(p\) liczb \[\label{sq} 1^2,\,2^2,\,3^2,\,\ldots,\, \left(\frac{p-1}{2}\right)^2\tag{$*$}\] to reszty kwadratowe modulo \(p,\) a pozostałe liczby z ciągu \(1,2,3,\ldots, p-1\) to niereszty.
Jak stwierdzić, czy dana reszta \(a\) z dzielenia przez \(p\) jest resztą, czy też nieresztą kwadratową, nie przeszukując ciągu \(\eqref{sq}\)? Mówi o tym znane kryterium Eulera: \[\textrm{$a$ jest resztą kwadratową modulo $p$}\iff a^{(p-1)/2}\equiv 1\pmod{p}.\] Od tej chwili będziemy zakładać, że liczba pierwsza \(p\) jest postaci \(p=4k+3.\) Można łatwo udowodnić, że takich liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Trudny jest natomiast dowód asymptotyki dla funkcji \(\pi_{4,3}(x),\) która (z definicji) podaje liczbę liczb pierwszych \(p\) mniejszych równych \(x,\) spełniających kongruencję \(p\equiv 3\pmod{4}\): \[\lim_{x\to\infty}\frac{\pi_{4,3}(x)}{x/\log x}=\frac{1}{2}.\] Przypomnijmy, że analogiczna równość zachodzi dla samej funkcji \(\pi(x),\) zliczającej liczbę wszystkich liczb pierwszych nie większych od \(x,\) przy czym w granicy po prawej stronie dostajemy 1. Statystycznie więc co druga liczba pierwsza jest interesującej nas postaci. Zauważmy, że na mocy kryterium Eulera dla \(p=4k+3\) reszta \(p-1\) jest nieresztą kwadratową, gdyż \[(p-1)^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{2k+1}\equiv-1\not\equiv 1\pmod{p}.\] Ogólniej: z dwóch reszt \(a\) oraz \(p-a\) jedna jest resztą, natomiast druga nieresztą kwadratową.
Przedstawione obserwacje pozwalają nam określić pierwiastek arytmetyczny z dowolnej reszty kwadratowej \(a.\) Niech mianowicie \[b= a^{(p+1)/4} \pmod{p}.\] Mamy teraz \[b^2\equiv a^{(p+1)/2}= a^{(p-1)/2}\cdot a\equiv a\pmod{p},\] czyli rzeczywiście powyżej określone \(b\) jest jednym z pierwiastków kwadratowych z elementu \(a.\) A my dodatkowo uważamy, że \(b\) jest tym lepszym pierwiastkiem i chcemy go nazywać pierwiastkiem arytmetycznym! Przypomnijmy, że w zakresie liczb rzeczywistych pierwiastkiem kwadratowym arytmetycznym z dodatniej liczby \(a\) nazywamy taką (jedyną) dodatnią liczbę \(b,\) że \(b^2=a.\) W zbiorze liczb rzeczywistych \(a\in \mathbb{R}\) jest dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy \(a=b^2\) dla pewnego \(b\in\mathbb R.\) Od tej chwili niech ,,bycie kwadratem” będzie namiastką ,,dodatniości”. U nas \(b\) jako potęga reszty kwadratowej \(a\) jest też resztą kwadratową! Uzasadnia to traktowanie \(b\) jako pierwiastka arytmetycznego z \(a.\)
Niestety przedstawiona analogia jest ułomna, gdyż w doskonałym (czyli rzeczywistym) świecie suma elementów dodatnich jest dodatnia, a w świecie reszt nie musi tak być. Dla przykładu
Jest też w użyciu matematycznym bardziej naturalne i praktyczne pojęcie ,,dodatniości” w zbiorze reszt niż powyższe ,,bycie resztą kwadratową”. Jeśli mianowicie \(p\) jest dowolną liczbą pierwszą nieparzystą, to zbiór liczb całkowitych w przedziale \((-p/2,p/2)\) jest zbiorem reprezentantów ciała \(\mathbb F_p\) reszt z dzielenia przez \(p.\) Od teraz klasę reszt mod \(p\) będziemy nazywać dodatnią, gdy ma swojego przedstawiciela w przedziale \((0,p/2),\) a ujemną, gdy ma przedstawiciela w \((-p/2,0).\)
Ważnym zastosowaniem tej dychotomii jest lemat Gaussa: najwygodniejszy portal do Prawa Wzajemności dla Reszt Kwadratowych (PWdRK) – Gauss użył go w swoim piątym dowodzie PWdRK. Pozwolimy tu sobie na dygresję historyczną: przed Gaussem nikt nie potrafił udowodnić PWdRK. Z czwórki gigantów arytmetyki wyższej wymienionych przez Gaussa w przedmowie do Disquisitiones Arithmeticae: Fermata, Eulera, Lagrange’a i Legendre’a, tylko ten ostatni był bliski poprawnego dowodu. Sam Gauss podał sześć dowodów; po Gaussie opublikowano ponad 250 dowodów! Ta ogromna liczba różnych dowodów słynnego twierdzenia świadczy pośrednio o jego wielorakich powiązaniach z resztą matematyki.
Prawo wzajemności reszt kwadratowych orzeka, że jeśli \(p\) i \(q\) są liczbami pierwszymi i choć jedna z nich daje resztę 1 z dzielenia przez 4, to \(p\) jest resztą kwadratową modulo \(q\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(q\) jest resztą kwadratową modulo \(p.\) Jeśli obie liczby dają resztę 3 z dzielenia przez 4, to \(p\) jest resztą kwadratową modulo \(q\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(q\) nie jest resztą kwadratową modulo \(p.\)
To wszystko jest bardzo piękne, ale my teraz nie o tym… Przy powyższej definicji ,,dodatniości” nie jest prawdą, że nasza metoda pierwiastkowania w \(\mathbb F_p^{\ast}\) dla \({p\equiv 3\pmod{4}}\) zawsze daje pierwiastek ,,dodatni” (tzn. resztę z przedziału \((0,p/2)\)), ale okazuje się, że jednak trochę częściej niż ,,ujemny”: w przedziale \((0,p/2)\) jest mianowicie więcej reszt niż niereszt! Nie ma prostego uzasadnienia tej prawidłowości, warto jednak wspomnieć, z jakiego ogólniejszego i ważnego twierdzenia to wynika. Dla \(p=3\) teza jest oczywista. Załóżmy w dalszym ciągu, że \(p\geq 7.\) Niech \(\cal R\) oznacza liczbę reszt kwadratowych modulo \(p\) w przedziale \((0,p/2),\) a \(\cal N\) liczbę niereszt w tym przedziale. Ponadto przez \(h\) oznaczmy
rząd grupy klas ideałów pierścienia liczb całkowitych ciała \(\mathbb Q(\sqrt{-p}).\)
Zapewne nawet wśród Czytelników Delty jest wielu takich, dla których powyższa definicja jest niezrozumiała. Nie szkodzi – dla nas istotne jest tylko to, że liczba \(h\) jako rząd (czyli liczba elementów) grupy jest dodatnia. Okazuje się bowiem, że liczba \({\cal R}-{\cal N}\) wynosi \(h\) albo \(3h\) w zależności od tego, czy \(q\equiv 7\pmod{8},\) czy też \(q\equiv 3\pmod{8},\) a stąd oczywiście \({\cal R}>{\cal N}\)! Pierwsze dowody wspomnianej równości dotyczącej \(\cal R-\cal N\) podał Dirichlet w połowie XIX wieku, tworząc w ten sposób zręby analitycznej teorii liczb. Natomiast pierwszy całkowicie elementarny (to nie znaczy, że prosty!) dowód podał matematyk amator H.L.S. Orde w 1978 roku w artykule On Dirichlet’s class number formula (Journal of London Mathematical Society 18). Ten dowód można znaleźć w 5. rozdziale książki profesora Władysława Narkiewicza Classical Problems in Number Theory (PWN, Warszawa 1986).